=for timestamp
Mo Nov 14 17:17:16 CET 2005

=head1 Tests

=head2 1. Klausur am 9.11.2005

=for comment
(Besprechung am 14.11.; Abgabe am 9.11.)

=over

=item 1.

Berechne M<\int\limits_1^5 \left(\frac{1}{4}x^3 - 3x + 5\right) \mathrm{d}x>.

M<\int\limits_1^5 \left(\frac{1}{4}x^3 - 3x + 5\right) \mathrm{d}x = \ldots =
23;>

=item 2.

Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen
M<\mathrm{f}> und M<\mathrm{g}> eingeschlossen wird. Dabei ist

M<\mathrm{f}(x) = 5x^3 - 2x^2 - 6; \quad x \in \mathds{R}; \quad> und M<\\>
M<\mathrm{g}(x) = 3x^3 + 2x^2 + 10x - 18; \quad x \in \mathds{R};>

M<\mathrm{f}(x) - \mathrm{g}(x) = 2x^3 - 4x^2 - 10x + 18;>

Nullstellen: M<-2>, M<1>, M<3>

M<\phi'(x) = \mathrm{f}(x) - \mathrm{g}(x);>

M<\phi(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 - 5x^2 + 12x;>

M<A = \left|\phi(1) - \phi(-2)\right| + \left|\phi(3) - \phi(1)\right| =
\frac{253}{6};>

"Aber es ist in keiser Weise stringentN<"folgerichtig, einsichtig,
nachvollziehbar">"

=item 3.

Gegeben sind die Geraden M<\mathrm{g}: x = 1> und M<\mathrm{h}: y = 1> sowie
die Funktion M<\mathrm{f}_a>, M<a \in \mathds{R}> mit M<\mathrm{f}_a(x) = a
\cdot x^2>. [Spätere Ergänzung: M<x \geq 0>]

Berechne den Inhalt der angegebenen Fläche.

=over

=item a)

Fläche, die von den Geraden M<\mathrm{g}> und M<\mathrm{h}> und dem Graphen von
M<\mathrm{f}_4> eingeschlossen ist.

M<A = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 4x^2 \,\mathrm{d}x - \frac{1}{2} = \ldots =
\frac{2}{3};>

=item b)

Fläche, die von der Geraden M<\mathrm{g}> und M<\mathrm{h}> und dem Graphen von
M<\mathrm{f}_{\frac{1}{5}}> eingeschlossen ist.

M<A = \sqrt{5} - 1 - \int\limits_1^{\sqrt{5}} \frac{1}{5}x^2 \,\mathrm{d}x =
\ldots = \frac{2}{3}\sqrt{5} - \frac{14}{15};>

"das kann man halt noch eintippen und dann kommt halt irgendwas 'raus"

=item c)

M<A = 1 - 2 \int\limits_0^1 x^2 \,\mathrm{d}x = \frac{1}{3};>

=back

=item 4.

Für M<0 E<lt> a E<lt> b> sei M<q = \sqrt[n]{\frac{b}{a}}>, M<n \in \mathds{N}>
und M<x_k = a \cdot q^k>, M<k = \left\{ 0, 1, 2, \ldots, n \right\}>.

=for timestamp
Mi Nov 16 15:31:58 CET 2005

=over

=item a)

Zeige, dass gilt: M<a = x_0 E<lt> x_1 E<lt> x_2 E<lt> \cdots E<lt> x_{n-1} E<lt>
x_n = b;>

M<x_0 = a \cdot q^0 = a;>

M<x_n = a \cdot q^n = a \left(\sqrt[n]{\frac{b}{a}}\right)^n = a \cdot
\frac{b}{a} = b;>

M<x_{k+1} = x_k \cdot q E<gt> x_k>, da M<q E<gt> 1>, weil M<b E<gt> a E<gt> 0>.

=item b)

Bestimme für festes M<n> den maximalen Abstand M<d_n> benachbarter Stellen
M<x_k> und untersuche das Verhalten von M<d_n> für M<n \to \infty>.

M<x_{k+1} - x_k = a q^{k+1} - aq^k = aq^k\left(q - 1\right)>, maximal für M<k =
n - 1>.

M<d_n = b - a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{n-1}{n}} \to b -
a\left(\frac{b}{a}\right)^1 = b - b = 0> für M<n \to \infty>.

=item c)

Zeige, dass die Untersumme zur Funktion M<f_\alpha>, M<a \in \mathds{N}> mit
M<f_\alpha(x) = x^\alpha>, M<x \in \left[a,b\right]> bezogen auf die Stellen
M<x_k> gegeben ist durch M<a^{\alpha + 1} \cdot \left(q - 1\right) \cdot
\left(1 + q^{\alpha + 1} + q^{2\left(\alpha + 1\right)} + \cdots + q^{\left(n -
1\right)\left(\alpha + 1\right)}\right)>

M<\renewcommand{\arraystretch}{2.0}\begin{array}{rcl}
{} s_n &=& \left(aq - a\right)a^\alpha + \left(aq^2 - aq\right)\left(aq\right)^\alpha + \left(aq^3 - aq^2\right)\left(aq^2\right)^\alpha + \cdots \thinspace + \\
{} &+& \left(aq^n - aq^{n-1}\right)\left(aq^{n-1}\right)^\alpha = \\
{} &=& a \cdot a^\alpha \cdot \left(q - 1\right) \cdot \left(1 + q \cdot q^\alpha + q^2 \cdot q^{2\alpha} + \cdots + q^{n-1} \cdot q^{\left(n-1\right)\alpha}\right) = \\
{} &=& a^{\alpha+1} \left(q-1\right) \left(1 + q^{\alpha+1} + q^{2\left(\alpha+1\right)} + \cdots + q^{\left(n - 1\right)\left(\alpha + 1\right)}\right);
\end{array}>

=back

=begin comment

Lösung der 4) selbst

=over

=item a)

M<x_0 = a q^0 = a;>

M<x_n = a q^n = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{n}{n}} = b;>

M<x_{k + 1} = a \cdot q^{k+1} E<gt> x_k = a \cdot q^k;>

M<k> und M<q> größer als M<1>; ⇒ Behauptung stimmt;

=item b)

Bestimme für festes M<n> den maximalen Abstand M<d_n> benachbarter Stellen
M<x_k> und untersuche das Verhalten von M<d_n> für M<n \to \infty>.

M<d_n = x_{k + 1} - x_k = a\left(q^{k+1} - q^k\right) = a
q^k \left(q - 1\right);>

M<\lim\limits_{n \to \infty} d_n = \lim\limits_{n \to \infty} a
\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n}}
\left[\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n}} - 1\right] = a
\left(\frac{b}{a}\right)^0 \left[\left(\frac{b}{a}\right)^0 - 1\right] =
a \left(1 - 1\right) = 0;>

=item c)

Zeige, dass die Untersumme zur Funktion M<f_\alpha>, M<a \in \mathds{N}> mit
M<f_\alpha(x) = x^\alpha>, M<x \in \left[a,b\right]> bezogen auf die Stellen
M<x_k> gegeben ist durch M<a^{\alpha + 1} \cdot \left(q - 1\right) \cdot
\left(1 + q^{\alpha + 1} + q^{2\left(\alpha + 1\right)} + \cdots + q^{\left(n -
1\right)\left(\alpha + 1\right)}\right)>

M<s_n = a^\alpha \left(q^{0\alpha}d_0 + q^{1\alpha}d_1 + q^{2\alpha}d_2 + \cdots
+ q^{\left(n - 1\right)\alpha}\right);>

⇒ M<s_n = a^{\alpha + 1} \left(q - 1\right) \left(q^{0\alpha}q^0 +
q^{1\alpha}q^1 + q^{2\alpha}q^2 + \cdots +
q^{\left(n-1\right)\alpha}q^{n-1}\right);>

⇒ M<s_n = a^{\alpha+1}\left(q-1\right)\left(1 + q^{\alpha + 1} +
q^{2\left(\alpha + 1\right)} + \cdots +
q^{\left(n-1\right)\left(\alpha+1\right)}\right);>

Für M<n \to \infty> deckt die angegebene Untersumme das ganze Intervall
M<\left[a,b\right]> ab, weil die Breiten der Streifen gegen M<0> gehen (siehe
b)).

=back

=end comment

=for timestamp
Mo Nov 14 17:17:16 CET 2005

=item 5.

Betrachtet werden die auf M<\left[a,b\right]> definierten Funktionen
M<\mathrm{f}>, M<\mathrm{F}_k> und M<\mathrm{F}_l> mit M<\mathrm{F}_k(x) =
\int\limits_k^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t> und M<\mathrm{F}_l(x) =
\int\limits_l^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t> gemäß folgender Skizze:

[Skizze]

=over

=item a)

Skizziere in ein Koordinatensystem möglichst genau die Graphen von
M<\mathrm{F}_k> und M<\mathrm{F}_l>.

=item b)

Gib einen Zusammenhang zwischen M<\mathrm{F}_k> und M<\mathrm{F}_l> an.

=item c)

Skizziere den Graphen einer Stammfunktion von M<\mathrm{f}>, die nicht als
Integralfunktion darstellbar ist, und begründe deine Wahl.

=back

=back