\section{Das Massey-Produkt in Homotopiekategorien von Komplexen}

%Wir erinnern zunächst an die Definition des Massey-Produkts für graduierte
%Differentialalgebren (d.\,h. graduierte Algebren~$S$ mit einer Grad-1-Abbildung~$S
%\xra{d} S$, die eine graduierte Variante der Leibnizregel erfüllt). Für ein
%homogenes Element~$a \in S^n$ vom Grad~$n$ sei~$\overline{a} := (-1)^n a$.
%
%Seien~$x \in S^p$,~$y \in S^q$ und~$z \in S^r$ drei homogene Koketten einer
%graduierten Differentialalgebra~$S$ der Grade~$p$,~$q$ bzw.~$r$, die ferner
%Kozykel sind, also~$d x = 0$,~$dy = 0$,~$d z = 0$ erfüllen. Weiter gelte~$xy =
%0$ und~$yz = 0$.
%
%\begin{defn}Das \emph{Massey-Produkt~$\masseydga{x,y,z}$} ist die Menge aller
%Koketten der Form~$\overline{u}z + \overline{x}v \in S^{p+q+r-1}$ mit~$u \in
%S^{p+q-1}$,~$v \in S^{q+r-1}$ und~$\overline{x}y=du$,~$\overline{yz}=dv$.\end{defn}

Für den Spezialfall, dass die zugrunde gelegte triangulierte
Kategorie~$\cat{D}$ eine Homotopiekategorie~$K(\cat{A})$ von Komplexen über
einer abelschen Kategorie~$\cat{A}$ ist, gibt es eine klassische Definition des
Massey-Produkt-Begriffs, die nicht die Sprache triangulierter Kategorien
verwendet.

In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass der klassische Begriff mit dem
verallgemeinerten übereinstimmt. Zur Vereinfachung der Notation ist dazu der
Hom-Komplex hilfreich:

\begin{defn}Seien~$U^\bullet$ und~$V^\bullet$ zwei Komplexe über einer
abelschen Kategorie~$\cat{A}$. Dann ist der
\emph{Hom-Komplex~$\iHom^\bullet(U^\bullet,V^\bullet)$} gradweise durch
\[
  \iHom^p(U^\bullet,V^\bullet) :=
  \prod_{i \in \mathbb{Z}} \Hom_{\cat{A}}(U^i,V^{p+i})
\]
definiert und das Differential für~$f^\bullet \in \iHom^p(U^\bullet,V^\bullet)$ durch
\[
  \partial f^\bullet :=
  d_{V^\bullet}^\bullet[p] f^\bullet - (-1)^p f^\bullet[1] d_{U^\bullet}^\bullet
  \in \iHom^{p+1}(U^\bullet,V^\bullet)
\]
gegeben.
\end{defn}

Mit dieser Vorzeichenkonvention sind die Grad-$p$-Kozykeln
von~$\iHom^\bullet(U^\bullet,V^\bullet)$ genau die
Komplexabbildungen~$U^\bullet \to V^\bullet[p]$, Komplexabbildungen der
Form~$\partial f^\bullet$ sind genau die nullhomotopen und für~$f^\bullet \in
\iHom^p(U^\bullet,V^\bullet)$,~$g^\bullet \in \iHom^q(V^\bullet,W^\bullet)$
gilt die Leibnizregel
\[ \partial(g[p] \circ f) = (\partial g)[p] \circ f + (-1)^q g[p+1] \circ \partial f. \]

\subsection[\ldots von Komplexen der Länge~4]{Das Massey-Produkt
von Komplexen der Länge~4}

Sei~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{d^2} X^3$ ein Diagramm
über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist, d.\,h. dass die
Kompositionen~$d^1 d^0$ und~$d^2 d^1$ nullhomotop sind.

\begin{defn}\label{mpc:def}Die Klasse aller Morphismen der Form
\[ d^2[-1]u - vd^0 \in \iHom^{-1}(X^0,X^3) \]
mit~$u \in \iHom^{-1}(X^0,X^2)$,~$v \in
\iHom^{-1}(X^1,X^3)$ und
\begin{align*}
  d^1d^0 &= \partial u, \\
  d^2d^1 &= \partial v
\end{align*} heißt \emph{(klassisches) Massey-Produkt von~$X^\bullet$} und wird
als~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ notiert.\end{defn}

Da~$d^1 d^0$ und~$d^2 d^1$ nullhomotop sind, gibt es solche Abbildungen~$u$
und~$v$, das Massey-Produkt~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ ist also sets nichtleer.
Ferner sind die Elemente des Massey-Produkts Komplexabbildungen:

\begin{prop}Es gilt~$\masseyc{d^0,d^1,d^2} \subseteq
\Hom_{\Kom(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$.\end{prop}
\begin{proof}Sei ein beliebiges Element~$d^2[-1]u - vd^0 \in
\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ gegeben. Unter
Benutzung der Leibnizregel und~$\partial d^i = 0$ folgt, dass es
ein~$\partial$-Kozykel ist:
$\partial(d^2[-1]u - vd^0) = ((\partial d^2)[-1]u + d^2 \, \partial u) -
(\partial v \, d^0 - v[1] \, \partial d^0) = d^2d^1d^0 - d^2d^1d^0 = 0.$\end{proof}
An dieser Stelle sieht man auch, dass das Vorzeichen in der Definition
des Massey-Produkts wichtig ist.

Das so definierte Produkt stimmt mit dem allgemeinen Produktbegriff in
triangulierten Kategorien überein; das werden wir in Abschnitt~\ref{mpc:ueb}
beweisen.


\subsection[\ldots von Komplexen der Länge~5]{Das Massey-Produkt von Komplexen
der Länge~5}

Vor dem allgemeinen Fall von Komplexen beliebiger endliche Länge wollen wir
eine Definition für die Länge~5 formulieren. Sei dazu~$X^\bullet{:}\, X^0
\xra{d^0} X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{d^2} X^3 \xra{d^3} X^4$ ein beliebiges
Diagramm über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist.

An die Massey-Produkte~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ und~$\masseyc{d^1,d^2,d^3}$ kann
man die Forderungen stellen, dass sie jeweils einen nullhomotopen Morphismus
enthalten. Um in die folgende Definition einzuführen, wollen wir kurz
ausformulieren, was es bedeutet, wenn diese Forderungen erfüllt sind.

Dass~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ einen nullhomotopen Morphismus enthält, ist
äquivalent dazu, dass es Homotopien~$u \in \iHom^{-1}(X^0,X^2)$ und~$v \in
\iHom^{-1}(X^1,X^3)$ mit~$d^1 d^0 = \partial u$,~$d^2 d^1 = \partial v$
und~$d^2[-1] u - vd^0 = 0$ in~$\Hom_{K(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$ gibt; die letzte
Aussage bedeutet, dass eine Homotopie~$A \in \iHom^{-2}(X^0,X^3)$ mit~$d^2[-1]
u - vd^0 = \partial A$ existiert.

Die zweite Forderung lautet ausgeschrieben: Es gibt Homotopien~$v' \in
\iHom^{-1}(X^1,X^3)$,~$w \in \iHom^{-1}(X^2,X^4)$ mit~$d^2d^1 = \partial
v'$,~$d^3d^2 = \partial w$ und $d^3[-1] v' - wd^1 =
\partial B$ für eine weitere Homotopie~$B \in \iHom^{-2}(X^1,X^4)$.

Im Allgemeinen kann man dabei nicht~$v = v'$ wählen~\citep{oneill}; kann man
das in einem Spezialfall doch, so sagt man, dass~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$
und~$\masseyc{d^1,d^2,d^2}$~\emph{simultan verschwinden}.

\begin{defn}\label{mpd:def}Die Klasse aller Morphismen der Form
\[ d^3[-2] A - w[-1] u + B d^0 \in \iHom^{-2}(X^0,X^4) \]
mit~$u \in \iHom^{-1}(X^0,X^2)$,~$v \in
\iHom^{-1}(X^1,X^3)$,~$w \in \iHom^{-1}(X^2,X^4)$ sowie~$A \in
\iHom^{-2}(X^0,X^3)$ und~$B \in \iHom^{-2}(X^1,X^4)$ derart, dass die
Bedingungen
\begin{align*}
  d^1d^0 &= \partial u \\
  d^2d^1 &= \partial v \\
  d^3d^2 &= \partial w \\
  d^2[-1]u - vd^0 &= \partial A \\
  d^3[-1]v - wd^1 &= \partial B
\end{align*}
erfüllt sind, heißt \emph{(klassisches) Massey-Produkt von~$X^\bullet$} und
wird als~$\masseyc{d^0,d^1,d^2,d^3}$ notiert.\end{defn}

\begin{bem}Direkt nach der Definition ist klar,
dass~$\masseyc{d^0,d^1,d^2,d^3}$ genau dann nichtleer ist,
wenn~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ und~$\masseyc{d^1,d^2,d^3}$ simultan
verschwinden.\end{bem}

Wieder sind die Elemente des Massey-Produkts Komplexabbildungen:

\begin{prop}Es gilt~$\masseyc{d^0,d^1,d^2,d^3} \subseteq
\Hom_{\Kom(\cat{A})}(X^0,X^4[-2])$.\end{prop}
\begin{proof}Für ein beliebiges Element~$f = d^3[-2] A - w[-1] u + B d^0 \in
\masseyc{d^0,d^1,d^2,d^3}$ gilt:
\begin{align*}
  \partial f &=
  d^3[-1] \partial A - (\partial w)[-1] u + w \partial u + (\partial B) d^0 \\
  &= d^3[-1] d^2[-1] u - d^3[-1] v d^0 - d^3[-1] d^2[-1] u + 
     w d^1 d^0 + d^3[-1] v d^0 - w d^1 d^0 \\
  &= 0 \qedhere
\end{align*}\end{proof}


\subsection[\ldots von Komplexen beliebiger endlicher Länge]{Das Massey-Produkt
von Komplexen beliebiger endlicher Länge}

Sei~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} \cdots \xra{d^{n-1}} X^n$ ein beliebiges
Diagramm über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist. Für eine
Definition des Massey-Produkts von~$X^\bullet$ ist es hilfreich, die
auftretenden Morphismen in einer oberen Dreiecksmatrix~(mit fehlendem oberen
rechten Eintrag) zu organisieren:

\begin{defn}Ein~\emph{definierendes System für~$X^\bullet$} ist eine Familie
$M = (a_{ij})_{ij}$ von Morphismen mit~$0 \leq i \leq j \leq n - 1$ und~$(i,j) \neq
(0,n-1)$ derart,
dass
\begin{align*}
  a_{ij} &\in \iHom^{i-j}(X^i,X^{j+1}) \\
  a_{ii} &= d^i \\
  \partial a_{ij} &= L_M(i,j)
\end{align*}
für alle Indizes gilt. Dabei bezeichnet~$L_M(i,j)$ folgende signierte Summe:
\[ L_M(i,j) = \sum_{r=i}^{j-1} (-1)^{j-1-r} a_{r+1,j}[i-r] a_{ir} \]
\end{defn}

\begin{defn}Die Klasse aller Morphismen der Form~$L_M(0,n-1) \in
\iHom^{-(n-1)}(X^0,X^n)$, wobei~$M$ ein beliebiges definierendes System
für~$X^\bullet$ ist, heißt \emph{(klassisches) Massey-Produkt von~$X^\bullet$}
und wird als~$\masseyc{d^0,\ldots,d^{n-1}}$ notiert.\end{defn}

Speziell für~$n = 3$ und~$n = 4$ erhält man mit diesen Vorzeichenkonventionen
die Definitionen der beiden vorigen Abschnitte zurück, und wieder kann man
nachrechnen, dass die Elemente des Massey-Produkts Komplexabbildungen sind;
dazu zeigen wir allgemeiner:

\begin{prop}Die Morphismen~$L_M(i,j) \in
\iHom_{\Kom(\cat{A})}[i-j+1](X^i,X^{j+1})$ sind für alle definierenden
Systeme~$M$ und alle Indizes $\partial$-Kozykel, also
Komplexabbildungen.\end{prop}
\begin{proof}
\begin{align*}
  \partial L_M(i,j) &=
  \sum_{r=i}^{j-1} (-1)^{j-1-r} \left(
    (\partial a_{r+1,j})[i-r] a_{ir} +
    (-1)^{r+1-j} a_{r+1,j}[i-r+1] \partial a_{ir}
  \right) \\
  &=
  \sum_{r=i}^{j-1} \sum_{s=r+1}^{j-1} -(-1)^{s-1-r}
    a_{s+1,j}[i-s+1] a_{r+1,s}[i-r] a_{ir} \\
  &+
  \sum_{r=i}^{j-1} \sum_{s=i}^{{\ \ }r-1{\ \ }} \,\,\,\,(-1)^{r-1-s}
    a_{r+1,j}[i-r+1] a_{s+1,r}[i-s] a_{is} \\
  &= 0 \qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Zusammenhang zu klassischen Massey-Produkt-Definitionen}

Sei~$R$ ein kommutativer Ring und~$C^\bullet$ ein Kokettenkomplex
von~$R$-Moduln mit einem assoziativen und $R$-bilinearen Produkt~$\smile$, das
für Koketten~$\varphi \in C^p$,~$\psi \in C^l$ die Leibnizregel~$d(\varphi
\smile \psi) = d\varphi \smile \psi + (-1)^p \varphi \smile d\psi$ erfüllt;
beispielsweise kann~$C^\bullet$ der singuläre Kokettenkomplex eines
topologischen Raums mit Koeffizienten in~$R$ und das Produkt~$\smile$ das
Cup-Produkt sein.

Eine beliebige Kokette~$x \in C^p$ induziert eine Abbildung~$(x \smile \frei) \in
\iHom^p(C^\bullet,C^\bullet)$, die genau dann eine Abbildung von Komplexen ist,
wenn~$x$ ein Kozykel ist. Ferner gilt die Vertauschungsrelation~$\partial(x
\smile \frei) = dx \smile \frei$.

Seien nun~$d^0 \in C^p$,~$d^1 \in C^q$,~$d^2 \in C^r$ Kozykel, für die $d^1
\smile d^0$ und~$d^2 \smile d^1$ nullhomotop sind; das ist das Datum für das
klassische Massey-Produkt von Kozykeln.

Daraus lässt sich ein Diagramm über~$\Kom(\lmod{R})$ konstruieren, das
über~$K(\lmod{R})$ ein Komplex ist:
\begin{equation*}
  C^\bullet \xra{d^0 \smile \frei}
  C^\bullet[p] \xra{(d^1 \smile \frei)[p]}
  C^\bullet[p+q] \xra{(d^2 \smile \frei)[p+q]}
  C^\bullet[p+q+r]
\end{equation*}
Das Massey-Produkt zu diesem Komplex stimmt dann bis auf Vorzeichen und
Kompositionsreihenfolge mit klassischen Definitionen~\citep{oneill,kraines} des
Massey-Produkts von Kozykeln überein.


\subsection{Zusammenhang zum Massey-Produkt in triangulierten Kategorien}

\label{mpc:ueb}
Die Homotopieklassen von Elementen aus~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ unterscheiden
sich nur um Elemente aus der Untergruppe~$A \subseteq
\Hom_{K(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$ von~\eqref{mpa:agruppe},
\begin{equation*}
  A = d^2[-1] \Hom_{K(\cat{A})}(X^0,X^2[-1]) + \Hom_{K(\cat{A})}(X^1,X^3[-1]) d^0.
\end{equation*}
% vgl. massey-a.tex!

Um das zu zeigen, beweisen wir gleich die stärkere Aussage, dass die klassische
Definition~\ref{mpc:def} wie eingangs behauptet mit der
allgemeinen~(Def.~\ref{mpb:def}) übereinstimmt.

\begin{prop}Es gilt~$\masseyc{d^0,d^1,d^2} = \masseyb{d^0,d^1,d^2}$, wobei
das Massey-Produkt auf der rechten Seite über der triangulierten
Kategorie~$K(\cat{A})$ genommen wird und die linke Seite, die eigentlich eine
Teilklasse von~$\Hom_{\Kom(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$ ist, als Teilklasse
von~$\Hom_{K(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$ augefasst werden muss.\end{prop}
\begin{proof}Wir zeigen die wegen Prop.~\ref{mpb:uebalt} äquivalente
Aussage~$\masseyc{d^0,d^1,d^2} = -\masseya{d^0,d^1,d^2}$.

\proofpart{\subseteq}
Sei~$f := d^2[-1]u - vd^0 \in \masseyc{d^0,d^1,d^2}$ beliebig; um zu zeigen,
dass~$-f$ in~$\masseya{d^0,d^1,d^2}$ liegt, müssen wir ein kommutatives Diagramm
wie~\eqref{mpa:def:diag} konstruieren.
Als Kegel~$Y$ von~$X^1 \xra{d^1} X^2$ wählen wir die kanonische Konstruktion $Y
:= X^1[1] \oplus X^2$ mit Differential
\[
  d_Y := \begin{pmatrix}
    -d_{X^1}[1] & 0 \\
    d^1[1]      & d_{X^2}
  \end{pmatrix}\!,
\]
dann ist das Dreieck
\[ X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{\overline{\pi}} Y \xra{\delta} X^1[1] \]
mit~$\overline{\pi} = \left(\begin{smallmatrix}0 \\
\id_{X^2}\end{smallmatrix}\right)$ und~$\delta =
\left(\begin{smallmatrix}\id_{X^1[1]} & 0\end{smallmatrix}\right)$ ausgezeichnet.

Dann müssen wir noch Morphismen~$Y \xra{p} X^3$ und~$X^0 \xra{q} Y[-1]$ derart
definieren, dass in~$K(\cat{A})$ gilt:
%\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $p \overline{\pi} = d^2$
\item $\delta[-1] q = d^0$
\item $f = -(p[-1]q)$
\end{enumerate}
%\end{multicols}

Auf eine Idee für~$p$ und~$q$ kommt man, wenn man~$-f$ künstlich als Komposition
zweier Morphismen schreibt:
\[
  -f = vd^0 - d^2[-1]u =
  \begin{pmatrix}v & d^2[-1]\end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}d^0 \\ -u\end{pmatrix}
\]
Auf diese Weise wird man zu den Wahlen~$p := \left(\begin{smallmatrix}v[1] &
d^2\end{smallmatrix}\right)$ und~$q := \left(\begin{smallmatrix}d^0 \\
-u\end{smallmatrix}\right)$ geleitet; dass diese die Bedingungen~1.,~2. und~3.
erfüllen, kann man schnell nachrechnen.

Da aber~$u$ und~$v$ nicht notwendigerweise Morphismen von Komplexen sind, ist
nicht sofort klar, dass~$p$ und~$q$ auch wirklich Komplexabbildungen sind, das
müssen wir also noch zeigen:
\begin{align*}
  \partial p &= d_{X^3} p - p[1] d_Y
  =
  d_{X^3} \begin{pmatrix}v[1] & d^2\end{pmatrix} -
  \begin{pmatrix}v[2] & d^2[1]\end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    -d_{X^1}[1] & 0 \\
    d^1[1]      & d_{X^2}
  \end{pmatrix} \\
  &=
  \begin{pmatrix}
    d_{X^3}v[1] + v[2]d_{X^1}[1] - (d^2d^1)[1] &
    d_{X^3}d^2 - d^2[1]d_{X^2}
  \end{pmatrix} \\
  &=
  \begin{pmatrix}
    (\partial v)[1] - (d^2d^1)[1] &
    \partial d^2
  \end{pmatrix}
  = 0 \\\\
  \partial q &= d_{Y[-1]}q - q[1]d_{X^0}
  =
  \begin{pmatrix}
    d_{X^1} & 0 \\
    -d^1    & -d_{X^2}[-1]
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}d^0 \\ -u\end{pmatrix} -
  \begin{pmatrix}d^0[1] \\ -u[1]\end{pmatrix} d_{X^0} \\
  &=
  \begin{pmatrix}
    d_{X^1}d^0 - d^0[1] d_{X^0} \\
    -d^1d^0 + d_{X^2}[-1]u + u[1]d_{X^0}
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \partial d^0 \\
    -d^1d^0 + \partial u
  \end{pmatrix}
  = 0
\end{align*}

Das schließt den Beweis der Behauptung~$-f \in \masseya{d^0,d^1,d^2}$ ab.

\proofpart{\supseteq}
Sei ein beliebiges Element~$f \in -\masseya{d^0,d^1,d^2}$ gegeben. Für ein
festes~$f_0 \in \masseyc{d^0,d^1,d^2} \subseteq -\masseya{d^0,d^1,d^2}$~(Existenz
gesichert) gilt~$\masseya{d^0,d^1,d^2} = -f_0 + A$, daher gilt~$f = f_0 - a$ für
ein~$a \in A$.

Sei~$f_0 = d^2[-1]u_0 - v_0d^0$ mit~$d^1d^0 = \partial u_0$ und~$d^2d^1 =
\partial v_0$ und~$a = d^2[-1]g + hd^0$ für gewisse~$X^0 \xra{g} X^2[-1]$
und~$X^1 \xra{h} X^3[-1]$.

Dann ist~$f = f_0 - a = d^2[-1](u_0 - g) - (v_0 + h)d^0$, und
wegen~$\partial(u_0-g) = \partial u_0 - \partial g = d^1d^0 - 0$
und~$\partial(v_0 + h) = d^2d^1$ ist damit klar, dass~$f$
in~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ liegt.
\end{proof}
