\section{Das Massey-Produkt in triangulierten Kategorien}

\subsection[\ldots von Komplexen der Länge~4]{Das Massey-Produkt von Komplexen der Länge~4}

Sei~$\cat{D}$ eine triangulierte Kategorie und~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0}
X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{d^2} X^3$ ein Komplex über~$\cat{D}$, d.\,h. es
gelte~$d^2 d^1 = 0$ und $d^3 d^2 = 0$.

\begin{defn}Die Klasse aller Morphismen der Form~$p[-1] q \in
\Hom(X^0,X^3[-1])$, wobei~$Y \xra{p} X^3$ und~$X^0 \xra{q}Y[-1]$ das Diagramm
\begin{diagram}[LaTeXeqno]\label{mpa:def:diag}
  X^0 & \rTo^{d^0} & X^1 & \rTo^{d^1} & X^2 & \rTo^{d^2} & X^3 \\
  & \rdTo(3,2)^q_{[-1]} && \luTo(1,2)_{[1]} \star \ldTo(1,2) && \ruTo(3,2)_p \\
  &&& Y
\end{diagram}
kommutativ machen und~$Y$ ein beliebiger Kegel von~$X^1 \xra{d^1} X^2$
ist, heißt \emph{Massey-Produkt von~$X^\bullet$} und wird
als~$\masseya{d^0,d^1,d^2}$ notiert.\end{defn}

Wir wollen zunächst die Nichttrivialität des so definierten Massey-Produkts
zeigen:

\begin{prop}Das Massey-Produkt~$\masseya{d^0,d^1,d^2}$ ist stets
nichtleer.\end{prop}
\begin{proof}
Die Existenz eines Kegels~$Y$ von~$d^1$ ist nach den Axiomen
triangulierter Kategorien gesichert. Um einen Morphismus~$X^0 \xra{q}Y[-1]$ zu
erhalten, der das linke Dreieck kommutativ macht, betrachten wir die zum
ausgezeichneten Dreieck~$X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{u} Y \xra{v} X^1[1]$ gehörige
lange exakte Sequenz
\begin{equation}\label{mpa:seq:q}
  \cdots \to
  \Hom(X^0,Y[-1]) \xra{v[-1]_\star}
  \Hom(X^0,X^1) \xra{d^1_\star}
  \Hom(X^0,X^2) \xra{u_\star}
  \Hom(X^0,Y) \to \cdots.
\end{equation}
Wegen~$d^1 d^0 = 0$ liegt~$d^0$ im Kern von~$d^1_\star$ und damit im Bild
von~$v[-1]_\star$; somit erhält man einen Morphismus~$X^0 \xra{q} Y[-1]$
mit~$d^0 = v[-1]_\star(q) = v[-1] q$.

Auf ähnliche Art und Weise erhält man einen ins Diagramm passenden Pfeil~$Y
\xra{p} X^3$: Aus der Exaktheit von
\begin{equation}\label{mpa:seq:p}
  \cdots \leftarrow
  \Hom(X^1,X^3) \xla{(d^1)^\star}
  \Hom(X^2,X^3) \xla{u^\star}
  \Hom(Y,X^3) \xla{v^\star}
  \Hom(X^1[1],X^3) \leftarrow \cdots
\end{equation}
folgt wegen~$d^2 \in \Kern\, (d^1)^\star$, dass~$d^2$ im Bild von~$u^\star$ liegen
und es somit einen Morphismus~$Y \xra{p} X^3$ mit~$pu = d^2$ geben muss.
\end{proof}

Je zwei Elemente von~$\masseya{d^0,d^1,d^2}$ unterscheiden sich um ein
Element aus der Untergruppe
\begin{equation}\label{mpa:agruppe}
  A := d^2[-1] \Hom(X^0,X^2[-1]) + \Hom(X^1,X^3[-1]) d^0 \subseteq \Hom(X^0,X^3[-1]),
\end{equation}
genauer zeigen wir sogar, dass~$\masseya{d^0,d^1,d^2}$ eine
Verschiebung\XXX{Begriff} von~$A$ ist:
% vgl. massey-c.tex!

\begin{prop}Das Massey-Produkt~$\masseya{d^0,d^1,d^2}$ ist von der
Form \[ \masseya{d^0,d^1,d^2} = p[-1]q + A, \] wobei~$p[-1]q$ ein
beliebiges Element des Produkts bezeichnet.\end{prop}
\begin{proof}
\proofpart{\subseteq} Sei ein beliebiges Element~$X^0 \xra{\tilde q} \tilde Y
\xra{\tilde p[-1]} X^3[-1]$ von~$\masseya{d^0,d^1,d^2}$ gegeben, es gibt also
ein Diagramm wie~\eqref{mpa:def:diag}, wobei der Kegel~$\tilde Y$ in diesem
Diagramm nicht mit dem zu~$p[-1]q$ übereinstimmen muss.

Nach Axiom~(TR3) triangulierter Kategorien erhalten wir aus
\begin{diagram}
  X^1 & \rTo^{d^1} & X^2 & \rTo^u & Y & \rTo^v & X^1[-1] \\
  \dEquals && \dEquals && \dDashto<\isom>\varphi && \dEquals \\
  X^1 & \rTo^{d^1} & X^2 & \rTo^{\tilde u} & \tilde Y & \rTo^{\tilde v} & X^1[-1]
\end{diagram}
einen Morphismus~$Y \xra{\varphi} \tilde Y$, der ein Isomorphismus ist, da die
anderen vertikalen Pfeile des Diagramms Isomorphismen sind.

In die Differenz~$\tilde p[-1] \tilde q - p[-1]q$ schieben wir einen Zusatzterm
ein,
\begin{align*}
  \tilde p[-1] \tilde q - p[-1]q &=
  \tilde p[-1] \tilde q - \tilde p[-1] \varphi[-1] q + \tilde p[-1] \varphi[-1]
  q - p[-1] q \\
  &= \tilde p[-1] \underbrace{(\tilde q - \varphi[-1] q)}_{=:\, a} +
  \underbrace{(\tilde p \varphi - p)}_{=:\, b}[-1] q.
\end{align*}
Wegen~$\tilde v[-1] a = \tilde v[-1] \tilde q - \tilde v[-1] \varphi[-1] q =
\tilde v[-1] \tilde q - v[-1] q = d^0 - d^0 = 0$ folgt aus der langen exakten
Sequenz zum Kegel~$\tilde Y$~(wie~\eqref{mpa:seq:q}), dass~$a$ in~$\Bild \tilde
u[-1]_\star = \Kern \tilde v[-1]_\star$ liegt und es somit einen
Morphismus~$X^0 \xra{g} X^2[-1]$ mit~$a = \tilde u[-1] g$ gibt.

Ähnlich folgt wegen~$b u = \tilde p \varphi u - p u = \tilde p \tilde u - p u =
d^2 - d^2 = 0$ und der Sequenz~\eqref{mpa:seq:p}, dass~$b$ in~$\Kern u^\star =
\Bild v^\star$ liegt und es somit einen Pfeil~$X^1[1] \xra{h} X^3$ mit~$b = hv$ gibt.

Zusammengenommen lässt sich die Differenz~$\tilde p[-1] \tilde q - p[-1]q$ daher
wie folgt schreiben:
\begin{align*}
  \tilde p[-1] \tilde q - p[-1]q &=
  \tilde p[-1] a + b[-1] q \\
  &= \tilde p[-1] \tilde u[-1] g + h[-1] v[-1] q \\
  &= d^2[-1] g + h[-1] d^0 \in A
\end{align*}
Damit folgt die Behauptung.

\proofpart{\supseteq} Sei ein beliebiges Element~$f = p[-1]q + (d^2[-1] g + h[-1]
d^0)$ aus~$p[-1] q + A$ gegeben. Wir definieren~$\tilde p := p + hv$ und~$\tilde
q := q + u[-1] g$.

Dann gilt~$\tilde p u = pu + hvu = d^2 + 0 = d^2$ und~$v[-1] \tilde q = v[-1] q
+ (vu)[-1] g = d^0 + 0 = d^0$, somit liegt~$\tilde p[-1] \tilde q$ im
Massey-Produkt~$\masseya{d^0,d^1,d^2}$ und die Behauptung folgt:
\begin{align*}
  \tilde p[-1] \tilde q &=
  (p + hv)[-1] \circ (q + u[-1] g) \\
  &= p[-1]q + p[-1]u[-1]g + h[-1]v[-1]q + h[-1]v[-1]u[-1]g \\
  &= p[-1]q + d^2[-1]g + h[-1] d^0 \\
  &= f \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
