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Mo Apr 24 17:43:10 CEST 2006

=head2 3. Klausur am 5.4.2006

=for comment
(Besprechung am 24.4.2006f.)

=over

=item 1.

Bei der Einschulung wurden alle Schüler eines Jahrgangs einem Eignungstest
unterzogen. Am Ende der Schulzeit bestehen M<35 \,\%> dieser Schüler die
Abschlussprüfung nicht. Davon hatten M<85 \,\%> im Eignungstest ein schlechtes
Ergebnis. Von den Schülern mit bestandener Abschlussprüfung hatten M<2 \,\%> im
Eignungstest schlecht abgeschnitten. (6 P)

=over

=item a)

Stelle diesen Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar und gib dabei für jeden Ast
die zugehörige Wahrscheinlichkeit an. (2 P)

M<A>: Abschlussprüfung bestanden M<\\>
M<E>: Eignungstest gut

            +---+---+
      0,65 /         \ 0,35
          /           \
         /             _
        A              A
  0,98 / \ 0,02  0,15 / \ 0,85
      /   \_         /   \_
     E     E        E     E

=item b)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Schüler mit schlechtem Ergebnis
im Eignungstest die Abschlussprüfung nicht besteht. (4 P)

M<P_{\overline{E}}(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap
\overline{E})}{P(\overline{E})} = \frac{P(\overline{A} \cap E)}{P(A) P_A(E) +
P(\overline{A}) P_{\overline{A}}(E)} \approx 95{,}8 \,\%;>

=back

=item 2.

Aus der Menge der ersten dreißig natürlichen Zahlen wird zufällig eine Zahl
ausgewählt. Untersuche, ob die Geradzahligkeit der Zahl selbst stoachstisch
unabhängig ist von der Geradzahligkeit ihrer Quersumme. (4 P)

      *     *     *     *
   1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
      *     *     *     *

                             *
  11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
  *     *     *     *     *  *

     *     *     *     *
  21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
     *     *     *     *

M<\left| G \right| = 15; \quad \left| QG \right| = 14; \quad \left| G \cap QG
\right| = 9;>

M<P(G) P(QG) = \frac{15}{30} \frac{14}{30} = \frac{7}{30} \neq \frac{9}{30} =
P(G \cap QG);>

⇒ Grund für M<QG> abhängig.

=item 3.

Gegeben sind die Ebene M<E{:}\, x_1 + x_2 + x_3 - 1 = 0> und die Geradenschar
M<g_a{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\-3\\a^2\end{smallmatrix}\!\right) + k \vec{v_a}>
mit M<\vec{v_a} =
\left(\!\begin{smallmatrix}1-a\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)>, M<a, k \in
\mathds{R}>. (6 P)

=over

=item a)

M<S_a> ist die Spitze des Repräsentanten von M<\vec{v_a}>, der den Ursprung als
Fußpunkt hat. Beschreibe in Worten die geometrische Bedeutung der Menge M<M =
\left\{ S_a \middle| a \in \mathds{R} \right\}> möglichst genau. (2 P)

M<\vec{v_a} = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right) + a
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad a \in
\mathds{R};>

M<M> ist eine Gerade parallel zur M<x_1>-Achse durch den Punkt M<(1,2,3)>.

=item b)

Bestimme alle Werte für M<a>, für die gilt: (4 P)

M<g_a \cap E{:}\, 2 + k \left(1 - a\right) - 3 + 2k + a^2 + 3k - 1 = 0;>

M<k \left(6 - a\right) = 2 - a^2;>

=over

=item 1.

Fall: M<6 - a \neq 0;>

M<k = \frac{2 - a^2}{6 - a}>, d.h. M<k> ist eindeutig bestimmt.

=item 2.

Fall: M<6 - a = 0;>

M<6 = a;>

M<k \cdot 0 \neq 2 - 36;>

Es gibt keine Lösung für M<k>.

=back

=over

=item M<\alpha>)

M<\left|g_a \cap E\right| = 1;>

M<a \neq 6;>

=item M<\beta>)

M<g_a \cap E = \left\{\right\};>

M<a = 6;>

=item M<\gamma>)

M<g_a \cap E = g_a;>

Nicht möglich, d.h. es gibt keinen Fall für M<a>.

=back

=back

=item 4.

Gegeben sind der Punkt M<A(4, 2, 6)>, die Geraden

M<g_1{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-1\\-4\end{smallmatrix}\!\right) + k
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad k \in
\mathds{R};>

M<g_2{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}10\\5\\10\end{smallmatrix}\!\right) + l
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad l \in
\mathds{R};>

M<g_3{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}5\\0\\6\end{smallmatrix}\!\right) + m
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad m \in
\mathds{R};> und die Ebene

M<F{:}\, \vec X = u
\left(\!\begin{smallmatrix}4\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right) + v
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad u, v \in
\mathds{R};> (24 P)

=over

=item a)

Zeige, dass sich M<g_1> und M<g_2> schneiden und berechne ihren Schnittpunkt.
Untersuche M<g_1> und M<g_3> auf ihre gegenseitige Lage hin. (6 P)

M<g_1>--M<g_3>: Gleichungssystem nicht lösbar

=item b)

Gib eine vektorielle Parameterdarstellung der Ebene M<E> an, die parallel zur
M<x_3>-Achse ist und deren Schnittgerade mit der M<x_1>--M<x_2>-Ebene durch
M<x_1 - 2 x_2 - 6 = 0> beschrieben ist. (3 P)

M<g_1 \cap g_2>: M<S(0,0,0)>

M<x_1 - 2x_2 - 6 = 0;>

M<A(6,0,0); \quad B(0,-3,0);>

M<s{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}6\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) +
\varrho \left(\!\begin{smallmatrix}6\\3\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
\varrho \in \mathds{R};>

M<E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}6\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)
+ \varrho \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \varrho,
\sigma \in \mathds{R};>

=item c)

Zeige, dass M<F> echt parallel zu M<E> ist und M<g_1> und M<g_2> in der Ebene
M<F> liegen. (9 P)

M<F \cap x_1\text{--}x_2\text{-Ebene}{:}\, \vec X =
w \left(\!\begin{smallmatrix}-4 + 2\\-2 + 1\\0\end{smallmatrix}\!\right) = w
\left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-1\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad w \in
\mathds{R};>

M<(0,0,0) \in F;>

M<g_1>--M<F> [ergibt Lösbarkeit, Abhängigkeit von einem Parameter]

=item d)

Untersuche, ob es eine Gerade M<h> gibt, die parallel zu M<E> ist und die
Geraden M<g_1>, M<g_2> und M<g_3> schneidet. Gib gegebenfalls eine Gleichung
für M<h> an. (6 P)

M<E \parallel F;>

M<g_1, g_2 \in F;>

M<g_1 \cap g_2 = \left\{ (0,0,0) \right\};>

M<h> existiert genau dann, wenn M<g_3 \cap F \neq \varnothing;>

M<g_3 \cap F = \left\{ T \right\} = \left\{ (4,2,6) \right\};>

M<h = 0T;>

M<h{:}\, \vec X = \mu'
\left(\!\begin{smallmatrix}4\\2\\6\end{smallmatrix}\!\right) = \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=back

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