=for timestamp
Mo Dez 18 13:41:12 CET 2006

=for timestamp
Mo Jan 22 17:54:26 CET 2007

=head2 6. Klausur am 18.12.2006

=for comment
Herausgabe am 22.1.2007. Besprechung am 22.1.2007 und evtl. auch schon an der
Stunde nach dem Schreiben.

=over

=item 1.

Gegeben ist die Ebene M<E{:}\, 2 x_1 - 3 x_2 + 4 x_3 + 1 = 0>. (12 P)

=over

=item a)

Erläutere die geometrische Bedeutung der beiden HESSEnormierungen und gib den
HESSEterm an. (3 P)

=item b)

Begründe für einen Punkt im positiven Halbraum von M<E> bezüglich des
HESSEvektors mittels einer Skizze die Bedeutung des Werts des HESSEterms für
diesen Punkt. (3 P)

=item c)

Untersuche, welche der Punkte M<A(1,1,1)>, M<B(-1,3,5)>, M<C(-2,3,-5)> im
selben Halbraum bezüglich M<E> liegen, und berechne den Abstand von M<C> zu
M<E>. (3 P)

=item d)

Durch Spiegelung von M<E> am Punkt M<P(1,2,3)> entsteht die Ebene M<E'>.
Bestimme eine Gleichung von M<E'>. (3 P)

=back

=item 2.

Ein Zylinder mit unbegrenzt langer Achse M<a> und Radius M<\sqrt{2}> liegt im
1. und 4. Oktanten so zwischen den Ebenen M<E{:}\, x_1 - x_3 = 0> und M<F{:}\,
x_1 = 0> eingekeilt, dass er M<E> in der Geraden M<e> und M<F> in der Geraden
M<f> berührt. (10 P)

=over

=item a)

Fertige eine aussagekräftige Skizze an, die den Schnitt der
M<x_1>--M<x_3>-Ebene mit dem Zylinder und den Ebenen M<E> und M<F> darstellt.
(4 P)

=item b)

Bestimme eine Gleichung für die Achse M<a>. Verwende dazu möglichst wenig
elementargeometrische Rechentechniken, sondern setze die Techniken der
Vektorgeometrie ein. (6 P)

=back

=item 3.

Bestimme eine Stammfunktion von M<f>. Verwende dazu die partielle Integration
oder die Substitutionsmethode. (10 P)

=over

=item a)

M<f(x) = \sin x \cdot \cos x; \quad x \in \mathds{R};> (3 P)

=item b)

M<f(x) = \frac{x \ln\!\left(x^2 + 1\right)}{\sqrt{x^2 + 1}}; \quad x \geq 0;>
(7 P)

=back

=item 4.

Gegeben ist die Funktion M<f> mit M<f(x) = \frac{e^x}{\left(e^x + 1\right)^2}>,
M<x \in \mathds{R}_0^+>. (12 P)

=over

=item a)

Untersuche das Monotonieverhalten von M<f> sowie das Verhalten von M<f> für M<x
\to \infty>. Skizziere den Graphen von M<f>. (6 P)

=item b)

Zeige mittels der Substitutionsmethode, dass M<F> mit M<F(x) = -\left(e^x +
1\right)^{-1}>, M<x \in \mathds{R}_0^+> eine Stammfunktion von M<f> ist. (3 P)

=item c)

Die Gerade M<x = t \geq 0>, die M<x>-Achse und der Graph von M<f> begrenzen
eine unendlich ausgedehnte Fläche.

Berechne den Inhalt dieser Fläche. (3 P)

=back

=back