\subsection[\ldots von Komplexen beliebiger endlicher Länge]{Das Massey-Produkt
von Komplexen beliebiger endlicher Länge}

Die Definition des Massey-Produkts für Komplexe der Länge~4 wollen wir auf
Komplexe beliebiger endlicher Länge erweitern.

Sei~$\cat{D}$ eine triangulierte Kategorie und~$X^\bullet{:}\, X^0
\xra{d^0} \cdots \xra{d^{n-1}} X^n$ ein Komplex der Länge~$n + 1$
über~$\cat{D}$, d.\,h. es gelte~$d^{i+1} d^i = 0$ für $i = 0,\ldots,n-2$.

\begin{defn}\label{mpb:def}Die Klasse aller Morphismen der Form~$p[2-n] q \in
\Hom(X^0,X^n[2-n])$, wobei~$X^0 \xra{q} \hat T[2-n]$ und~$\hat T \xra{p} X^n$
das Diagramm
\begin{diagram}[LaTeXeqno]\label{mpb:def:diag}
  X^0 & \rTo^{d^0} & X^1 & \rTo^{d^1} & \cdots & \rTo^{d^{n-2}} & X^{n-1} & \rTo^{d^{n-1}} & X^n \\
  & \rdTo(4,2)^q_{[2-n]} && \luTo(2,2)_{\hat\alpha}^{[n-2]} &&
  \ldTo(2,2)^{\hat\beta} && \ruTo(4,2)_p \\
  &&&& \hat T
\end{diagram}
kommutativ machen, heißt \emph{Massey-Produkt von~$X^\bullet$} und wird
als~$\masseyb{d^0,\ldots,d^{n-1}}$ notiert.

Dabei ist~$T$ eine beliebige Faltung des Teilkomplexes~$X^1 \to \cdots \to
X^{n-1}$ mit zugehörigen Morphismen~$T \xra{\alpha} X^1$ und~$X^{n-1}[-(n-2)]
\xra{\beta} T$, und~$\hat T := T[n-2]$, $\hat\alpha := \alpha[n-2]$, $\hat\beta
:= \beta[n-2]$.\end{defn}

Für Komplexe mit Länge mindestens~5 kann das so definierte Massey-Produkt leer
sein.


\subsubsection*{Der Spezialfall von Komplexen der Länge~3}

Das Massey-Produkt eines Komplexes $X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} X^1 \xra{d^1}
X^2$ der Länge~3 ist die einelementige Menge~$\{ 0 \}$, denn das einzige
Postnikov-System zum Teilkomplex~$X^1$ von~$X$ ist
\begin{diagram}
  & X^1 \\
  \ruTo(1,2)_{\id}^{[1]} \\
  X^1[1]
\end{diagram}
\XXX{Komma}und dessen Faltung ist~$X^1[1][-1] = X^1 =: T$ und die zugehörigen
Morphismen~$T \xra{\alpha} X^1$ und~$X^1[-0] \xra{\beta} T$ sind beide die
Identitätsmorphismen auf~$X^1$. Die einzigen Morphismen~$X^0 \xra{q} X^1$
und~$X^1 \xra{p} X^2$, die in ein Diagramm wie~\eqref{mpb:def:diag} passen,
sind daher genau~$d^0$ bzw.~$d^1$. Das Massey-Produkt besteht daher genau
aus~$p[2-2] q = d^0 d^1 = 0$.


\subsubsection*{Zusammenhang zum Massey-Produkt für Komplexe der Länge~4}

Für Komplexe der Länge~4 stimmt die Definition für allgemeine triangulierte
Kategorien mit der speziellen dieses Abschnitts bis auf ein Vorzeichen überein:

\begin{prop}\label{mpb:uebalt}Es gilt~$\masseyb{d^0,d^1,d^2} =
-\masseya{d^0,d^1,d^2}$.\end{prop}
\begin{proof}
\proofpart{\subseteq} Sei~$p[-1]q$ ein beliebiges Element
von~$\masseyb{d^0,d^1,d^2}$, dann gibt es ein kommutatives Diagramm
wie~\eqref{mpb:def:diag}. Aus dem zugehörigen Postnikov-System zu~$X^1 \xra{d^1}
X^2$,
\begin{diagram}
  & X^1[1] & \rTo^{d^1[1]}_{[1]} & X^2 \\
  \ruTo(1,2)^{\hat\alpha[1]}_{[1]} & \star & \rdTo(1,2)^{d^1[1]} 
  \ruTo(1,2)_{\id}^{[1]} \\
  \hat T[1] & \lTo^{\hat\beta[1]} & X^2[1]
\end{diagram}
erhält man durch dreifache Linksrotation einen Kegel von~$X^1 \xra{d^1} X^2$:
\begin{equation*}
  X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{\hat\beta} \hat T \xra{-\hat\alpha} X^1[1]
\end{equation*}
Das Minuszeichen vor dem letzten Pfeil könnte man auch zum vorletzten Pfeil
rechnen, ganz ohne geht es aber nicht.

Wir setzen nun~$\tilde p := p$ und~$\tilde q := -q$. Dann gilt~$-p[-1]q = \tilde
p[-1] \tilde q \in \masseya{d^0,d^1,d^2}$, denn $\tilde p \hat\beta = p
\hat\beta = d^2$ und $(-\hat\alpha)[-1] \tilde q = \hat\alpha[-1] q = d^0$,
woraus die Inklusion folgt.

\proofpart{\supseteq} Sei $-p[-1]q \in -\masseya{d^0,d^1,d^2}$ beliebig gegeben.
Dann gibt es also einen Kegel~$Y$ mit Morphismen~$X^2 \xra{u} Y$ und~$Y \xra{v}
X^1[1]$ derart, dass das Diagramm~\eqref{mpa:def:diag} kommutiert.

Aus diesen Daten bauen wir nun ein Rechts-Postnikov-System zu $X^1 \xra{d^1}
X^2$:
\begin{diagram}
  & X^1[1] & \rTo^{d^1[1]}_{[1]} & X^2 \\
  \ruTo(1,2)^{-v[1]}_{[1]} & \star & \rdTo(1,2)^{d^1[1]} \ruTo(1,2)_{\id}^{[1]} \\
  Y[1] & \lTo^{u[1]} & X^2[1]
\end{diagram}
Dessen Faltung ist~$T := Y[1][-2] = Y[-1]$, die zugehörigen Morphismen~$Y[-1]
\xra{\alpha} X^1$ und~$X^2[-1] \xra{\beta} Y[-1]$ sind~$\alpha = -v[1][-2] =
-v[-1]$ bzw.~$\beta = u[1][-2] = u[-1]$.

Mit $\hat T := T[1]$, $\hat\alpha := \alpha[1] = -v$ und~$\hat\beta := \beta[1]
= u$ folgt, dass das Diagramm
\begin{diagram}
  X^0 & \rTo^{d^0} & X^1 & \rTo^{d^1} & X^2 & \rTo^{d^2} & X^3 \\
  & \rdTo(3,2)^{-q}_{[-1]} && \luTo(1,2)_{\hat\alpha}^{[1]}
  \ldTo(1,2)^{\hat\beta} && \ruTo(3,2)_p \\
  &&& \hat T
\end{diagram}
kommutiert, denn~$\hat\alpha[-1] \circ (-q) = v[-1]q = d^0$ und~$p\hat\beta =
pu = d^2$. Somit gilt~$-p[-1]q = p[-1] \circ (-q) \in \masseyb{d^0,d^1,d^2}$,
das war zu zeigen.
\end{proof}


\subsection{Notwendige Bedingung für die Existenz von Elementen im Massey-Produkt}

Sei weiterhin~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} \cdots \xra{d^{n-1}} X^n$ ein
Komplex der Länge~$n + 1$ über einer triangulierten Kategorie~$\cat{D}$.

\begin{prop}Ist das Massey-Produkt~$\masseyb{d^0,\ldots,d^{n-1}}$ nichtleer,
dann sind auch die Produkte~$\masseyb{d^1,\ldots,d^{n-1}}$
und~$\masseyb{d^0,\ldots,d^{n-2}}$ nichtleer und beide enthalten den jeweiligen
Nullmorphismus.\end{prop}

\begin{bem}Die Umkehrung gilt nicht, für das klassische Massey-Produkt gibt es
explizite Gegenbeispiele~\citep{oneill}. Zur Formulierung einer
Charakterisierung benötigt man den Begriff des \emph{simultanen
Verschwindens} von Massey-Produkten, auf den wir hier aber nicht weiter
eingehen.\XXX{Die richtige Charakterisierung herleiten!}\end{bem}

\begin{proof}[Beweis der Proposition]
Sei ein Element~$p[2-n]q \in \masseyb{d^0,\ldots,d^{n-1}}$ gegeben, dann gibt
es also ein Diagramm wie~\eqref{mpb:def:diag}. Wir zeigen lediglich, dass~$0$ ein
Element von~$\masseyb{d^1,\ldots,d^{n-1}}$ ist; den zweiten Teil der Behauptung
zeigt man analog.

Um~$0 \in \masseyb{d^1,\ldots,d^{n-1}}$ zu zeigen, müssen wir ein
Postnikov-System des Komplexes~$X^2 \to \cdots \to X^{n-1}$ mit Faltung~$U$ und
Morphismen~$r$ und~$s$ derart finden, dass
\begin{diagram}
  X^1 & \rTo^{d^1} & X^2 & \rTo^{d^1} & \cdots & \rTo^{d^{n-2}} & X^{n-1} & \rTo^{d^{n-1}} & X^n \\
  & \rdTo(4,2)^s_{[3-n]} && \luTo(2,2)_{\hat\gamma}^{[n-3]} &&
  \ldTo(2,2)^{\hat\delta} && \ruTo(4,2)_r \\
  &&&& \hat U
\end{diagram}
kommutiert.

Dazu betrachten wir ein Rechts-Postnikov-System von~$X^1 \to \cdots
\to X^{n-1}$ zur aus dem Diagramm von~$p[2-n]q$ gegebenen Faltung~$T$:
\begin{diagram}
  & X^1[n-2] & \rTo^{d^1[n-2]}_{[1]} & X^2[n-3] & \rTo & \cdots &
  \rTo & X^{n-1} \\
  \ruTo(1,2)^{\hat\alpha[1]}_{[1]} & \star & \rdTo(1,2)^{\lambda}
  \ruTo(1,2)^{\hat\gamma[1]}_{[1]} &&&& \ruTo(1,2)_{\id}^{[1]} \\
  \hat T[1] & \lTo^{\mu} & U[n-2] & \lTo & \cdots & \lTo & X^{n-1}[1]
\end{diagram}
Durch Abschneiden erhält man daraus ein Rechts-Postnikov-System von~$X^2 \to
\cdots \to X^{n-1}$ mit Faltung~$U$ und zugehörigen Pfeilen~$U
\xra{\hat\gamma[3-n]} X^2$ und~$X^{n-1}[-(n-3)] \xra{\delta} U$.

Durch die Setzungen~$r := p \circ \mu[-1]$ und~$s := \lambda[2-n]$ werden die
Kommutativitätsbedingungen erfüllt:
\begin{align*}
  \hat\gamma[3-n] s &= (\hat\gamma[1] \lambda)[2-n] = d^1[n-2][2-n] = d^1 \\
  r \hat\delta &= p \circ \mu[-1] \circ \delta[n-3] =
    p (\mu \delta[n-2])[-1] = p \beta[n-2] = p \hat\beta = d^{n-1}
\end{align*}
\XXX{Hier Eig. Postnikov-Systeme benutzt!}

Damit ist gezeigt, dass das Massey-Produkt~$\masseyb{d^1,\ldots,d^{n-1}}$ den
Morphismus~$r[3-n] s$ enthält. Dieser Pfeil ist null,
\begin{equation*}
  r[3-n] s = p[3-n] (\mu \lambda)[2-n] = 0,
\end{equation*}
da~$\mu\lambda$ die Verkettung zweier aufeinanderfolgender Morphismen eines
ausgezeichneten Dreiecks ist. Damit ist die Behauptung gezeigt.
\end{proof}


\subsection{Charakterisierung der Existenz von Postnikov-Systemen}

Sei weiterhin~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} \cdots \xra{d^{n-1}} X^n$ ein
Komplex der Länge~$n + 1$ über einer triangulierten
Kategorie~$\cat{D}$.\XXX{Wortwiederholung...}

\begin{prop}Der Komplex~$X^\bullet$ besitzt genau dann eine Faltung,
wenn der Nullmorphismus im Massey-Produkt~$\masseyb{d^0,\ldots,d^{n-1}}$
enthalten ist.\end{prop}

\begin{proof}
\proofpart{\Rightarrow}
Wir benötigen zunächst ein Postnikov-System von~$X^1 \to \cdots \to X^{n-1}$.
Aus einem gegebenen Rechts-Postnikov-System von~$X^\bullet$ mit Faltung~$P$ und
zur Faltung gehörigen Morphismen~$P \xra{u} X^0$,~$X^n[-n] \xra{v} P$ erhalten
wir dies in zwei Schritten wie folgt:

Wie im Beweis der vorherigen Proposition kann man das das System zunächst links,
bei~$X^0$, abschneiden. Daraus erhält man ein Rechts-Postnikov-System von~$X^1 \to
\cdots \to X^n$, dessen Faltung sei~$Q$ und die zugehörigen Pfeile seien~$Q
\xra{u'} X^1$ und~$X^n[-(n-1)] \xra{v'} Q$. Nach Konstruktion gibt es noch
einen Morphismus~$X^0[n] \xra{\lambda} Q[n]$ mit~$u' \lambda[-n] = d^0$.

Rechts-Postnikov-Systeme kann man nicht rechts~(bei~$X^n$) abschneiden, unter
anderem deshalb, weil vom Diagonalpfeil mit Ziel~$X^n$ stets gefordert wird,
dass er die Identität ist. Zu dem abgeschnittenen Rechts-Postnikov-System gibt
es aber ein Links-Postnikov-System mit gleicher Faltung:
\begin{diagram}
  X^1 & \rTo & \cdots & \rTo & X^{n-1} & \rTo^{d^{n-1}} & X^n \\
  & \rdTo(1,2)_{\id} &&&& \rdTo(1,2)^{\beta[n-2]} \ruTo(1,2)^k & \star & \rdTo(1,2) \\
  & Z^1 & \lTo_{[1]} & \cdots & \lTo_{[1]} & Z^{n-1} & \lTo_{[1]}^m & Q[n-1]
\end{diagram}

Dieses kann man rechts, bei~$X^n$, abschneiden und so ein
Links-Postnikov-System von~$X^1 \to \cdots \to X^{n-1}$ erhalten. Die Faltung
dieses abgeschnittenen Systems ist~$T := Z^{n-1}[-(n-2)]$, und es
gilt~$\hat\alpha m[1-n] = u'$.

Wir setzen nun~$q := m[1-n] \lambda[-n]$ und~$p := k$. Dann gilt in der Tat:
\begin{align*}
  \hat\alpha[2-n] q &= \hat\alpha m[1-n] \lambda[-n] = u' \lambda[-n] = d^0 \\
  p \hat\beta &= k \beta[n-2] = d^{n-1}
\end{align*}
Damit ist~$p[2-n] q \in \masseyb{d^0,\ldots,d^{n-1}}$. Die Behauptung folgt
wegen
\[ p[2-n] q = k[2-n] m[1-n] \lambda[-n] = (k[1] m)[1-n] \lambda[-n] = 0. \]

\proofpart{\Leftarrow}
Sei~$0 = p[2-n]q \in \masseyb{d^0,\ldots,d^{n-1}}$, somit gibt es ein Diagramm
wie~\eqref{mpb:def:diag}. Zur Faltung~$T$ in diesem Diagramm gibt es ein
Rechts-Postnikov-System
\begin{diagram}
  & X^1[n-2] & \rTo^{d^1[n-2]}_{[1]} & X^2[n-3] & \rTo & \cdots &
  \rTo & X^{n-1} \\
  \ruTo(1,2)^{\alpha[n-1]}_{[1]} & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2)_{[1]} &&&& \ruTo(1,2)_{\id}^{[1]} \\
  T[n-1] & \lTo & Y^1 & \lTo & \cdots & \lTo & X^{n-1}[1]
\end{diagram}
aus welchem wir ein Postnikov-System von~$X^0 \to \cdots \to X^n$ konstruieren
wollen.

Als erstes ergänzen wir den Morphismus~$X^0[n-1] \xra{q[n-1]} T[n-1]$ zu einem
ausgezeichneten Dreieck
\begin{equation}
  \label{mpb:ii:rueck:dreieck}
  X^0[n-1] \xra{q[n-1]} T[n-1] \xra{u} C \xra{v} X^0[n]
\end{equation}
und fügen es links an das Rechts-Postnikov-System von~$X^1 \to \cdots \to
X^{n-1}$ an. Da die Kommutativitätsbedingung~$\alpha[n-1] q[n-1] =
(\hat\alpha[2-n] q)[n-1] = d^0[n-1]$ erfüllt ist, ist das ergänzte Diagramm ein
Rechts-Postnikov-System von~$X^0 \to \cdots \to X^{n-1}$, mit Faltung~$C[-n]$.

Zu diesem Rechts-Postnikov-System gibt es ein Links-Postnikov-System von~$X^0
\to \cdots \to X^{n-1}$ mit gleicher Faltung,
\begin{diagram}
  X^0 & \rTo & \cdots & \rTo & X^{n-2} & \rTo^{d^{n-2}} & X^{n-1} & \rDotsto^{d^{n-1}} & X^n \\
  & \rdTo(1,2)_{\id} &&&& \rdTo(1,2) \ruTo(1,2) & \star & \rdTo(1,2)_{\lambda} \ruDotsto(1,2)^{g[-1]} & \star & \rdDotsto(1,2) \\
  & Z^0 & \lTo_{[1]} & \cdots & \lTo_{[1]} & Z^{n-2} & \lTo_{[1]} & C[-1] & \lDotsto_{[1]} & C'
\end{diagram}
und mit~$\lambda = u[-1] \beta[n-2]$, welches wir zu einem
Links-Postnikov-System von~$X^0 \to \cdots \to X^n$ ergänzen wollen. Um den
schon vorgezeichneten Pfeil~$C[-1] \xra{g[-1]} X^n$ zu konstruieren, nutzen wir
die lange exakte Sequenz zum ausgezeichneten
Dreieck~\eqref{mpb:ii:rueck:dreieck}:

Nach Voraussetzung gilt~$p[1] q[n-1] = 0$, also folgt~$p[1] \in \Kern
q[n-1]^\star = \Bild u^\star$; somit gibt es einen Morphismus~$C \xra{g}
X^n[1]$ mit~$g u = p[1]$. Die Kommutativitätsbedingung~$g[-1] \lambda = g[-1]
u[-1] \beta[n-2] = p \hat\beta = d^{n-1}$ ist auch erfüllt.

Somit muss der Pfeil~$g[-1]$ nur noch zu einem ausgezeichneten Dreieck ergänzt
und dieses Dreieck rechts ans Postnikov-System angefügt werden, das entstehende
Diagramm ist dann ein Links-Postnikov-System von~$X^0 \to \cdots \to X^n$.
\end{proof}
