=for timestamp
Mo Jul  3 18:27:42 CEST 2006

=head2 Zufallsgrößen

Eine Abbildung M<X{:}\, \Omega \to \mathds{R}> heißt Zufallsgröße (-variable).

"Wenn ich eine Wand sehe, muss ich nicht erst durch sie hindurch gehen, um zu
sehen, dass es wirklich eine Wand ist."


=for timestamp
Mi Jul 12 17:26:26 CEST 2006

=head3 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Geg.: M<(\Omega, P)>, M<X> auf M<\Omega>, M<P_X> auf M<(\Omega, P)>

M<\tilde{P}_X{:}\, \mathds{R} \to \left[0, 1\right]; \quad x \mapsto \begin{cases}
{} P_X(x) & \text{falls } x \in W_X; \\
{} 0      & \text{sonst};
\end{cases}>


=for comment
Ka wann das hier war.

=head3 Die (kumulative) Verteilungsfunktion

Sei M<P_X> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf M<(\Omega, P)> und dem
Wertebereich von M<X> M<W_X = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}>.

Die Funktion M<F_X{:}\, \mathds{R} \to \left[0,1\right]; \quad x \mapsto P(X
\leq x) = P\!\left(\left\{ \omega \in \Omega \,\middle|\, X(\omega) \leq x
\right\}\right);> heißt (kumulative) Verteilungsfunktion von M<X> auf
M<(\Omega, P)>.

Folgerungen:

M<F_X(x) = \sum\limits_{x_i \leq x} \underbrace{P(X = x_i)}_{P_X(x_i)}>, da
M<\bigcup\limits_{i = 1,2,\ldots,n} \left\{ \omega \in \Omega \,\middle|\,
X(\omega) = x_i \right\} = \Omega;>

=for timestamp
So Jul 23 18:22:15 CEST 2006

=for comment
An der 2-Leute-Stunde letzten Mi, den 19.7.2006.

=head3 Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung und Un­ab­hän­gig­keit zweier
Zufallsgrößen

M<P(X = x \cap Y = y) = P_{X,Y}(x,y);>

M<(\Omega, P)> sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und M<X> und M<Y> seien
Zufallsgrößen auf M<\Omega> mit den Wertemengen M<W_X> und M<W_Y>.

=over

=item a)

Die Funktion M<P_{X,Y}{:}\, W_X \times W_Y \to \left[0, 1\right]; (x,y) \mapsto
P(X = x \cap Y = y) = P\!\left(\left\{ \omega \in \Omega \,\middle|\, X(\omega) = x
\wedge Y(\omega) = y \right\}\right)> heißt gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsverteilung von M<X> und M<Y>.

=item b)

[Gilt für alle M<x \in W_X> und für alle M<y \in W_Y>, dass die Ereignisse M<X
= x> und M<Y = y> sind unabhängig sind, so sind M<X> und M<Y> unabhängig.]

=for timestamp
Di Jul 25 20:57:27 CEST 2006

Die Ereignisse M<X = x> und M<Y = y> sind unabhängig I<für alle> M<x \in W_X>
und M<y \in W_Y>. ⇔

M<P(X = x \cap Y = y) = P(X = x) P(Y = y)> für alle M<x \in W_X> und M<y \in
W_Y>. ⇔

M<P_{X,Y}(x,y) = P_X(x) P_Y(y)> für alle M<x \in W_X>, M<y \in W_Y>.
M<\stackrel{\text{D}}{\Leftrightarrow}>

M<X> und M<Y> sind unabhängig.

=back


=for timestamp
Fr Sep 15 15:59:13 CEST 2006

=head3 Erwartungswert M<E(X)> einer Zufallsgröße M<X> über M<(\Omega,P)> mit
der Wertemenge M<W_X = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}>

M<E(X) := x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + \cdots + x_n P(X = x_n) =
\sum\limits_{i = 1}^n x_i P(X = x_i);>

"Im Grund sitzt keiner gescheit, aber alle halbwegs gut"

M<E(X) = x_1 \sum\limits_{\omega_i \in \left(X = x_1\right)} P\!\left(\left\{
\omega_i \right\}\right) +
x_2 \sum\limits_{\omega_i \in \left(X = x_2\right)} P\!\left(\left\{ \omega_i
\right\}\right) + \cdots +
x_n \sum\limits_{\omega_i \in \left(X = x_n\right)} P\!\left(\left\{ \omega_i
\right\}\right)\! = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega) P\!\left(\left\{
\omega \right\}\right)\!;>

"weißt, einmal gehst 'rein [ins Haus] und einmal 'raus; was war jetzt richtig?"


=for timestamp
Mo Sep 18 16:48:15 CEST 2006

=head4 Rechnen mit Erwartungswerten

=over

=item *

M<X> sei eine Zufallsgröße auf M<(\Omega, P)> mit der Wertemenge M<W_X =
\left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}>.

M<Y := a X + b; \quad a,b \in \mathds{R};>

M<Y{:}\, \Omega \to W_Y = \left\{ ax + b \,\middle|\, x \in W_X \right\}; \quad
\omega \mapsto a X(\omega) + b;>

M<E(Y) = E(aX + b) = \sum\limits_{x \in W_X} \left(ax + b\right) P(X = x) =
\sum\limits_{x \in W_X}\left[ ax P(X = x) + b P(X = x) \right] = a
\sum\limits_{x \in W_X} x P(X = x) + b \sum\limits_{x \in W_X} P(X = x) = a
E(X) + b;>

=item *

M<X> und M<Y> seien Zufallsgrößen über M<(\Omega, P)> mit den Wertemengen M<W_X
= \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}> und M<W_Y = \left\{ y_1, y_2, \ldots,
y_k \right\}>.

M<E(X + Y) = \sum\limits_{\omega \in \Omega}\left[ X(\omega) P\!\left(\left\{
\omega \right\}\right) + Y(\omega) P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right)
\right] = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega) P\!\left(\left\{ \omega
\right\}\right) + \sum\limits_{\omega \in \Omega} Y(\omega) P\!\left(\left\{
\omega \right\}\right) = E(X) + E(Y);> 

=item *

=for timestamp
Mi Sep 20 18:05:04 CEST 2006

=for comment
Teilweise schon letzte Stunde.

Seien M<X> und M<Y> unabhängige Zufallsgrößen über M<(\Omega,P)> mit den
Wertemengen M<W_X = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}> und M<W_Y = \left\{
y_1, y_2, \ldots, y_n \right\}>.

M<Z{:}\, \Omega \to W_Z> (Wertemenge) M<\quad \omega \mapsto X(\omega)
Y(\omega);>

M<\renewcommand{\arraystretch}{2.4}\begin{array}{rcl}
{} E(X Y) &=&
{}   \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y\\x y \in W_Z}}
{}     x y P(X = x \cap Y = y) = \\
{} &=&
{}   \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y\\x y \in W_Z}}
{}     x y P(X = x \cap Y = y) +
{}   \underbrace{
{}     \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y\\x y \not\in W_Z}}
{}       x y \underbrace{P(\underbrace{X = x \cap Y = y}_{\varnothing})}_0
{}   }_0 = \\
{} &=&
{}   \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y}}
{}     x y P(X = x \cap Y = y) =
{}   \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y}}
{}     x P(X = x) \, y P(Y = y) = \\
{} &=&
{}   \sum\limits_{x \in W_X} x P(X = x) \cdot
{}   \sum\limits_{y \in W_Y} y P(Y = y) = \\
{} &=& E(X) E(Y);
\end{array}>

=back