=for timestamp
Mo Feb  6 17:09:23 CET 2006

=head2 54. und 55. Hausaufgabe

=head3 Graphen von M<U(t)>, M<I(t)>, M<E_L(t)> und M<E_C(t)> des ungedämpften
Schwingkreises

=over

=item *

M<U_C(t) = \frac{Q(t)}{C} = \frac{Q_0}{C} \sin \omega t;>

M<E_C(t) = \frac{1}{2} C U^2(t) = \frac{1}{2} C \, \frac{Q_0^2}{C^2} \sin^2
\omega t = \frac{1}{2} \frac{Q_0^2}{C} \sin^2 \omega t;>

M<P_C(t) = \dot E_C(t) = \frac{1}{2} \frac{Q_0^2}{C} \cdot 2 \sin \omega t \cos \omega
t \cdot \omega = \frac{1}{2} \frac{Q_0^2}{C} \omega \cdot \sin 2 \omega t;>

=item *

M<I_C(t) = I_L(t) = I(t) = Q_0 \omega \cos \omega t;>

M<E_L(t) = \frac{1}{2} L I^2(t) = \frac{1}{2} L \, Q_0^2 \omega^2 \cos^2 \omega
t;>

M<P_L(t) = \dot E_L(t) = -\frac{1}{2} L Q_0^2 \omega^2 \cdot 2 \cos \omega t
\sin \omega t \cdot \omega = -\frac{1}{2} L Q_0^2 \omega^3 \sin 2 \omega t;>

=back

mit M<\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}};>

=for latex
\vbox{\begin{multicols}{2}

=for latex
\scalebox{0.5}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nt\n"
set ylabel "\n"
set xrange [ 0.000000 : 6.283185 ]
set yrange [ -1.000000 : 1.000000 ]
set grid
#set xtics 100.000000
set ytics 100.000000
set xtics ("t_0" 0, "t_0 + T/4" pi/2, "t_0 + T/2" pi, "t_0 + 3/4 T" 3./2.*pi, "t_0 + T" 2.*pi)

# Function definitions
func0(x) = sin(x)
func1(x) = cos(x)
func2(x) = cos(x)**2.
func3(x) = sin(x)**2.

# Plotting
plot func0(x) t "U(t)" w l lt 1

=hend

=for latex
}}\par{}

=for latex
\scalebox{0.5}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nt\n"
set ylabel "\n"
set xrange [ 0.000000 : 6.283185 ]
set yrange [ -1.000000 : 1.000000 ]
set grid
#set xtics 100.000000
set ytics 100.000000
set xtics ("t_0" 0, "t_0 + T/4" pi/2, "t_0 + T/2" pi, "t_0 + 3/4 T" 3./2.*pi, "t_0 + T" 2.*pi)

# Function definitions
func0(x) = sin(x)
func1(x) = cos(x)
func2(x) = cos(x)**2.
func3(x) = sin(x)**2.

# Plotting
plot func3(x) t "E_C(t)" w l lt 2

=hend

=for latex
}}\par{}

=for latex
\scalebox{0.5}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nt\n"
set ylabel "\n"
set xrange [ 0.000000 : 6.283185 ]
set yrange [ -1.000000 : 1.000000 ]
set grid
#set xtics 100.000000
set ytics 100.000000
set xtics ("t_0" 0, "t_0 + T/4" pi/2, "t_0 + T/2" pi, "t_0 + 3/4 T" 3./2.*pi, "t_0 + T" 2.*pi)

# Function definitions
func0(x) = sin(x)
func1(x) = cos(x)
func2(x) = cos(x)**2.
func3(x) = sin(x)**2.
funcP(x) = sin(2. * x)

# Plotting
plot funcP(x) t "P_C(t)" w l lt 3

=hend

=for latex
}}

=for latex
\columnbreak\par

=for latex
\scalebox{0.5}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nt\n"
set ylabel "\n"
set xrange [ 0.000000 : 6.283185 ]
set yrange [ -1.000000 : 1.000000 ]
set grid
#set xtics 100.000000
set ytics 100.000000
set xtics ("t_0" 0, "t_0 + T/4" pi/2, "t_0 + T/2" pi, "t_0 + 3/4 T" 3./2.*pi, "t_0 + T" 2.*pi)

# Function definitions
func0(x) = sin(x)
func1(x) = cos(x)
func2(x) = cos(x)**2.
func3(x) = sin(x)**2.

# Plotting
plot func1(x) t "I(t)" w l lt 4

=hend

=for latex
}}\par{}

=for latex
\scalebox{0.5}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nt\n"
set ylabel "\n"
set xrange [ 0.000000 : 6.283185 ]
set yrange [ -1.000000 : 1.000000 ]
set grid
#set xtics 100.000000
set ytics 100.000000
set xtics ("t_0" 0, "t_0 + T/4" pi/2, "t_0 + T/2" pi, "t_0 + 3/4 T" 3./2.*pi, "t_0 + T" 2.*pi)

# Function definitions
func0(x) = sin(x)
func1(x) = cos(x)
func2(x) = cos(x)**2.
func3(x) = sin(x)**2.

# Plotting
plot func2(x) t "E_L(t)" w l lt 5

=hend

=for latex
}}\par{}

=for latex
\scalebox{0.5}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nt\n"
set ylabel "\n"
set xrange [ 0.000000 : 6.283185 ]
set yrange [ -1.000000 : 1.000000 ]
set grid
#set xtics 100.000000
set ytics 100.000000
set xtics ("t_0" 0, "t_0 + T/4" pi/2, "t_0 + T/2" pi, "t_0 + 3/4 T" 3./2.*pi, "t_0 + T" 2.*pi)

# Function definitions
func0(x) = sin(x)
func1(x) = cos(x)
func2(x) = cos(x)**2.
func3(x) = sin(x)**2.
funcP(x) = -sin(2. * x)

# Plotting
plot funcP(x) t "P_L(t)" w l lt 6

=hend

=for latex
}}

=for latex
\end{multicols}}

=head3 Quantitative Graphen von M<P_C(t)> und M<P_L(t)>

Aufgabestellung: Zeichnung der quantitativen Graphen von M<P_C(t)> und
M<P_L(t)> mit M<L = 600 \,\mathrm{H}> und M<C = 40 \,\mu\mathrm{F}>.

Dies ist nicht möglich, da M<Q_0>, die initiale Ladung, die auf dem Kondensator
gespeichert ist, nicht gegeben ist.

=head3 Kurzer Text zum Versuchsergebnis

Der Graph zeigte eine gedämpfte Schwingung. Die "tatsächliche" Periodendauer
M<T'> stimmte mit der theoretisch berechneten Periodendauer M<T = 2\pi
\sqrt{LC}> erstaunlich gut überein; die Abweichung betrug nur M<0{,}04
\,\mathrm{s}>!

Die Amplitude der Schwingung nimmt mit fortschreitender Zeit streng monoton ab;
dieses Abnehmen kann -- wie bei Relaxationsprozessen üblich -- durch die
M<e>-Funktion beschrieben werden:

M<U(t_0) = U_0 e^{-\frac{t_0}{\tau}};>

Auflösen nach M<\tau> und Einsetzen eines beliebigen Werts für M<t_0> ergibt:

M<U(t_0) = U_0 e^{-\frac{t_0}{\tau}};> ⇒ M<\ln \frac{U(t_0)}{U_0} =
-\frac{t_0}{\tau};> ⇒ M<\tau = -\frac{t_0}{\ln \frac{U(t_0)}{U_0}} \approx
0{,}94 \,\mathrm{s};>

Dieses Ergebnis deckt sich mit dem Versuchsergebnis. (Selbst­ver­ständ­lich tut
es das -- wir haben ja Werte des Versuchsergebnisses eingesetzt, um M<\tau> zu
erhalten.)

Interessant ist auch, dass der Graph auch schon vor dem Öffnen des Schalters
M<S> (siehe Blatt) -- also zu Zeitpunkten, an denen noch keine Schwingung
stattfindet -- eine ungedämpfte Schwingung kleiner Amplitude zeigt. Die
Skalierung des Graphen lässt leider keine all zu genaue Bestimmung der
Periodendauer und damit der Frequenz dieser Grundschwingung zu, aber
näherungsweise ergibt sich M<0{,}14 \,\mathrm{s}> als Periodendauer und
M<7{,}2 \,\mathrm{Hz}> als Frequenz...

(Benötigte Zeit: 26 min + 40 min)