=for timestamp
Mo Nov  6 17:11:36 CET 2006

=for timestamp
Di Nov  7 18:21:56 CET 2006

=head2 Formelsammlung zur 5. Klausur

=head3 Analytische Geometrie

=head4 Umrechnungen zwischen Parameter- und Ko­or­di­na­ten/Nor­ma­len­form

=over

=item *

Umrechnung der Parameterform einer Ebene mit Aufpunkt M<A> und
Richtungsvektoren M<\vec u> und M<\vec v> in die Normalenform:

=over

=item *

M<\vec n = \vec u \times \vec v; \quad n_0 = - \vec n \vec A;>

M<\vec n \cdot \overrightarrow{AX} = n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + n_0 = 0;>

=item *

M<\operatorname{det}\!\left(\overrightarrow{AX}, \vec u, \vec v\right)
\stackrel{!}{=} 0>, da M<\left\{ \overrightarrow{AX}, \vec u, \vec v \right\}>
komplanar ist/sein muss.

=back

=item *

Umrechnung der Koordinatenform einer Ebene in die Parameterform:

Definition: M<x_2 := \lambda; \quad x_3 := \mu;>

Koordinatenform nach M<x_1> auflösen → Term für M<x_1>

M<x_1>, M<x_2 = \lambda> und M<x_3 = \mu> in M<\vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{smallmatrix}\!\right)> einsetzen
und nach M<1>, M<\lambda> und M<\mu> gruppieren.

=back

=head4 Winkel

=over

=item *

Winkel M<\angle(\vec u,\vec v) \in \left[0^\circ, 180^\circ\right]> zwischen
zwei Vektoren:

M<\cos \angle(\vec u,\vec v) = \frac{\vec u \vec v}{\left|\vec u\right|
\left|\vec v\right|};>

=item *

Winkel M<\angle(g,h) \in \left[0^\circ, 90^\circ\right]> zwischen zwei Geraden
mit Richtungsvektoren M<\vec g> und M<\vec h>:

M<\cos \angle(g,h) = \left|\frac{\vec g \vec h}{\left|\vec g\right| \left|\vec
h\right|}\right|;>

=item *

Winkel M<\angle(g,E) \in \left[0^\circ, 90^\circ\right]> zwischen einer Geraden
mit Richtungsvektor M<\vec g> und einer Ebene mit Normalenvektor M<\vec n>:

M<\cos\left[90^\circ - \angle(g,E)\right] = \sin \angle(g,E) = \left|\frac{\vec
g \vec n}{\left|\vec g\right| \left|\vec n\right|}\right|;>

=item *

Winkel M<\angle(E,F) \in \left[0^\circ, 90^\circ\right]> zwischen zwei Ebenen
mit Normalenvektoren M<\vec e> und M<\vec f>:

M<\cos \angle(E,F) = \left|\frac{\vec e \vec f}{\left|\vec e\right| \left|\vec f \right|}\right|;>

=back

=head4 Abstände, Normalen

=over

=item *

Abstand M<d(P,Q)> von zwei Punkten:

M<d(P,Q) = \left|\overrightarrow{PQ}\right| = \sqrt{{\overrightarrow{PQ}}^2};>

=item *

Abstand M<d(P,g)> von einem Punkt zu einer Geraden mit Richtungsvektor M<\vec
g> und Laufparameter M<\lambda>:

=over

=item *

Allgemeinen Abstand M<d(P,X_g(\lambda))> berechnen (in Ab­hän­gig­keit von
M<\lambda>), diesen dann ableiten, auf Null setzen und dann nach M<\lambda>
auflösen

Kurz: M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{P
X_g(\lambda)}\right|^2 \stackrel{!}{=} 0;>

=item *

M<d(P,g) = d(P,F) = \left|\overrightarrow{PF}\right|>, wobei
M<\underbrace{\overrightarrow{P F}}_{\overrightarrow{P X(\lambda)}} \cdot \vec g = 0;>

=item *

Hilfsebene M<H> (Normalenvektor M<\vec h>) durch M<P> senkrecht zu M<g> legen:

M<\vec h := \vec g; \quad h_0 = - \vec h \vec P;>

Dann M<\vec X_g> in die Normalenform von M<H> einsetzen, auflösen (eine
Gleichung; Unbekannte ist M<\lambda>)

Dann weiter wie oben.

=back

=item *

Abstand M<d(P,E)> von einer Ebene mit Normalenvektor M<\vec n> zu einem Punkt:

M<d(P,E) = d(P,F)> mit M<E \cap n = \left\{ F \right\}> und M<n{:}\, \vec X =
\vec P + \lambda \vec n;>

=item *

Abstand M<d(g,E)> von einer Ebene zu einer parallelen Geraden:

M<d(g,E) = d(P,E)>, mit M<P> als beliebigen festen Punkt von M<g>

=item *

Abstand M<d(E,F)> von zwei parallenen Ebenen:

M<d(E,F) = d(P,F)>, mit M<P> als beliebigen festen Punkt von M<E>

=back

=head4 Projektion

=over

=item *

(Senkrechte) Projektion eines Vektors M<\vec a> auf einen Vektor M<\vec n>:

M<\vec n_{\vec a} = {\vec n}^0 \cdot \left|\vec a\right| \cos\varphi;>

=item *

(Senkrechte) Projektion eines Punkts auf eine Gerade:

Die Projektion ist der Lotfußpunkt des Lots durch den Punkt auf die Gerade.

=item *

(Senkrechte) Projektion eines Punkts M<P> auf eine Ebene (Normalenvektor M<\vec
e>):

Die Projektion ist der Lotfußpunkt des Lots durch den Punkt auf die Ebene.

Besonders schneller Weg zur Normalengleichung:

M<n{:}\, \vec X = \vec P + \lambda \vec e;>

=item *

(Senkrechte) Projektion einer Geraden auf eine Ebene:

Zwei beliebige feste Punkte der Geraden auf die Ebene projezieren und die
Projektionspunkte dann verbinden. (Zweck­mä­ßi­ger­wei­se ist einer der Punkte
der Schnittpunkt von Gerade und Ebene)

=back

=head3 Stochastik

=head4 Definitionen

=head5 Definitionen zur Zufallsgröße

=over

=item *

Zufallsgröße: M<X{:}\, \Omega \to \mathds{R};>

=item *

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

M<P_X{:}\, W_X \to \left[0,1\right]; \quad x \mapsto P(X = x);>

=item *

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

M<\tilde{P}_X{:}\, \mathds{R} \to \left[0,1\right];>

M<x>-Werte, die an denen M<P_X> nicht definiert ist, werden auf M<0> gesetzt.

=item *

Kumulative Verteilungsfunktion:

M<F_X{:}\, \mathds{R} \to \left[0,1\right]; \quad x \mapsto P(X \leq x);>

=item *

Dichtefunktion

=item *

Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung: M<P_{X,Y}{:}\, W_X \times W_Y \to
\left[0,1\right];>

=item *

Unabhängigkeit zweier Zufallsgrößen M<X> und M<Y> ⇔

M<P(X = x) P(Y = y) = P(X = x \cap Y = y)> für alle M<x \in W_X> und für alle
M<y \in W_Y;>

=back

=head5 Definitionen zu Charakteristika von Zufallsgrößen

=over

=item *

Erwartungswert M<E(X) = \mu \in \mathds{R}> einer Zufallsgröße:

M<E(X) = \sum\limits_{x \in W_X} x P(X = x) = \sum\limits_{\omega \in \Omega}
X(\omega) P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right);>

=item *

Varianz M<\operatorname{Var}(X) = \sigma^2(X) = \sigma^2 \in \mathds{R}> einer
Zufallsgröße:

M<\operatorname{Var}(X) = E\left[\left(X - E(X)\right)^2\right] =
\sum\limits_{x \in W_X} \left(x - E(x)\right)^2 P(X = x) = \sum\limits_{\omega
\in \Omega} \left(X(\omega) - E(x)\right)^2 P\!\left(\left\{ \omega
\right\}\right);>

=item *

Standardabweichung einer Zufallsgröße:
M<\sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} \in \mathds{R}_0^+;>

=back

=head4 Rechenregeln

=head5 Rechenregeln zum Erwartungswert

=over

=item *

M<E(X + Y) = E(X) + E(Y);>

=item *

M<E(aX + b) = a E(X) + b;>

=item *

M<E(X Y) = E(X) E(Y)>, sofern M<X> und M<Y> unabhängig sind.

=back

=head5 Rechenregeln zur Varianz

=over

=item *

(Spezielle) Verschiebungsregel: M<\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - E^2(X);>

=item *

M<\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)>,
sofern M<X> und M<Y> unabhängig sind.

=item *

M<\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X);>

=back

=head5 Rechenregeln zu gemittelten Zufallsgrößen

=over

=item *

M<E(\overline{X}) = E(X);>

=item *

M<\operatorname{Var}(\overline{X}) = \operatorname{Var}(X) / n;>

=back