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13. Hausaufgabe

• 13. Hausaufgabe: Geometrie Buch, Seite 18, Aufgabe 32:
  Zeige, dass ein Dreieck $\triangle ABC$ und sein Seitenmitten-Dreieck $\triangle M_aM_bM_c$ den selben Schwerpunkt beseitzen.
  
  Da $M_bM_a$ parallel zu $c$ ist (Mittelparallele), muss $\overline{M_bM_a}=\frac{1}{2}c$ gelten. Wendet man nun den zweiten Strahlensatz auf die V-Figur $AM_bCNM_c$ an, kommt man zu $\frac{\overline{M_bN}}{\overline{AM_c}}=\frac{\overline{CM_b}}{\overline{CA}}=\frac{1}{2}$. Deswegen muss $\overline{M_bN}=\frac{1}{4}c$ und $\overline{N_Ma}=\frac{1}{4}c$ gelten. $\Rightarrow$
  $$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle M_aM_bM_c}$$

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