=for timestamp
Mi Jan 18 16:10:15 CET 2006

=head2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit

=table         | I<M<M>> | I<M<B>> | 
=row   I<M<L>> | M<5>    | M<12>   | M<17>
=row   I<M<F>> | M<4>    | M<8>    | M<12>
=row           | M<9>    | M<20>   | M<29>

M<\Omega = M \cup B = L \cup F;>

Wir nehmen M<\Omega> als Laplace-Raum an.

M<P_\Omega(M \cup L) = \frac{5}{29}; \quad P_\Omega(M) = \frac{9}{29}; \quad
P_\Omega(L) = \frac{17}{29};>

=table         | I<M<M>>     | I<M<B>>
=row   I<M<L>> | M<M \cap L> | M<B \cap L>
=row   I<M<F>> | M<M \cap F> | M<B \cap F>

M<\Omega = \left(M \cap L\right) \cup \left(M \cap F\right) \cup \left(B \cap
L\right) \cup \left(B \cap F\right);> ([jeweils] paarweise disjunkte Mengen)

M<L = \left(M \cap L\right) \cup \left(B \cap L\right);>

M<F = \left(M \cap F\right) \cup \left(B \cap F\right);>

M<M = \left(M \cap L\right) \cup \left(M \cap F\right);>

M<B = \left(B \cap L\right) \cup \left(B \cap F\right);>

M<\Omega_M = M;>

M<P_M(L) = \frac{5}{9} = \frac{P_\Omega(M \cap L) \cdot 29}{P_\Omega(M) \cdot
29} = \frac{P_\Omega(M \cap L)}{P_\Omega(M)};> (Wahrscheinlichkeit von M<L>
unter der Bedingung M<M>; Der Index M<\Omega> wird in aller Regel weggelassen;
Def. B. S. 114)

M<P_M{:}\, \mathcal{P}(\Omega) \to \mathds{R}> mit M<E \mapsto \frac{P(M \cap
E)}{P(M)}> ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß (vgl. B. S. 116 oben) und M<(\Omega,
P_M)> ist ein Wahrscheinlichkeitsraum.

	                  ---------o---------
	                 /                   \
	      P(M)=9/29 /                     \ P(B)=20/29
	               /                       \
	              o M                     B o
	             / \                       / \
	 P_M(L)=5/9 /   \ P_M(F)=     P_B(L)= /   \ P_B(F)=8/20
	           /     \ =4/9       =12/20 /     \
	          o L   F o                 o L   F o


	                  ---------o---------
	                 /                   \
	     P(L)=17/29 /                     \ P(F)=12/29
	               /                       \
	              o L                     F o
	             / \                       / \
	P_L(M)=5/10 /   \ P_L(B)=     P_F(M)= /   \ P_F(B)=8/12
	           /     \ =12/17      =4/12 /     \
	          o M   B o                 o M   B o


M<P_M(L) = \frac{P(M \cap L)}{P(M)}; \Rightarrow P(M \cap L) = P(M) P_M(L) =
\frac{9}{29} \frac{5}{9} = \frac{5}{29};> (1. Pfadregel, vgl. B. S. 120)

M<P(L) = P(L \cap M) + P(L \cap B) = \frac{9}{29}\frac{5}{9} +
\frac{20}{29}\frac{12}{20} = \frac{17}{29};> (2. Pfadregel, vgl. B. S. 120)

Verzweigungsregel:

	    o
	   / \
	a /   \ b
	 /     \
	o       o

M<a + b = 1;>

M<P(A \cap B \cap C) = P(A) \, P_A(B \cap C) = P(A) \, P_A(B) \, P_{A \cap B}(C);>