=for timestamp
Do Jan 12 20:34:48 CET 2006

=head1 Sonstiges

=head2 Ungeklärte Fragen

=over

=item *

Wann setzt man das Semikolon?

=item *

"Bei den Zahlen unterscheidet man nicht/kann man nicht unterscheiden zwischen
»dem gleichen« (M<=>) und »dem selben« (M<\equiv>)."N<Ich habe die Bedeutung
von M<=> und M<\equiv> einem englischen Papier über Surreale Zahlen entnommen
(C<http://www.tondering.dk/claus/surreal.html>). M<=> bedeutet dort Gleichheit
und unterscheidet sich qualitativ nicht von anderen Relationen. M<\equiv>
dagegen ist "grundlegend" und muss nicht extra für jede Menge bzw. für jeden
Objekttyp definiert werden; M<a \equiv b> ist nur dann wahr, wenn M<a>
lediglich eine andere Bezeichnung für M<b> ist; dabei spielt die Definition der
Gleichheit (M<=>; z.B. Gleichheit von M<\frac{3}{4}> mit M<\frac{6}{8}>) keine
Rolle.>

Wieso nicht? Nehmen wir M<\mathds{Q} = \mathds{Z} \times \left(\mathds{N}
\setminus \left\{ 0 \right\}\right)>, dann sind doch M<a>,M<b> mit M<a =
\frac{3}{4} = (3, 4)> und M<b = \frac{6}{8} = (6, 8)> zwar sicher gleich (also
M<a = b>), aber nicht das gleiche Objekt (also M<a \not\equiv b>), oder?

=item *

Bedeutet M<a \in A> dass ein Element aus M<A> gleich M<a> ist (M<=>) oder dass
es ein Element das selbe Objekt wie M<a> ist (M<\equiv>)?

=item *

"M<\mathds{Z}> enthält auch alle natürlichen Zahlen, also M<\mathds{N} \subset
\mathds{Z}>."

=over

=item *

Annahme: Die Antwort auf die vorherige Frage ist "M<=>".

Wie kann man natürliche Zahlen mit ganzen Vergleichen? Es handelt sich doch um
verschiedene Strukturen (z.B. M<42_{\mathds{N}}> gegen M<(+,
42_{\mathds{N}})>). Oder hat man M<=> so definiert, dass man nicht nur die
Gleichheit von Zahlen aus den selben Zahlenmengen vergleichen kann, sondern
auch dass man Zahlen aus verschiedenen Zahlenmengen vergleichen kann? Kurz: Ist
M<a = b> mit (z.B.) M<a \in \mathds{N}> und M<b \in \mathds{C}> zulässig? (vgl.
MMD (Multiple Method Dispatch) in der Informatik)

=item *

Annahme: Die Antwort auf die vorherige Frage ist "M<\equiv>".

Dann ist doch die Aussage "M<\mathds{N} \subset \mathds{Z}>" sicher falsch,
oder? Beispielsweise ist M<42_{\mathds{N}}> sicher nicht das selbe Objekt wie
M<42_{\mathds{Z}} \equiv (+, 42_{\mathds{N}})>.

=back

=item *

Ist das Einbeziehen von komplexen Zahlen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
sinnvoll?

=item *

Die "Menge aller Mengen" M<M = \left\{ N \bigm| N \text{ ist eine Menge}
\right\}> existiert ja nicht (Russelsche Antinomie), stattdessen existiert aber
die Klasse aller Mengen sehr wohl.

Würde die "Klasse aller Klassen" nicht einen ähnlichen Widerspruch wie die
"Menge aller Mengen" hervorrufen? Wie wird dieser Widerspruch axiomatisch
verhindert?

Was ist eine Klasse überhaupt?

=item *

Gesucht sei die "maximale Definitionsmenge" einer konstanten Funktion
M<\mathrm{f}> mit
M<\mathrm{f}(x) = 42>. Die "maximale Definitionsmenge" M<D_{\mathrm{f}} =
\left\{ x \bigm| x \text{ ist ein Objekt} \right\}> gibt es aber nicht (wieder
Russelsche Antinomie), also muss man sich "notgedrungen" auf "kleinere" Mengen
beschränken; korrekt?

=item *

Man hat ja die Addition, Multiplikation etc. auch auf Funktionen übertragen,
wobei M<\mathrm{f} + \mathrm{g} = \mathrm{h}> mit M<\mathrm{h}(x) =
\mathrm{f}(x) + \mathrm{g}(x)>.

Nun habe ich auch schon "M<\mathrm{f} + 42 = \mathrm{h}>" gesehen (also mit
M<\mathrm{h}(x) = \mathrm{f}(x) + 42>" gesehen; ist das lediglich eine
Kurzschreibweise oder kann man M<42> wirklich auch als Funktion auffassen (mit
M<42(x) = 42>)?

=item *

Gibt es eine Schreibweise für die in der Informatik üblichen anonymen
Funktionen?

Beispiel: Die Funktion M<\mathrm{f}>, die M<x \in \mathds{N}> die Funktion
M<\mathrm{g}> mit M<\mathrm{g}(t) = x + t> zuordnet -- kann man ihren
Funktionsterm evtl. auch wie folgt schreiben?

M<\mathrm{f}(x) = \left(t \mapsto x + t\right);>

=item *

Was ist ein Term? Was unterscheidet einen Term von einer Funktion?

=item *

Existiert die "Menge aller Funktionen", oder gibt es auch hier wieder einen
Widerspruch ala Russelscher Antinomie?

=item *

Ich habe gelesen, dass man "umgangssprachlich" sagen kann, dass die Klasse der
Surrealen Zahlen (John Conway, 1974; "Surreal Numbers: How Two Ex-Students
Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness" von Donald E. Knuth;
"On Numbers and Games" von Conway) "zu groß" sei, um noch eine Menge zu sein.

Wie ist das zu verstehen?

=item *

Zu welcher Menge gehören die Kardinalzahlen? Ist es überhaupt möglich, eine
"Menge aller Kardinalzahlen" aufzustellen (evtl. wegen Widerspruch ala
Russelscher Antinomie)?

(Die Surrealen Zahlen enthalten die Kardinalzahlen, die Surrealen Zahlen bilden
aber ja keine Menge, sondern eine Klasse.)

=item *

Ist die Schreibweise "M<2^M>", wobei M<M> eine beliebige (auch unendliche)
Menge ist, nur eine Kurzschreibweise oder hat sie einen weiteren Hintergrund?

Ist "M<M^2>" eine Kurzschreibweise? Wenn nein, kann man die Definition/ist es
sinnvoll, die Definition zu erweitern auf M<M^x> mit M<x \in \mathds{R}> (oder
sogar noch weiter)?

=item *

"Obwohl M<\mathds{Q}> dicht ist, gibt es trotzdem Zahlen, die nicht in
M<\mathds{Q}> enthalten sind (z.B. M<\sqrt{2}>). Somit ist die Gleichung M<x^2
= 2> in M<\mathds{Q}> nicht lösbar."

Dies ist zwar sicher richtig, aber was unterscheidet das Fehlen einer Lösung
der Gleichung M<x^2 = 2> von dem der Gleichung M<x^2 = -1> und M<\frac{42}{0} =
a>?

Überträgt man die Argumentation, so ist M<\mathds{R}> (und auch M<\mathds{C}>)
nicht "vollständig", da die Lösung der Gleichung M<\frac{42}{0} = a> nicht in
ihr vorkommt.

=item *

Ist es sinnvoll, die Vielfachheit von Elementen von Multimengen auf
M<\mathds{N}> zu beschränken? Ist es sinnvoll, sie auf M<\mathds{R}> oder sogar
M<\mathds{C}> zu erweitern?

=item *

"Man kann zwar auch noch weitere Zahlenmengen als M<\mathds{C}> konstruieren
(z.B. M<\mathds{R}^4>), aber diese verlieren dann immer mehr
Kör­per­ei­gen­schaf­ten."

Wieso? Und wieso erfüllen die Surrealen Zahlen "trotzdem" die Kör­per­ax­io­me
(abzüglich der Tatsache, dass die Surrealen Zahlen keine Menge, sondern eine
Klasse sind), sind wohlgeordnet und enthalten "sehr viel mehr" Zahlen als
M<\mathds{R}> (z.B.  Zahlen größer als M<0> und kleiner als jede reelle Zahl
(z.B.  M<\frac{1}{\omega} = \varepsilon>), Kardinalzahlen (z.B. M<\omega>)
etc.)?

=item *

Gödels Unvollständigkeitssatz besagt (sofern ich ihn richtig verstanden habe),
dass es wahre Aussagen gibt, die trotzdem nicht beweisbar sind.

Wie kann man von "wahren Aussagen" sprechen, wenn doch die "Wahrheit" (bzw. die
"Richtigkeit") über die Axiome definiert ist?

Wenn man eine Aussage nicht auf die (als richtig definierten) Aussagen des
Axiomensystems zurückführen kann -- dann ist die Aussage doch nicht richtig,
oder?

=item *

Kann man das "Gleichheitszeichen der Physik" (M<\frac{1{,}00}{3{,}0000} =
0{,}333>) mathematisch untermauern?

=item *

Was sind Einheiten? Gilt M<0 \,X = 0> für jede Einheit M<X> (von additiven
Einheiten wie M<^\circ\mathrm{C}> einmal abgesehen)?

Wie kann man mit Einheiten rechnen? Zu welcher Zahlenmenge gehört überhaupt
(z.B.) M<42 \,\mathrm{m}>? Zu M<\mathds{R} \times \left\{ \mathrm{m} \right\}>?

=item *

Die Addition zusammen mit der Multiplikation über Funktionen über M<\mathds{R}>
bildet doch nur in bestimmen Fällen einen Körper -- beispielsweise müssen die
Definitionsmengen jeder vorkommenden Funktion gleich M<\mathds{R}> sein, oder?

=item *

Hat es einen bestimmten Grund, dass die "herkömmlichen" Erweiterungen der
reellen Zahlen (ich ziele also nicht auf z.B. die Surrealen Zahlen ab) immer
aus Tupeln mit M<2^k> mit M<k \in \left\{ 1, 2, 4, 8, 16, \ldots \right\}>
Komponenten bestehen? (z.B. M<\mathds{C} = \mathds{R}^2>, M<\mathds{H} =
\mathds{C}^2 = \mathds{R}^4>, etc.)

=item *

Ich habe gelesen, dass es einen Unterschied zwischen M<\mathds{R}^2> und
M<\mathds{C}> gibt. Welchen?

=item *

Ist es sinnvoll, Tupel mit unendlich vielen Komponenten zuzulassen? (Definiert
man M<(a, b, c)> als M<(a, (b, c))> sollte dies doch kein Problem darstellen,
da alle vorkommenden Unter-Paare nur zwei Komponenten enthalten, richtig?)

=item *

"M<\oint \mathcal{B}(s) \,\mathrm{d}s = \mu_0 I> -- dabei spielt die Wahl des
Weges, entlang dessen man integriert, keine Rolle."

Ist dies eine spezielle Eigenschaft von M<\mathcal{B}>-Feldern? (Meine Idee
ist, dass sich M<\mathcal{B}(s)> so verhält -- so zunimmt oder abnimmt, damit
sich die Unterschiede, die sich durch unterschiedliche Wege ergeben, wieder
herausrechnen.) Oder trifft dies auf alle "normalen" Funktionen zu (Funktionen,
die stetig sind, deren Definitionsmenge eine "durchgehende" Teilmenge von
M<\mathds{R}> (bzw. M<\mathds{R}^3>) ist (also keine Punkte ausgeschlossen
werden), etc.)?

=item *

Was meint die Schreibweise M<\langle \mathrm{f}, \mathrm{g} \rangle> im
Zusammenhang mit Integralen?

=item *

"M<\Omega = \left\{ \omega \bigm| \omega \in \left[ 10, 40 \right] \right\}>
(»der Bus kommt zwischen M<10> und M<40> Zeiteinheiten nach Beginn der
Zeitrechnung an«; M<\Omega> sei ein Laplace-Raum)"

Wie kann man mit diesem Ergebnisraum (der ja überabzählbar unendlich ist)
umgehen?

Beschreibe M<A> das Ereignis "der Bus kommt genau M<30> Zeiteinheiten nach
Beginn der Zeitrechnung an", also M<A = \left\{ 30 \right\}>. Intuitiv müsste
die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von M<A> M<0> sein, korrekt?

Beschreibe M<B> das Ereignis "der Bus kommt zwischen M<20> Zeiteinheiten und
M<30> nach Beginn der Zeitrechnung an", also M<B = \left\{ \omega \bigm| \omega
\in \left[ 20, 30 \right] \right\}>. Intuitiv müsste die Wahrscheinlichkeit des
Eintretens von M<B> M<\frac{30 - 20}{40 - 10} = \frac{1}{3}> sein, korrekt? Wie
lässt sich das mathematisch begründen? (Man kann ja schlecht M<P(B) =
\frac{\left|B\right|}{\left|\Omega\right|}> ansetzen -- sowohl M<B> als auch
M<\Omega> sind ja unendlich groß und M<\infty> bzw.  M<\left|\Omega\right|> ist
ja kein Element von M<\mathds{R}>.)

=item *

Ist es sinnvoll, Surreale Zahlen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu nutzen?
(Damit hätte man ja die Kardinalzahlen als "normale Zahlen" (für die auch die
Division definiert ist), zur Verfügung.)

=back