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\lhead{Lineare Algebra II, SS 2010}
\chead{9. Mai 2010}

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\newcommand{\eckspan}[1]{\operatorname{span}[#1]}

\begin{document}

\rhead{Orthogonalität}
\section*{Hilfreiche Schlussregeln}

\begin{itemize}
\item[--] Um zu zeigen, dass zwei lineare Abbildung $A, B{:}\, V \to W$ gleich
sind, dass also
\[ Av = Bv \]
für alle Vektoren $v \in V$ gilt, genügt es, die "`Gleichheit auf einer Basis zu
testen"', d.h. man muss lediglich zeigen, dass
\[ Ab_i = Bb_i \]
für $i = 1, \ldots, n$ gilt, wobei $B = (b_1,\ldots,b_n)$ eine beliebige Basis
von~$V$ ist.

\item[--] Um zu zeigen, dass ein Vektor $v \in V$ eines euklidischen/unitären
Vektorraums~$V$ null ist, genügt es zu zeigen, dass er auf allen Vektoren des
Vektorraums senkrecht steht, d.h. dass für alle $w \in V$ gilt:
\[ \langle v, w \rangle = 0 \]

\item[--] Um zu zeigen, dass zwei lineare Abbildung $A, B {:}\, V \to W$ gleich
sind (wobei hier nur~$W$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum sein muss),
genügt es, für alle $v \in V$ und alle $w \in W$ zu zeigen, dass gilt:
\[ \langle Av,w \rangle = \langle Bv,w \rangle \]
Mit den spitzen Klammern ist hier das Skalarprodukt auf~$W\!$ gemeint.

\end{itemize}

\section*{Orthogonalität von Vektoren}

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum. Das Skalarprodukt auf~$V$ werde
als $\langle \cdot, \cdot \rangle$ geschrieben.

\begin{description}
\item[Def.:] (Orthogonalität von Vektoren)

Eine Menge $\{ v_1, \ldots, v_k \} \subset V$ von Vektoren heißt
genau dann \textsl{orthogonal} (oder auch \textsl{Orthogonalsystem}), wenn
für alle $i,j = 1,\ldots,k$ mit $i \neq j$ gilt:
\[ \langle v_i, v_j \rangle = 0 \]

\item[Def.:] (Orthonormalität von Vektoren)

Eine Menge $\{ v_1, \ldots, v_k \} \subset V$ von Vektoren heißt
genau dann \textsl{orthonormal} (oder auch \textsl{Orthonormalsystem}), wenn
für alle $i,j = 1, \ldots, k$ gilt:
\[ \langle v_i, v_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases}1 & \text{für $i =
j,$}\\0 & \text{sonst.}\end{cases} \]

\item[Def.:] (Orthonormalbasis)

Eine \textsl{Orthonormalbasis} (ONB) ist eine Basis~$\{ v_1,
\ldots, v_n \}$ derart, dass die Menge~$\{ v_1, \ldots, v_n \}$ orthonormal
ist.
\end{description}

\section*{Orthogonalität von Matrizen und linearen Abbildungen}

\begin{description}
\item[Def.:] (Orthogonalität von Matrizen)

Eine Matrix $M \in \mathds{R}^{n \times n}$ bzw. $M \in
\mathds{C}^{n \times n}$ heißt genau dann \textsl{orthogonal}, wenn schon eine
der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
\begin{enumerate}
\item Die Spalten von $M$ bilden bezüglich des Standardskalarprodukts~(!)
in~$\mathds{R}^n$ bzw.~$\mathds{C}^n$ ein Ortho\textsl{normal}system~(!).
\item $\langle Mv, Mw \rangle = \langle v,w \rangle$ für alle $v,w \in
\mathds{R}^n$ bzw. $v,w \in \mathds{C^n}$, wobei die spitzen Klammern wieder
das Standardskalarprodukt (!) bezeichnen.
\item $M^\star M = E$. (Dabei ist $M^\star := \overline{M}^{\operatorname{T}}\!$.)
\item $M$ ist invertierbar mit $M^{-1} = M^\star$.
\end{enumerate}

\item[Def.:] (Orthogonalität von linearen Abbildungen)

Eine lineare Abbildung $A{:}\, V \to V$ heißt \textsl{orthogonal}, wenn schon
eine der folgenden äqui\-va\-len\-ten Bedingungen erfüllt ist:
\begin{enumerate}
\item $\langle Ax,Ay \rangle = \langle x,y \rangle$ für alle $x,y \in V$.
\item $\|Ax\| = \|x\|$ für alle $x \in V$.
\item $A^\star A = \operatorname{Id}$.
\item $A$ ist invertierbar mit $A^{-1} = A^\star$.
\end{enumerate}

\item[Satz:] (Zusammenhang zwischen Orthogonalität von Matrizen und Abbildungen)

Eine lineare Abbildung $A{:}\, V \to V$ ist genau dann
orthogonal, wenn ihre Matrix $M(A; B,B)$ bezüglich einer (und dann jeder)
Orthonormalbasis~$B$ von~$V$ orthogonal ist.

Dieser Satz ist so zu verstehen: Hat man eine orthogonale lineare Abbildung, so
sind ihre Matrizen bezüglich aller Orthonormalbasen orthogonal. Hat man
umgekehrt eine orthogonale Matrix einer linearen Abbildung bezüglich einer
Orthonormalbasis, so ist auch die lineare Abbildung orthogonal und damit sind
wiederum sogar alle ihre Matrizen bezüglich Orthonormalbasen orthogonal.

Warnung: Der Satz wird falsch, wenn man die Forderung nach Orthonormalität der
Basis fallen lässt. Es kann also sein, dass die Matrix einer orthogonalen
Abbildung bezüglich einer Nicht-Orthonormalbasis nicht orthogonal ist, es kann
aber auch passieren, dass sie es durch Zufall trotzdem ist. Sogar orthogonale
Basen funktionieren nicht.

\item[Prop.:] (Zusammenhang eines beliebigen Skalarprodukts zum Standardskalarprodukt)

Sei $B = (b_1, \ldots, b_n)$ eine Orthonormalbasis von $V$. Dann gilt
für alle Vektoren $x = \sum_{i=1}^n \alpha_i b_i$, $y = \sum_{i=1}^n \beta_i b_i \in V$:
\[ \langle x,y \rangle = \left\langle
\left(\!\begin{smallmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{smallmatrix}\!\right)\!,
\left(\!\begin{smallmatrix}\beta_1\\\vdots\\\beta_n\end{smallmatrix}\!\right)
\right\rangle\! = \sum_{i=1}^n \alpha_i \overline{\beta_i}, \]
wobei die spitzen Klammern auf der linken Seite das gegebene Skalarprodukt
in~$V$ und die auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt~(!)
auf~$\mathds{R}^n$ bzw.~$\mathds{C}^n$ bezeichnen.

Warnung: Auch diese Proposition wird falsch, wenn die gewählte Basis nicht
orthonormal ist.
\end{description}

\newpage
\rhead{Symmetrie/Selbstadjungiertheit}
\section*{Symmetrie/Selbstadjungiertheit}

\begin{description}
\item[Def.:] (Adjungierte Matrix)

Zu jeder Matrix $M \in \mathds{R}^{n \times n}$ bzw. $M \in \mathds{C}^{n
\times n}$ heißt $M^\star := \overline{M}^{\operatorname{T}}\!$ die zu~$M$
\textsl{adjungierte Matrix}. Diese Matrix (und auch nur diese Matrix) erfüllt
für alle $v,w \in \mathds{R}^n$ bzw. $\mathds{C^n}$ folgende Eigenschaft:
\[ \langle Mv, w \rangle = \langle v, M^\star w \rangle \]
Dabei bezeichnen die spitzen Klammern das Standardskalarprodukt
in~$\mathds{R}^n$ bzw.~$\mathds{C}^n$.

Im reellen Fall ist einfach $M^\star = M^{\operatorname{T}}$.

Bem.: Der Begriff der "`adjunkten Matrix"' ist ein ganz anderer.

\item[Def.:] (Symmetrie/Selbstadjungiertheit von Matrizen)

Eine Matrix $M \in \mathds{R}^{n \times n}$ bzw. $M \in \mathds{C}^{n \times
n}$ heißt genau dann \textsl{symmetrisch/selbstadjungiert}, falls schon eine
der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
\begin{enumerate}
\item $M^\star = M$.
\item $\langle Mv,w \rangle = \langle v,Mw \rangle$ für alle $v,w \in
\mathds{R}^n$ bzw. $\mathds{C}^n$.
\end{enumerate}

(Die erste Bedingung kann man natürlich schneller nachrechnen als die zweite.)

Zur Sprechweise: "`Symmetrisch"' sagt man bei reellen Matrizen,
"`selbstadjungiert"' bei komplexen. Ein Synonym zu "`selbstadjungiert"' ist
"`hermitesch"'.

\item[Def.:] (Adjungierte Abbildung)

Zu jeder linearen Abbildung $A{:}\, V \to V$ gibt es genau eine
\textsl{adjungierte Abbildung}~$A^\star{:}\, V \to V$, die folgende
definierende Eigenschaft für alle $x,y \in V$ erfüllt:
\[ \langle Ax,y \rangle = \langle x,A^\star y \rangle \]

In der Praxis findet man die adjungierte Abbildung durch den weiter unten
stehenden Satz.

\item[Def.:] (Symmetrie/Selbstadjungiertheit von linearen Abbildungen)

Eine lineare Abbildung $A{:}\, V \to V$ heißt genau dann
\textsl{symmetrisch/selbstadjungiert}, wenn schon eine der folgenden
äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
\begin{enumerate}
\item $\langle Ax,y \rangle = \langle x,Ay \rangle$ für alle $x,y \in V$.
\item $A^\star = A$.
\end{enumerate}

\item[Satz:] (Zusammenhang zwischen der adjungierten Matrix und adjungierten
Abbildung)

Sei $B$ eine Orthonormalbasis von $V$ und $A{:}\, V \to V$ eine beliebige
lineare Abbildung. Dann ist die Matrix der zu~$A$ adjungierten Abbildung die
Adjungierte der Matrix von~$A$:
\[ M(A^\star; B,B) = M(A; B,B)^\star \]

Warnung: Der Satz wird abermals falsch, wenn man die Forderung nach
Orthonormalität von~$B$ fallen lässt: Dann kann es sein, dass $M(A^\star; B,B)
\neq M(A; B,B)^\star$ gilt; es kann aber auch zufälligerweise trotzdem
stimmen.

\item[Satz:] (Zusammenhang zw. Symmetrie/Selbstadjungiertheit von Matrizen
und Abbildungen)

Eine lineare Abbildung $A{:}\, V \to V$ ist genau dann
symmetrisch/selbstadjungiert, wenn ihre Matrix $M(A; B,B)$ bezüglich einer (und
dann jeder) Orthonormalbasis~$B$ von~$V$ symmetrisch/selbstadjungiert ist.

Warnung: Auch dieser Satz wird falsch, wenn man Nicht-Orthonormalbasen nutzt.
In diesem Fall also kann die Matrix zur Abbildung symmetrisch sein, obwohl es
die Abbildung nicht ist, oder umgekehrt. Und es gibt auch Fälle, in denen
die Aussage durch Zufall doch stimmt.
\end{description}

\newpage
\rhead{Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit}
\section*{Eigenvektoren und Eigenwerte}

Sei im Folgenden $A{:}\, V \to V$ eine lineare Abbildung. Der Vektorraum~$V$
muss in diesem Abschnitt nicht mehr notwendigerweise ein euklidischer/unitärer
Vektorraum sein.

\begin{description}
\item[Def.:] (Eigenvektoren und Eigenwerte)

Sei $\lambda \in \mathds{R}$ bzw. $\mathds{C}$ eine Zahl und $v^{\neq 0} \in
V$ ein Vektor. Genau dann heißt~$v$ \textsl{Eigenvektor} von~$A$ zum
\textsl{Eigenwert}~$\lambda$, falls gilt: \[ Av = \lambda v \]

Eine Zahl $\lambda$ heißt genau dann \textsl{Eigenwert} von~$A$, falls es einen
Eigenvektor zu $\lambda$ gibt.

Zur Sprechweise: Den Nullvektor bezeichnet man niemals als Eigenvektor.

\item[Def.:] (Eigenraum)

Sei $\lambda \in \mathds{R}$ bzw. $\mathds{C}$ ein Eigenwert von~$A$. Dann
heißt der folgende Unterraum \textsl{Eigenraum von~$A$ zum
Eigenwert~$\lambda$}:
\[ \operatorname{Kern}(A - \lambda Id) \subset V \]
Dieser Raum enthält neben dem Nullvektor genau die Eigenvektoren von~$A$
zu~$\lambda$.

\item[Satz:] (Finden der Eigenwerte)

Sei $A{:}\, V \to V$ eine lineare Abbildung. Dann sind die Eigenwerte von~$A$
genau gegeben durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\det(A -
\lambda \operatorname{Id})$.

Bem.: Zum Ausrechnen der Determinante geht man, wie ganz allgemein beim
Ausrechnen von Determinanten, zu einer Matrix $M(A - \lambda\operatorname{Id};
B,B)$ von $A - \lambda \operatorname{Id}$ über, wobei $B$ hier eine ganz
beliebige, auch nicht orthonormale Basis sein kann. Diese Basis~$B$ muss man
aber sowohl im Quell-, als auch im Zielraum nutzen, man darf also nicht etwa zu
$M(A - \lambda\operatorname{Id}; B,\tilde B)$ übergehen.

\item[Prop.:] (Eigenvektoren bei symmetrischen/selbstadjungierten Abbildungen)

Ist $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum und die lineare Abbildung~$A$
sym\-me\-trisch/selbst\-ad\-jun\-giert, so stehen Eigenvektoren zu
\textsl{verschiedenen} Eigenwerten von~$A$ stets senkrecht aufeinander.

Warnung: Sie müssen nicht notwendigerweise ortho\textsl{normal} sein. Auch
müssen Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert nicht notwendigerweise senkrecht
aufeinander stehen.

Ferner wird die Aussage falsch, wenn man auf die Symmetrie/Selbstadjungiertheit
verzichtet: Dann können Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten aufeinander
senkrecht stehen, müssen aber nicht.
\end{description}

\newpage
\section*{Diagonalisierbarkeit}

Sei weiterhin $A{:}\, V \to V$ eine beliebige lineare Abbildung.

\begin{description}
\item[Def.:] (Diagonalisierbarkeit)

Die lineare Abbildung~$A$ heißt genau dann \textsl{diagonalisierbar}, wenn es
eine Basis~$B$ gibt, bezüglich der die Matrix~$M(A;B,B)$ von~$A$
Diagonalgestalt hat.

(Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, auch nicht im Komplexen.)

\item[Beob.:] (Zusammenhang von Diagonalisierbarkeit zu Eigenvektoren)

Sei $B = (v_1,\ldots,v_n)$ eine Basis von~$V$. Genau dann ist die Matrix
von~$A$ bezüglich~$B$ in Diagonalform, d.h.
\[ M(A; B,B) = \begin{pmatrix}\alpha_1 \\ & \ddots \\ && \alpha_n\end{pmatrix}
\]
für gewisse Zahlen $\alpha_1,\ldots,\alpha_n \in \mathds{R}$ bzw. $\mathds{C}$,
wenn für $i = 1,\ldots,n$ gilt:
\[ A b_i = \alpha_i b_i, \]
d.h. wenn für $i = 1,\ldots,n$ der Basisvektor $b_i$ ein Eigenvektor von~$A$ zu
$\alpha_i$ ist.

Die lineare Abbildung~$A$ ist also genau dann diagonalisierbar, wenn es eine
Basis von~$V$ gibt, die nur aus Eigenvektoren von~$A$ besteht.

\item[Satz:] (Diagonalisierbarkeit symmetrischer/selbstadjungierter linearer
Abbildungen)

Sei $V$ ein euklidischer/selbstadjungierter Vektorraum. Dann gilt: Ist $A$
sym\-me\-trisch/selbst\-ad\-jun\-giert, so ist~$A$ diagonalisierbar.

Warnung: Die Umkehrung gilt nicht, es gibt also diagonalisierbare lineare
Abbildungen, die nicht symmetrisch/selbstadjungiert sind.

\end{description}

\end{document}
