(i) Die Newton-Vorschrift lautet:

    x(k+1) = x(k) - x(k),

denn die Jacobimatrix von f ist in jedem Punkt die Einheitsmatrix, und
deren Inverses ist auch die Einheitsmatrix. Somit ist aber, egal was der
Startwert x(0) ist, schon x(1) gleich 0. Und 0 ist auch in der Tat die
Nullstelle von f; somit ist globale Konvergenz gezeigt.


(ii) Ein möglicher Startwert ist x* selbst, denn dann gilt:

    x(1) = x(0) - Df(x(0))^-1 * f(x(0)) = x* - 0 = x*
    x(2) = x(1) - Df(x(1))^-1 * f(x(1)) = x* - 0 = x*
    x(3) = ... = x*
    ...
    x(i) = x*

Also sind alle Iterierten gleich x*, insbesondere konvergieren sie gegen
x*.

(Natürlich war das irgendwie eine Spaßfrage, denn wenn man x* schon
kennen würde, müsste man ja nicht das Newton-Verfahren verwenden, um
danach zu suchen!)


(iii) Sei Phi(x) = x - Df(x0)^-1 * f(x) die Fixpunktfunktion.
Dann gilt: Phi ist auf der abgeschlossen Kugel um x0 mit Radius r
lipschitzstetig mit Konstante L = 1/2, denn man hat die Abschätzung
über die Ableitung DPhi(x) in der Angabe gegeben.

Somit gilt: ||x(n+1) - x(n)|| = ||Phi(x(n)) - Phi(x(n-1))|| <= L ||x(n)
- x(n-1)|| = 1/2 * ||x(n) - x(n-1)||, damit ist die zu zeigende
Abschätzung bewiesen.

Jetzt ist noch zu zeigen, dass f eine Nullstelle in dieser r-Kugel um x0
besitzt. Das kann man beispielsweise so machen:

Zunächst zeigt man, dass die x(n) eine konvergente Folge bilden, sagen
wir gegen x*. Dazu kann man die eben bewiesene Abschätzung verwenden, um
zu zeigen, dass die x(n) eine Cauchyfolge bilden. Das ist ein bisschen
blöd zum Tippen; es geht aber ganz genau so, wie im Beweis des
Banachschen Fixpunktsatzes, dort einfach nachschauen. (Ist nur eine
Ein-Zeilen-Rechnung.)

Dann kann man in der zentrierten Formel der Angabe auf beiden Seiten zum
Grenzwert übergehen, dann steht da:

    x* = x* - Df(x0)^-1 * f(x*)

Daraus folgt Df(x0)^-1 * f(x*) = 0, und, wenn man noch mit Df(x0) von
links multipliziert, folgt f(x*) = 0. Also hat man eine Nullstelle von f
gefunden!


Anmerkung: Man kann hier nicht einfach den Banachschen Fixpunktsatz
verwenden. Denn man weiß nicht, ob Phi die abgeschlossene r-Kugel um x0
wirklich wieder in sich abbildet -- man weiß nur, dass alle
Folgenglieder x(n) in der abgeschlossenen r-Kugel um x0 liegen.