=for timestamp
Do Jan 25 18:04:13 CET 2007

=head2 BERNOULLIexperimente und -ketten

=for comment
Wahrscheinlich schon am Di, den 23.1.2007.

Ein Zufallsexperiment mit M<\left|\Omega\right| = 2> heißt
"BERNOULLIexperiment".

Übliche Bezeichnungen: M<\Omega = \left\{ 0,1 \right\}>, M<0>: Niete, M<1>:
Treffer

Mit M<(\Omega,P)>:
M<P\!\left(\left\{ 0 \right\}\right) = q>,
M<P\!\left(\left\{ 1 \right\}\right) = p>

Die Hintereinanderausführung von BERNOULLIexperimenten gleicher
Trefferwahrscheinlichkeit ohne gegenseitige Beeinflussung nennt man
"BERNOULLIkette".

=head3 Modell der BERNOULLIkette

M<\Omega = \left\{ 0,1 \right\}^2; \quad n \in \mathds{N};> M<\quad> M<(\Omega,P)>

Die Ereignisse M<E_i = \left\{ \omega = (\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n)
\in \Omega \,\middle|\, \omega_i = 1 \right\}> (M<\left|E_i\right| = 2^{n-1}>),
M<i = 1,2,\ldots,n> sind unabhängig und haben alle dieselbe Wahrscheinlichkeit.

M<n> und M<p> sind Parameter der Kette, M<n> [nennt man] auch "Länge der
Kette".

=head3 [Bestimmung der Minimalkettenlänge für Trefferwahrscheinlichkeit
M<\beta>]

Bestimmung der Kettenlänge M<n> dafür, dass mindestens ein Treffer mit der
Wahrscheinlichkeit M<\beta> auftritt.

M<P(\overline{\text{kein Treffer}}) = 1 - P(\text{kein Treffer}) = 1 - q^n \geq
\beta;> ⇔

M<1 - \beta \geq q^n;> ⇔ [beide Seiten kleiner M<1>]

M<\log_q\left[1 - \beta\right] = \frac{\ln\left[1 - \beta\right]}{\ln\left[1 -
p\right]} \leq n;>

[M<n> natürlich aufrunden, falls nicht ganze Zahl]

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Ab hier evtl. schon die Mittwochsstunde (24.1.2007).

[Mit M<X> Anzahl der Treffer:]

M<P(X = k) = B(n,p,k) = \binom{n}{k} p^k \left(1 - p\right)^{n - k};>

M<\sum\limits_{i = 0}^k B(n,p,i) = P(X \leq k);>

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Mo Jan 29 19:11:14 CET 2007

=head3 Formel von Bernoulli

[Mit einer] BERNOULLIkette mit den Parametern M<n> und M<p> [und] M<X>: Anzahl
der Treffer

Das Wahrscheinlichkeitsmaß (Wahrscheinlichkeitsverteilung)
M<{P^n_p}{:}\, \mathcal{P}\!\left(\left\{ 0,1 \right\}^n\right) \to
\left[0,1\right]> mit M<{P^n_p}(X = k) = B(n,p;k)> heißt "Binomialverteilung
M<B(n,p)>".

=for timestamp
Di Jan 30 18:43:01 CET 2007

Die Zufallsgröße M<X> [ist] binomialverteilt.

(Kumulative) Verteilungsfunktion:

M<F(n,p;k) = {P^n_p}(X \leq x) = \sum\limits_{k \leq x} B(n,p;k);>

=head3 Erwartungswert und Varianz

BERNOULLIkette mit den Parametern M<n> und M<p> [und] M<X>: Anzahl der Treffer

M<X_i>: Anzahl der Treffer beim M<i>-ten BERNOULLIexperiment

M<E(X_i) = p \cdot 1 + q \cdot 0 = p;>

M<E(X) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) = n
p;>

M<\operatorname{Var}(X) =
{}\operatorname{Var}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) =
{}n \operatorname{Var}(X_i) = 
{}n \left[\left(1 - p\right)^2 p + \left(0 - p\right)^2 q\right] =
{}n p q;>