=for timestamp
Di Nov  7 18:20:22 CET 2006

=for timestamp
Mi Nov  8 17:18:57 CET 2006

=for timestamp
Fr Nov 10 16:27:30 CET 2006

=head2 5. Klausur am 7.11.2006

=for comment
Besprechung (erster Teil) am 8.11. Zweiter Teil am 10.11. Herausgabe am 20.1.

=for comment
Schnitt: 8,88 Punkte; Note 2,72 

=over

=item 1.

Ein Torwart hält einen Elfmeter mit der Wahrscheinlichkeit M<20 \,\%>. Im
Training schießt ein Spieler solange aus der Elfmeterposition, bis er zwei Tore
erzielt hat, jedoch höchstens viermal. (13 P)

=over

=item a)

Stelle die Trainingseinheit einschließlich der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
in einem Baumdiagramm dar. (5 P)

[11 Pfade]

=item b)

Berechne den Erwartungswert der erzielten Tore in einer Trainingseinheit. (8 P)

  x | 0     | 1           | 2
  --+-------+-------------+------------------------------
  P | 0,2^4 | 4*0,8*0,2^3 | 0,8^2+2*0,8^2*0,2+3*0,8^2*0,2

M<E(X) = 1{,}9712;>

=back

=item 2.

Lackierte Kunststoffteile, z.B. Gehäuse von Außenspiegeln für Fahrzeuge, werden
vor der Auslieferung auf optische Mängel hin untersucht. Während seiner
gesamten Arbeitszeit fällt ein Kontrolleur bei der Begutachtung eines
Kunststoffteils mit M<95 \,\%> Wahrscheinlichkeit eine richtige Entscheidung.

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der
falschen Entscheidungen des Kontrolleurs, wenn er a) ein Teil (6 P) bzw. b)
zweihundert Teile (6 P) überprüft. (12 P)

=over

=item a)

M<X_1 = \text{Anzahl der falschen Entscheidungen bei einem Teil};>

  x1 | 0    | 1
  ---+------+----
  P  | 95 % | 5 %

M<E(X_1) = 0{,}05;>

M<\operatorname{Var}(X_1) = 0{,}05^2 \cdot 0{,}95 + 0{,}95^2 + 0{,}05 = 0{,}05
\cdot 0{,}95 = 0{,}0475; \quad \sigma(X_1) \approx 0{,}22;>

=item b)

M<X_i = \text{Anzahl der falschen Entscheidungen beim }i\text{-ten Teil}; \quad
i = 1, 2, \ldots, 200;>

M<X = X_1 + X_2 + \cdots + X_{200};>

M<E(X) = 200 \cdot 0{,}05 = 10;>

M<\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Var}(X_1 + X_2 + \cdots + X_{200}) = 200
\operatorname{Var}(X_1) = 9{,}5; \quad \sigma(X) \approx 3{,}08;>

=back

=item 3.

Gegeben sind die Punkte M<A(8,0,0)>, M<B(8,3,0)>, M<C_t(4t+5,3,-3t)> und
M<D(0,0,6)>. Dabei ist M<t> eine reelle Zahl. (19 P)

=over

=item a)

Bestimme alle Werte von M<t>, für die das Dreieck M<A B C_t> rechtwinklig und
gleichschenklig ist. (6 P)

=item b)

Berechne den Abstand des Punktes M<D> von der Geraden M<A C_0> und den
Flächeninhalt des Dreiecks M<A C_0 D>. (6 P)

=item c)

Das Volumen der Pyramide M<A D B C_t> ist unabhängig von M<t> (Nachweis nicht
verlangt). Gib eine geometrische Deutung dafür an und beweise deine Aussage. (7
P)

=back

=item 4.

M<D>, M<E> und M<F> bezeichnen die Mitten der Seiten eines Dreiecks M<ABC>.
Gegen den Uhrzeigersinn werden die genannten Punkte in der Abfolge M<ADBECF>
durchlaufen. M<S> ist ein Punkt der Ebene, in der das Dreieck liegt. Wir
betrachten folgende Aussage:

Aus M<\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{SD} = 0> und
M<\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{SF} = 0> folgt:
M<\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{SE} = 0>. (13 P)

=over

=item a)

Fertige eine Skizze an, die die Aussagen widerspiegelt, und formulieren den
Satz der Dreieckslehre, den die Aussage ausdrückt. (6 P)

=item b)

Beweise die Aussage. (2 P)

M<\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{SE} = \left(\overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{AC}\right) \cdot \left(\overrightarrow{SD} +
\underbrace{\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}}_{\overrightarrow{DB}} +
\underbrace{\frac{1}{2} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}
\overrightarrow{AC}}_{\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}
\overrightarrow{BC}}\right) = \underbrace{\overrightarrow{BA}
\overrightarrow{SD}}_{0} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} \overrightarrow{AC}
+ \overrightarrow{AC} \overrightarrow{SD} + \frac{1}{2} {\overrightarrow{AC}}^2
= \overrightarrow{AC} \cdot \underbrace{\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{SD} + \frac{1}{2}
\overrightarrow{AC}\right)}_{\overrightarrow{SF}} = 0;>

=back

=back

"dann passiert das, wovor ich gewarnt hab', dass man sich freut..."