=for timestamp
Do Jun 22 17:49:18 CEST 2006

=for timestamp
Di Jul  4 18:08:21 CEST 2006

=for timestamp
Sa Jul  8 17:44:26 CEST 2006

=head2 4. Klausur am 21.6.2006

=for comment
(Besprechung am 4.7.2006 und 7.7.2006.)

=over

=item 1.

Untersuche, ob M<V = \left\{
\left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right) \,\middle|\, a, b \in
\mathds{R} \right\}> mit
M<\left(\!\begin{smallmatrix}a_1\\b_1\end{smallmatrix}\!\right) +
\left(\!\begin{smallmatrix}a_2\\b_2\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{smallmatrix}\!\right)> und M<k
\cdot \left(\!\begin{smallmatrix}a_1\\b_1\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}k \cdot a_1\\b_1\end{smallmatrix}\!\right)>, M<k \in
\mathds{R}> ein Vektorraum über M<\mathds{R}> ist. (6 P)

M<\lambda \left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}\lambda a\\b\end{smallmatrix}\!\right) +
\left(\!\begin{smallmatrix}\mu a\\b\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}\lambda a + \mu a\\2b\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}\left(\lambda + \mu\right)
a\\2b\end{smallmatrix}\!\right) \neq
\left(\!\begin{smallmatrix}\left(\lambda + \mu\right)
a\\b\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\lambda + \mu\right)
\left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right)> für M<b \neq 0;>

→ M<V> ist kein Vektorraum über M<\mathds{R}>.

=item 2.

Untersuche, ob aus der linearen Unabhängigkeit von M<\vec a>, M<\vec b> und
M<\vec c> die lineare Unabhängigkeit von M<\vec v>, M<\vec w> und M<\vec z>
folgt, wenn gilt:

M<\vec v =   \vec a + 2 \vec b + 3 \vec c> und M<\\>
M<\vec w = 2 \vec a -   \vec b + 2 \vec c> und M<\\>
M<\vec z =              \vec b -   \vec c>. (10 P)

M<k \vec v + l \vec w + m \vec z = k \left(\vec a + 2 \vec b + 3 \vec c\right)
+ l \left(2 \vec a - \vec b + 2 \vec c\right) + m \left(\vec b - \vec c\right)
= \vec a \left(k + 2l\right) + \vec b \left(2k - l + m\right) + \vec c \left(3k
+ 2l - m\right) = \vec 0;>

M<\vec a>, M<\vec b>, M<\vec c> linear unabhängig, also:

M<k + 2l = 0; \quad 2k - l + m = 0; \quad 3k + 2l - m = 0;>

⇒ M<k = l = m = 0>, d.h. M<\vec v>, M<\vec w>, M<\vec z> linear unabhängig.

=item 3.

Gegeben ist für M<a \in \mathds{R}_0^+> die Funktionenschar M<\mathrm{f}_a> mit
M<\mathrm{f}_a(x) = 4 \cdot e^{-x} \left(a - e^{-x}\right)>, M<x \in
\mathds{R}>. (20 P)

=over

=item a)

Untersuche die Graphen der Scharfunktionen auf Achsenschnittpunkte, relative
Hoch- und Tiefpunkte und Wendepunkte. Bestimme gegebenenfalls die Koordinaten
dieser Punkte. (8 P)

=over

=item *

Für M<a = 0>: M<\mathrm{f}_0(x) = -4 e^{-2x};>

Schnittpunkt mit M<y>-Achse: M<(0, -4)>

Kein Schnittpunkt mit M<x>-Achse

Keine Extrem- und Wendestellen

=item *

Für M<a E<gt> 0>:

M<\mathrm{f}_a'(x)  = 4 e^{-x} \left(2 e^{-x} - a\right)\!;>

M<\mathrm{f}_a''(x) = 4 e^{-x} \left(a - 4 e^{-x}\right)\!;>

M<\mathrm{f}_a'(x) = 0> für M<x = -ln \frac{a}{2} = \ln \frac{2}{a};>

M<\mathrm{f}_a''\!\left(-\ln \frac{a}{2}\right) = -2 a^2 E<gt> 0;>

Hochpunkt: M<\left(-\ln \frac{a}{2}, a^2\right)>

Vorzeichenwechsel von M<\mathrm{f}_a''(x)> bei M<-ln \frac{a}{4}>, da M<4
e^{-x}> stets größer M<0> und M<\left(a - 4 e^{-x}\right)> echt monoton
wachsend.

=back

=item b)

Bestimme das Verhalten von M<\mathrm{f}_a(x)> für M<x \to +\infty> und M<x \to
-\infty>. (2 P)

M<\lim\limits_{x \to \infty} 4 e^{-x} \left(a - e^{-x}\right) = 4 \cdot 0 \cdot
\left(a - 0\right) = 0;>

M<\lim\limits_{x \to -\infty} \underbrace{4 e^{-x}}_{\to +\infty}
\underbrace{\left(a - e^{-x}\right)}_{\to -\infty} = \lim\limits_{x \to
-\infty} 4 e^{-2x} \left(\frac{a}{e^{-x}} - 1\right) = -\infty;>

=item c)

Zeige, dass M<\mathrm{F}_a> mit M<\mathrm{F}_a(x) = 2 \left(a -
e^{-x}\right)^2>, M<x \in \mathds{R}> eine Stammfunktion von M<\mathrm{f}_a>
ist. (2 P)

=item d)

Zeige, dass für M<\alpha \in \mathds{R}^+> die Funktion
M<\tilde{\mathrm{F}}_\alpha> mit M<\tilde{\mathrm{F}}_\alpha(x) = 2
\left(\alpha - e^{-x}\right)^2>, M<x \in \left]-\ln \alpha, \infty\right[> eine
Umkehrfunktion hat, und gib Definitionsmenge und Funktionsterm der
Umkehrfunktion an. (8 P)

M<\tilde{\mathrm{F}}_\alpha'(x) = \mathrm{f}_\alpha(x)> für M<x \in \left]-\ln
a, \infty\right[;>

M<\tilde{\mathrm{F}}_\alpha'(x)> hat auf M<\left]-\ln a, \infty\right[> keine
Nullstellen, d.h. M<\tilde{\mathrm{F}}_\alpha> ist echt monoton auf
M<\left]-\ln a, \infty\right[>.

Also ist M<\tilde{\mathrm{F}}_\alpha> injektiv.

M<\tilde{\mathrm{F}}_\alpha> ist surjektiv, falls als Zielbereich
M<W_{\tilde{\mathrm{F}}_\alpha}> verwendet wird. (2 P)

M<D_{\tilde{\mathrm{F}}_\alpha^{-1}} = W_{\tilde{\mathrm{F}}_\alpha} = \left[0,
2 \alpha^2\right[;> (da M<\tilde{\mathrm{F}}_\alpha> stetig und echt monoton)

M<\lim\limits_{x \to -\ln \alpha} \tilde{\mathrm{F}}_\alpha(x) = 0; \quad
\lim\limits_{x \to \infty} \tilde{\mathrm{F}}_\alpha(x) = 2 \alpha^2;> (3 P)

M<y = 2 \left(\alpha - e^{-x}\right)^2 E<gt> 0; \quad x E<gt> -\ln \alpha;>

M<\sqrt{y} = \sqrt{2 \left(\alpha - e^{-x}\right)^2} = \sqrt{2} \left|\alpha -
e^{-x}\right| = \sqrt{2} \left(\alpha - e^{-x}\right)\!;>

...

M<\tilde{\mathrm{F}}_\alpha^{-1}(x) = -\ln \left(\alpha -
\sqrt{\frac{x}{2}}\right)\!;>

=back

=back

"Ich will gar nicht immer Recht haben... Unter dem Schicksal leide ich schon
seit langem..."