\section{Das Massey-Produkt in Homotopiekategorien von Komplexen}

%Wir erinnern zunächst an die Definition des Massey-Produkts für graduierte
%Differentialalgebren (d.\,h. graduierte Algebren~$S$ mit einer Grad-1-Abbildung~$S
%\xra{d} S$, die eine graduierte Variante der Leibnizregel erfüllt). Für ein
%homogenes Element~$a \in S^n$ vom Grad~$n$ sei~$\overline{a} := (-1)^n a$.
%
%Seien~$x \in S^p$,~$y \in S^q$ und~$z \in S^r$ drei homogene Koketten einer
%graduierten Differentialalgebra~$S$ der Grade~$p$,~$q$ bzw.~$r$, die ferner
%Kozykel sind, also~$d x = 0$,~$dy = 0$,~$d z = 0$ erfüllen. Weiter gelte~$xy =
%0$ und~$yz = 0$.
%
%\begin{defn}Das \emph{Massey-Produkt~$\masseydga{x,y,z}$} ist die Menge aller
%Koketten der Form~$\overline{u}z + \overline{x}v \in S^{p+q+r-1}$ mit~$u \in
%S^{p+q-1}$,~$v \in S^{q+r-1}$ und~$\overline{x}y=du$,~$\overline{yz}=dv$.\end{defn}

Für den Spezialfall, dass die zugrunde gelegte triangulierte
Kategorie~$\cat{D}$ eine Homotopiekategorie~$K(\cat{A})$ von Komplexen über
einer abelschen Kategorie~$\cat{A}$ ist, gibt es eine klassische Definition des
Massey-Produkt-Begriffs, die nicht die Sprache triangulierter Kategorien
verwendet.

In diesem Abschnitt wollen wir diesen klassischen Begriff formulieren und dann
zeigen, dass er mit dem verallgemeinerten (bis auf Vorzeichen) übereinstimmt.
Zur Vereinfachung der Notation wird der Hom-Komplex hilfreich sein:

\begin{defn}Seien~$U^\bullet$ und~$V^\bullet$ zwei Komplexe über einer
abelschen Kategorie~$\cat{A}$. Dann ist der
\emph{Hom-Komplex~$\iHom^\bullet(U^\bullet,V^\bullet)$} gradweise durch
\[
  \iHom^p(U^\bullet,V^\bullet) :=
  \prod_{i \in \mathbb{Z}} \Hom_{\cat{A}}(U^i,V^{p+i})
\]
definiert und das Differential für~$f^\bullet \in \iHom^p(U^\bullet,V^\bullet)$ durch
\[
  \partial f^\bullet :=
  d_{V^\bullet}^\bullet[p] f^\bullet - (-1)^p f^\bullet[1] d_{U^\bullet}^\bullet
  \in \iHom^{p+1}(U^\bullet,V^\bullet)
\]
gegeben.
\end{defn}

Mit dieser Vorzeichenkonvention sind die Grad-$p$-Kozykeln
von~$\iHom^\bullet(U^\bullet,V^\bullet)$ genau die
Komplexabbildungen~$U^\bullet \to V^\bullet[p]$, Komplexabbildungen der
Form~$\partial f^\bullet$ sind genau die nullhomotopen und für~$f^\bullet \in
\iHom^p(U^\bullet,V^\bullet)$,~$g^\bullet \in \iHom^q(V^\bullet,W^\bullet)$
gilt die Leibnizregel
\[ \partial(g[p] \circ f) = (\partial g)[p] \circ f + (-1)^q g[p+1] \circ \partial f. \]

Mit~$X^\bullet[p]$ bezeichnen wir die durch~$(X^\bullet[p])^n := X^{p+n}$
definierte Verschiebung von~$X^\bullet$ mit Differential~$d_{X^\bullet[p]} =
(-1)^p d_{X^\bullet}[p]$.\XXX{Vorzeichen prüfen!}

\subsection[\ldots von Komplexen der Länge~4]{Das Massey-Produkt
von Komplexen der Länge~4}

Sei~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{d^2} X^3$ ein Diagramm
über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist, d.\,h. dass die
Kompositionen~$d^1 d^0$ und~$d^2 d^1$ nullhomotop sind.

\begin{defn}\label{mpc:def}Die Klasse aller Morphismen der Form
\[ d^2[-1]u - vd^0 \in \iHom^{-1}(X^0,X^3) \]
mit~$u \in \iHom^{-1}(X^0,X^2)$,~$v \in
\iHom^{-1}(X^1,X^3)$ und
\begin{align*}
  d^1d^0 &= \partial u, \\
  d^2d^1 &= \partial v
\end{align*} heißt \emph{(klassisches) Massey-Produkt von~$X^\bullet$} und wird
als~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ notiert.\end{defn}

Da~$d^1 d^0$ und~$d^2 d^1$ nullhomotop sind, gibt es solche Abbildungen~$u$
und~$v$, das Massey-Produkt~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ ist also sets nichtleer.
Ferner sind die Elemente des Massey-Produkts Komplexabbildungen:

\begin{prop}Es gilt~$\masseyc{d^0,d^1,d^2} \subseteq
\Hom_{\Kom(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$.\end{prop}
\begin{proof}Sei ein beliebiges Element~$d^2[-1]u - vd^0 \in
\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ gegeben. Unter
Benutzung der Leibnizregel und~$\partial d^i = 0$ folgt, dass es
ein~$\partial$-Kozykel ist:
$\partial(d^2[-1]u - vd^0) = ((\partial d^2)[-1]u + d^2 \, \partial u) -
(\partial v \, d^0 - v[1] \, \partial d^0) = d^2d^1d^0 - d^2d^1d^0 = 0.$\end{proof}
An dieser Stelle sieht man auch, dass das Vorzeichen in der Definition
des Massey-Produkts wichtig ist.

Das so definierte Produkt stimmt mit dem allgemeinen Produktbegriff in
triangulierten Kategorien überein; das werden wir in Abschnitt~\ref{mpc:ueb}
beweisen.


\subsection[\ldots von Komplexen der Länge~5]{Das Massey-Produkt von Komplexen
der Länge~5}

\label{mpc:komplex5}
Vor dem allgemeinen Fall von Komplexen beliebiger endliche Länge wollen wir
eine Definition für die Länge~5 formulieren. Sei dazu~$X^\bullet{:}\, X^0
\xra{d^0} X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{d^2} X^3 \xra{d^3} X^4$ ein beliebiges
Diagramm über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist.

An die Massey-Produkte~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ und~$\masseyc{d^1,d^2,d^3}$ kann
man die Forderungen stellen, dass sie jeweils einen nullhomotopen Morphismus
enthalten. Um in die folgende Definition einzuführen, wollen wir kurz
ausformulieren, was es bedeutet, wenn diese Forderungen erfüllt sind.

Dass~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ einen nullhomotopen Morphismus enthält, ist
äquivalent dazu, dass es Homotopien~$u \in \iHom^{-1}(X^0,X^2)$ und~$v \in
\iHom^{-1}(X^1,X^3)$ mit~$d^1 d^0 = \partial u$,~$d^2 d^1 = \partial v$
und~$d^2[-1] u - vd^0 = 0$ in~$\Hom_{K(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$ gibt; die letzte
Aussage bedeutet, dass eine Homotopie~$A \in \iHom^{-2}(X^0,X^3)$ mit~$d^2[-1]
u - vd^0 = \partial A$ existiert.

Die zweite Forderung lautet ausgeschrieben: Es gibt Homotopien~$v' \in
\iHom^{-1}(X^1,X^3)$,~$w \in \iHom^{-1}(X^2,X^4)$ mit~$d^2d^1 = \partial
v'$,~$d^3d^2 = \partial w$ und $d^3[-1] v' - wd^1 =
\partial B$ für eine weitere Homotopie~$B \in \iHom^{-2}(X^1,X^4)$.

Im Allgemeinen kann man dabei nicht~$v = v'$ wählen~\citep{oneill}; kann man
das in einem Spezialfall doch, so sagt man, dass~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$
und~$\masseyc{d^1,d^2,d^2}$~\emph{simultan verschwinden}.

\begin{defn}\label{mpd:def}Die Klasse aller Morphismen der Form
\[ d^3[-2] A - w[-1] u + B d^0 \in \iHom^{-2}(X^0,X^4) \]
mit~$u \in \iHom^{-1}(X^0,X^2)$,~$v \in
\iHom^{-1}(X^1,X^3)$,~$w \in \iHom^{-1}(X^2,X^4)$ sowie~$A \in
\iHom^{-2}(X^0,X^3)$ und~$B \in \iHom^{-2}(X^1,X^4)$ derart, dass die
Bedingungen
\begin{align*}
  d^1d^0 &= \partial u \\
  d^2d^1 &= \partial v \\
  d^3d^2 &= \partial w \\
  d^2[-1]u - vd^0 &= \partial A \\
  d^3[-1]v - wd^1 &= \partial B
\end{align*}
erfüllt sind, heißt \emph{(klassisches) Massey-Produkt von~$X^\bullet$} und
wird als~$\masseyc{d^0,d^1,d^2,d^3}$ notiert.\end{defn}

\begin{bem}Direkt nach der Definition ist klar,
dass~$\masseyc{d^0,d^1,d^2,d^3}$ genau dann nichtleer ist,
wenn~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ und~$\masseyc{d^1,d^2,d^3}$ simultan
verschwinden.\end{bem}

Wieder sind die Elemente des Massey-Produkts Komplexabbildungen:

\begin{prop}Es gilt~$\masseyc{d^0,d^1,d^2,d^3} \subseteq
\Hom_{\Kom(\cat{A})}(X^0,X^4[-2])$.\end{prop}
\begin{proof}Für ein beliebiges Element~$f = d^3[-2] A - w[-1] u + B d^0 \in
\masseyc{d^0,d^1,d^2,d^3}$ gilt:
\begin{align*}
  \partial f &=
  d^3[-1] \partial A - (\partial w)[-1] u + w \partial u + (\partial B) d^0 \\
  &= d^3[-1] d^2[-1] u - d^3[-1] v d^0 - d^3[-1] d^2[-1] u + 
     w d^1 d^0 + d^3[-1] v d^0 - w d^1 d^0 \\
  &= 0 \qedhere
\end{align*}\end{proof}


\subsection[\ldots von Komplexen beliebiger endlicher Länge]{Das Massey-Produkt
von Komplexen beliebiger endlicher Länge}

Sei~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} \cdots \xra{d^{n-1}} X^n$ ein beliebiges
Diagramm über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist. Für eine
Definition des Massey-Produkts von~$X^\bullet$ ist es hilfreich, die
auftretenden Morphismen in einer oberen Dreiecksmatrix~(mit fehlendem oberen
rechten Eintrag) zu organisieren:

\begin{defn}Ein~\emph{definierendes System für~$X^\bullet$} ist eine Familie
$M = (a_{ij})_{ij}$ von Morphismen mit~$0 \leq i \leq j \leq n - 1$ und~$(i,j) \neq
(0,n-1)$ derart,
dass
\begin{align*}
  a_{ij} &\in \iHom^{i-j}(X^i,X^{j+1}) \\
  a_{ii} &= d^i \\
  \partial a_{ij} &= L_M(i,j)
\end{align*}
für alle Indizes gilt. Dabei bezeichnet~$L_M(i,j)$ folgende signierte Summe:
\[ L_M(i,j) = \sum_{r=i}^{j-1} (-1)^{j-1-r} a_{r+1,j}[i-r] a_{ir} \]
\end{defn}

Die Forderung~$\partial a_{ii} = L_M(i,i) = 0$ wiederholt dabei lediglich die
Voraussetzung, dass die~$d^i$ Komplexabbildungen sind.

\begin{defn}Die Klasse aller Morphismen der Form~$L_M(0,n-1) \in
\iHom^{-n+2}(X^0,X^n)$, wobei~$M$ ein beliebiges definierendes System
für~$X^\bullet$ ist, heißt \emph{(klassisches) Massey-Produkt von~$X^\bullet$}
und wird als~$\masseyc{d^0,\ldots,d^{n-1}}$ notiert.\end{defn}

Speziell für~$n = 3$ und~$n = 4$ erhält man mit diesen Vorzeichenkonventionen
die Definitionen der beiden vorigen Abschnitte zurück, und wieder kann man
nachrechnen, dass die Elemente des Massey-Produkts Komplexabbildungen sind;
dazu zeigen wir allgemeiner:

\begin{prop}Die Morphismen~$L_M(i,j) \in
\iHom_{\Kom(\cat{A})}[i-j+1](X^i,X^{j+1})$ sind für alle definierenden
Systeme~$M$ und alle Indizes $\partial$-Kozykel, also
Komplexabbildungen.\end{prop}
\begin{proof}
\begin{align*}
  \partial L_M(i,j) &=
  \sum_{r=i}^{j-1} (-1)^{j-1-r} \left(
    (\partial a_{r+1,j})[i-r] a_{ir} +
    (-1)^{r+1-j} a_{r+1,j}[i-r+1] \partial a_{ir}
  \right) \\
  &=
  \sum_{r=i}^{j-1} \sum_{s=r+1}^{j-1} -(-1)^{s-1-r}
    a_{s+1,j}[i-s+1] a_{r+1,s}[i-r] a_{ir} \\
  &+
  \sum_{r=i}^{j-1} \sum_{s=i}^{{\ \ }r-1{\ \ }} \,\,\,\,(-1)^{r-1-s}
    a_{r+1,j}[i-r+1] a_{s+1,r}[i-s] a_{is} \\
  &= 0
\end{align*}
Die letzte Gleichheit wird klar, wenn man die Indexmengen skizziert.
\end{proof}

Für den Beweis der Übereinstimmung dieser Definition mit der allgemeinen für
triangulierte Kategorien\XXX{sprache} werden wir folgende technische
Hilfsaussage benötigen:

\begin{hilfsaussage}\label{mpc:hilfsaussage}
Ist~$M = (a_{ij})_{ij}$ mit~$0 \leq i \leq j \leq n - 1$ und~$(i,j) \neq
(0,n-1)$ ein definierendes
System für~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} \cdots \xra{d^{n-1}} X^n$, dann ist
die Abschneidung~$\tilde M = (a_{ij})_{ij}$ mit~$1 \leq i \leq j \leq n - 1$
und~$(i,j) \neq (1,n-1)$ ein definierendes System für~$X^{\geq 1}{:}\, X^1
\xra{d^1} \cdots \xra{d^{n-1}} X^n$, und es gilt für alle zulässigen Indizes
\[ L_{\tilde M}(i,j) = L_M(i+1,j+1). \]
\end{hilfsaussage}
\begin{proof}
Einfaches Nachrechnen.
\end{proof}
Für später wird es relevant sein, dass hier kein Vorzeichen eingefügt werden
muss.

\subsection{Zusammenhang zu klassischen Massey-Produkt-Definitionen}

Sei~$R$ ein kommutativer Ring und~$C^\bullet$ ein Kokettenkomplex
von~$R$-Moduln mit einem assoziativen und $R$-bilinearen Produkt~$\smile$, das
für Koketten~$\varphi \in C^p$,~$\psi \in C^l$ die Leibnizregel~$d(\varphi
\smile \psi) = d\varphi \smile \psi + (-1)^p \varphi \smile d\psi$ erfüllt;
beispielsweise kann~$C^\bullet$ der singuläre Kokettenkomplex eines
topologischen Raums mit Koeffizienten in~$R$ und das Produkt~$\smile$ das
Cup-Produkt sein.

Eine beliebige Kokette~$x \in C^p$ liefert eine Abbildung~$(x \smile \frei) \in
\iHom^p(C^\bullet,C^\bullet)$, die genau dann eine Abbildung von Komplexen ist,
wenn~$x$ ein Kozykel ist. Ferner gilt die Vertauschungsregel~$\partial(x
\smile \frei) = dx \smile \frei$.

Seien nun~$d^0 \in C^p$,~$d^1 \in C^q$,~$d^2 \in C^r$ Kozykel, für die $d^1
\smile d^0$ und~$d^2 \smile d^1$ nullhomotop sind; das ist das Datum für das
klassische Massey-Produkt von Kozykeln.\XXX{Das hier genauer; alte Definition
bringen.}

Daraus lässt sich ein Diagramm über~$\Kom(\lmod{R})$ konstruieren, das
über~$K(\lmod{R})$ ein Komplex ist:
\begin{equation*}
  C^\bullet \xra{d^0 \smile \frei}
  C^\bullet[p] \xra{(d^1 \smile \frei)[p]}
  C^\bullet[p+q] \xra{(d^2 \smile \frei)[p+q]}
  C^\bullet[p+q+r]
\end{equation*}
Das Massey-Produkt zu diesem Komplex stimmt dann bis auf Vorzeichen und
Kompositionsreihenfolge mit klassischen Definitionen~\citep{oneill,kraines} des
Massey-Produkts von Kozykeln überein.


\subsection{Zusammenhang zum Massey-Produkt in triangulierten Kategorien}

\subsubsection{Der Spezialfall von Komplexen der Länge~4}

\label{mpc:ueb}
Sei~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{d^2} X^3$ ein Diagramm
über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist.

Die Homotopieklassen von Elementen aus~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ unterscheiden
sich nur um Elemente aus der Untergruppe~$A \subseteq
\Hom_{K(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$ von~\eqref{mpa:agruppe},
\begin{equation*}
  A = d^2[-1] \Hom_{K(\cat{A})}(X^0,X^2[-1]) + \Hom_{K(\cat{A})}(X^1,X^3[-1]) d^0.
\end{equation*}
% vgl. massey-a.tex!

Um das zu zeigen, beweisen wir gleich die stärkere Aussage, dass die klassische
Definition~\ref{mpc:def} wie eingangs behauptet mit der
allgemeinen~(Def.~\ref{mpb:def}) übereinstimmt.

\begin{prop}Es gilt~$\masseyc{d^0,d^1,d^2} = \masseyb{d^0,d^1,d^2}$, wobei
das Massey-Produkt auf der rechten Seite über der triangulierten
Kategorie~$K(\cat{A})$ genommen wird und die linke Seite, die eigentlich eine
Teilklasse von~$\Hom_{\Kom(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$ ist, als Teilklasse
von~$\Hom_{K(\cat{A})}(X^0,X^3[-1])$ augefasst werden muss.\end{prop}
\begin{proof}Wir zeigen die wegen Prop.~\ref{mpb:uebalt} äquivalente
Aussage~$\masseyc{d^0,d^1,d^2} = -\masseya{d^0,d^1,d^2}$.

\proofpart{\subseteq}
Sei~$f := d^2[-1]u - vd^0 \in \masseyc{d^0,d^1,d^2}$ beliebig; um zu zeigen,
dass~$-f$ in~$\masseya{d^0,d^1,d^2}$ liegt, müssen wir ein kommutatives Diagramm
wie~\eqref{mpa:def:diag} konstruieren.
Als Kegel~$Y$ von~$X^1 \xra{d^1} X^2$ wählen wir die kanonische Konstruktion $Y
:= X^1[1] \oplus X^2$ mit Differential
\[
  d_Y := \begin{pmatrix}
    -d_{X^1}[1] & 0 \\
    d^1[1]      & d_{X^2}
  \end{pmatrix}\!,
\]
dann ist das Dreieck
\[ X^1 \xra{d^1} X^2 \xra{\overline{\pi}} Y \xra{\delta} X^1[1] \]
mit~$\overline{\pi} = \left(\begin{smallmatrix}0 \\
\id_{X^2}\end{smallmatrix}\right)$ und~$\delta =
\left(\begin{smallmatrix}\id_{X^1[1]} & 0\end{smallmatrix}\right)$ ausgezeichnet.

Dann müssen wir noch Morphismen~$Y \xra{p} X^3$ und~$X^0 \xra{q} Y[-1]$ derart
definieren, dass in~$K(\cat{A})$ gilt:
%\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $p \overline{\pi} = d^2$
\item $\delta[-1] q = d^0$
\item $f = -(p[-1]q)$
\end{enumerate}
%\end{multicols}

Auf eine Idee für~$p$ und~$q$ kommt man, wenn man~$-f$ künstlich als Komposition
zweier Morphismen schreibt:
\[
  -f = vd^0 - d^2[-1]u =
  \begin{pmatrix}v & d^2[-1]\end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}d^0 \\ -u\end{pmatrix}
\]
Auf diese Weise wird man zu den Wahlen~$p := \left(\begin{smallmatrix}v[1] &
d^2\end{smallmatrix}\right)$ und~$q := \left(\begin{smallmatrix}d^0 \\
-u\end{smallmatrix}\right)$ geleitet; dass diese die Bedingungen~1.,~2. und~3.
erfüllen, kann man schnell nachrechnen.

Da aber~$u$ und~$v$ nicht notwendigerweise Morphismen von Komplexen sind, ist
nicht sofort klar, dass~$p$ und~$q$ auch wirklich Komplexabbildungen sind, das
müssen wir also noch zeigen:
\begin{align*}
  \partial p &= d_{X^3} p - p[1] d_Y
  =
  d_{X^3} \begin{pmatrix}v[1] & d^2\end{pmatrix} -
  \begin{pmatrix}v[2] & d^2[1]\end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    -d_{X^1}[1] & 0 \\
    d^1[1]      & d_{X^2}
  \end{pmatrix} \\
  &=
  \begin{pmatrix}
    d_{X^3}v[1] + v[2]d_{X^1}[1] - (d^2d^1)[1] &
    d_{X^3}d^2 - d^2[1]d_{X^2}
  \end{pmatrix} \\
  &=
  \begin{pmatrix}
    (\partial v)[1] - (d^2d^1)[1] &
    \partial d^2
  \end{pmatrix}
  = 0 \\\\
  \partial q &= d_{Y[-1]}q - q[1]d_{X^0}
  =
  \begin{pmatrix}
    d_{X^1} & 0 \\
    -d^1    & -d_{X^2}[-1]
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}d^0 \\ -u\end{pmatrix} -
  \begin{pmatrix}d^0[1] \\ -u[1]\end{pmatrix} d_{X^0} \\
  &=
  \begin{pmatrix}
    d_{X^1}d^0 - d^0[1] d_{X^0} \\
    -d^1d^0 + d_{X^2}[-1]u + u[1]d_{X^0}
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \partial d^0 \\
    -d^1d^0 + \partial u
  \end{pmatrix}
  = 0
\end{align*}

Das schließt den Beweis der Behauptung~$-f \in \masseya{d^0,d^1,d^2}$ ab.

\proofpart{\supseteq}
Sei ein beliebiges Element~$f \in -\masseya{d^0,d^1,d^2}$ gegeben. Für ein
festes~$f_0 \in \masseyc{d^0,d^1,d^2} \subseteq -\masseya{d^0,d^1,d^2}$~(Existenz
gesichert) gilt~$\masseya{d^0,d^1,d^2} = -f_0 + A$, daher gilt~$f = f_0 - a$ für
ein~$a \in A$.

Sei~$f_0 = d^2[-1]u_0 - v_0d^0$ mit~$d^1d^0 = \partial u_0$ und~$d^2d^1 =
\partial v_0$ und~$a = d^2[-1]g + hd^0$ für gewisse~$X^0 \xra{g} X^2[-1]$
und~$X^1 \xra{h} X^3[-1]$.

Dann ist~$f = f_0 - a = d^2[-1](u_0 - g) - (v_0 + h)d^0$, und
wegen~$\partial(u_0-g) = \partial u_0 - \partial g = d^1d^0 - 0$
und~$\partial(v_0 + h) = d^2d^1$ ist damit klar, dass~$f$
in~$\masseyc{d^0,d^1,d^2}$ liegt.
\end{proof}


\subsubsection{Der allgemeine Fall von Komplexen beliebiger endlicher Länge}

In diesem Abschnitt wollen wir folgende Proposition zeigen:

\begin{prop}
Sei $n \geq 3$ und~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} \cdots \xra{d^{n-1}} X^n$ ein beliebiges
Diagramm über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist. Dann
gilt
\[ \masseyc{d^0,\ldots,d^{n-1}} = (-1)^{v_n} \masseyb{d^0,\ldots,d^{n-1}}, \]
wobei wie in der vorhergehenden Proposition das Massey-Produkt auf der rechten
Seite über der triangulierten Kategorie~$K(\cat{A})$ genommen wird und die
linke Seite als Teilklasse von~$\Hom_{K(\cat{A})}(X^0,X^xxx[-1])$\XXX{...}
aufgefasst werden muss.

Das Vorzeichen beginnt mit~$v_3 = 1$ und
alterniert dann in Zweierschritten, d.h. es gilt~$v_4 = v_5 = -1$, $v_6 = v_7 =
1$, $\ldots$
\end{prop}

\begin{proof}
\proofpart{\subseteq}
Wir wollen den Beweis durch Induktion über~$n$ führen, wobei der
Induktionsanfang~$n = 3$ Gegenstand des vorhergehenden Abschnitts war. Wir
schließen nun von~$n$ auf~$n + 1$.

Sei also ein Diagramm~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} \cdots \xra{d^{n-1}} X^n$
über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist, und ferner ein
Element~$f = \masseyc{d^0,\ldots,d^{(n+1)-1}}$ beliebig gegeben. 

Folglich gibt es definierendes System~$M = (a_{ij})_{ij}$ für~$X^\bullet$
mit~$f = L(0,(n+1)-1)$. Dieses können wir wie in der
Hilfsaussage~\ref{mpc:hilfsaussage} zu einem definierenden System~$\tilde M$
von~$X^{\geq 1}$ abschneiden und erhalten nach Induktionsvoraussetzung ein
Massey-Produkt-Diagramm
\begin{diagram}
  X^1 & \rTo^{d^1} & X^2 & \rTo^{d^2} & \cdots & \rTo^{d^{n-1}} & X^n & \rTo^{d^n} & X^{n+1} \\
  & \rdTo(4,2)^{\tilde q}_{[2-n]} && \luTo(2,2)_{\hat{\tilde\alpha}}^{[n-2]} &&
  \ldTo(2,2)^{\hat{\tilde\beta}} && \ruTo(4,2)_{\tilde p} \\
  &&&& \hat{\tilde T}
\end{diagram}
und ein zur Faltung~$\tilde T =: Y_1[-n+1]$ von~$X^2 \to \cdots \to X^n$
gehöriges Rechts-Postnikov-System
\begin{diagram}
  & X^2[n-2] & \rTo_{[1]} & X^3[n-3] & \rTo_{[1]} & X^4[n-4] & \rTo & \cdots &
  \rTo & X^n \\
  \ruTo(1,2)_{[1]} & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2)_{[1]} & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2)_{[1]} &&&& \ruTo(1,2)_{\id}^{[1]} \\
  Y_1 & \lTo_{h_2} & Y_2 & \lTo_{h_3} & Y_3 & \lTo & \cdots & \lTo & X^n[1]
\end{diagram}
mit assoziierten Morphismen~$Y_1[-n+1] \xra{\tilde\alpha} X^2$ und~$X^n[-(n-2)]
\xra{\tilde\beta} Y_1[-n+1]$; dabei gilt~$\tilde p[2-n] \tilde q = (-1)^{v_n}
L_{\tilde M}(0,n-1)$.

Um weiter unten die Notation zu vereinfachen, führen wir noch die
Schreibweise~$p_1 := \tilde p$ ein.

Wir ergänzen nun dieses Postnikov-System links zu einem von~$X^1 \to \cdots \to
X^n$:
\begin{diagram}
  & X^1[n-1] & \rTo_{[1]}
  & X^2[n-2] & \rTo_{[1]} & X^3[n-3] & \rTo_{[1]} & X^4[n-4] & \rTo & \cdots &
  \rTo & X^n \\
  \ruTo(1,2)_{[1]} & \star & \rdTo(1,2)^{\tilde q[n-1]}
  \ruTo(1,2)_{[1]} & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2)_{[1]} & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2)_{[1]} &&&& \ruTo(1,2)_{\id}^{[1]} \\
  Y_0 & \lTo_{h_1} &
  Y_1 & \lTo_{h_2} & Y_2 & \lTo_{h_3} & Y_3 & \lTo & \cdots & \lTo & X^n[1]
\end{diagram}
Dabei wählen wir~$Y_0$ über die kanonische Kegelkonstruktion in~$K(\cat{A})$,
d.h. wir setzen~$Y_0 := X^1[n] \oplus Y_1$ mit Differential
\[
  d_{Y_0} := \begin{pmatrix}
    d_{X^1}[n]  & 0 \\
    \tilde q[n] & d_{Y_1}
  \end{pmatrix}
\]
und~$h_0 := \left(\begin{smallmatrix}0 \\ id_{Y_1}\end{smallmatrix}\right)$.

Die Faltung dieses ergänzten Systems ist dann~$Y_0[-n]$ und die assoziierten
Morphismen sind~$Y_0[-n] \xra{\alpha} X^1$ und~$X^n[-(n-1)] \xra{\beta}
Y_0[-n]$ mit~$\alpha = \left(\begin{smallmatrix}\id_{X^1} &
0\end{smallmatrix}\right)$ und~$\beta = \left(\begin{smallmatrix}0 \\
\tilde\beta[-1]\end{smallmatrix}\right)$.

Es bleibt, Morphismen~$Y_0[-1] \xra{p} X^{n+1}$ und~$X^0 \xra{q} Y_0[-n]$ zu
definieren, die dann ein Massey-Produkt-Diagramm von~$X^0 \to \cdots \to
X^{n+1}$ mit~$p[2-(n+1)] q = (-1)^{v_{n+1}} f$ ergeben.

\emph{Definition von~$p$.} Die Setzung
\[ p := \begin{pmatrix} -(-1)^{v_n} a_{1n}[n-1] & \tilde p \end{pmatrix} \]
erfüllt alle Kommutativitätsanforderungen:
\begin{align*}
  \partial p &=
  d_{X^{n+1}} p - p[1] d_{Y_0[-1]} \\
  &= d_{X^{n+1}} \begin{pmatrix}-(-1)^{v_n} a_{1n}[n-1] & \tilde p\end{pmatrix} +
    \begin{pmatrix}-(-1)^{v_n} a_{1n}[n] & \tilde p[1]\end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}d_{X^1[n]}[-1] & 0 \\ \tilde q[n-1] & d_{Y_1}[-1]\end{pmatrix} \\
  &= \begin{pmatrix}-(-1)^{v_n} (\partial a_{1n})[n-1] + (\tilde p[2-n] \tilde q)[n-1] & 0\end{pmatrix} \\
  &\stackrel{\text{IV}}{=}
    \begin{pmatrix}(-(-1)^{v_n} L_M(1,n) + (-1)^{v_n} L_M(1,n))[n-1] &
    0\end{pmatrix} \\
  \\
  p \hat\beta &=
  p \beta[n-1] = \tilde p \tilde\beta[n-2] \stackrel{\text{IV}}{=} d^n
\end{align*}

\emph{Definition von~$q$.} Hierfür ist mehr Vorarbeit nötig.

Zunächst lässt sich ein Morphismus~$\xra{g_1} \in
\iHom^0(X^1[n],Y_0)$ durch~$g_1 := \left(\begin{smallmatrix}id_{X^1[n]} \\
0\end{smallmatrix}\right)$ definieren. Nimmt man diese Konstruktion in die
Induktionsvoraussetzung mit auf, kann man die Existenz analog
definierter~$g_{r+1} \in \iHom^0(X^{r+1}[n-r],Y_r)$ für~$r = 1,\ldots,n-2$
sichern.

Unter der Schreibweise~$p_0 := P$ gilt dabei $p_0[1] g_1 = -(-1)^{v_n}
a_{1n}[n]$; nimmt man diese Gleichheit in die Induktionsvoraussetzung auf,
erhält man analog~$p_r[1] g_{r+1} = -(-1)^{v_{n-r}} a_{r+1,n}[n-r]$, wobei wir
für~$r = 1, \ldots, n - 2$ mit~$p_r$ den Morphismus~$Y_r[-1] \to X^{n+1}$
zurückliegender Induktionsschritte bezeichnen.

Wegen~$p_0[1] h_1 = \tilde p[1] = p_1[1]$ kann man dabei induktiv die Identität
$p_r[1] h_{r+1} = p_{r+1}[1]$
folgern.

Mit diesen Bezeichnungen kann man nun den Morphismus~$q$ definieren:
\[ q := \begin{pmatrix}d^0 \\ (-1)^{v_{n+1}} \tilde\beta[-1] a_{0,n-1} +
A\end{pmatrix}\!, \]
mit~$A \in \iHom(X^0,Y[-n])$ wie folgt:
\[ A :=
  \sum_{r=1}^{n-2}
    (-1)^{n-r} (-1)^{v_{n-r}}
    (h_2 h_3 \cdots h_r g_{r+1})[-n] a_{0r}
\]

Die Kommutativitätsforderung
\[ \alpha q = \begin{pmatrix}\id_{X^1} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}d^0 \\
(-1)^{v_{n+1}} \tilde\beta[-1] a_{0,n-1} +
A\end{pmatrix} = d^0 \]
ist damit schnell nachgewiesen; der Nachweis, dass~$q$ in der Tat eine
Komplexabbildung ist, soll hier aber nicht ausgeführt werden.

\emph{Berechnung der Komposition~$p[1-n]q$:}
Essentiell zur Überprüfung der Vorzeichenwahl ist jedoch, dass wir detailliert
die Identität
\[ p[1-n] q = (-1)^{v_{n+1}} L_M(0,n), \]
die den Beweis des Induktionsschritt abschließt, nachrechnen.

Die rechte Seite ist dabei einfach
\begin{equation}\label{mpc:summe}
  (-1)^{v_{n+1}} L_M(0,n) =
  \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^{v_{n+1}} (-1)^{n-1-r} a_{r+1,n}[-r] a_{0r},
\end{equation}
die linke ergibt sich als
\begin{align*}
  p[1-n] q &=
  \begin{pmatrix}-(-1)^{v_n} a_{1n} & \tilde p[1-n]\end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}d^0 \\ (-1)^{v_{n+1}} \tilde\beta[-1] a_{0,n-1} + A\end{pmatrix} \\
  &=
  -(-1)^{v_n} a_{1n} d^0 + (-1)^{v_{n+1}} \tilde p[1-n] \tilde\beta[-1] a_{0,n-1} +
  \tilde p[1-n] A.
\end{align*}
Der erste Summand ist wegen~$(-1)^{v_{n+1}} = (-1)^n (-1)^{v_n}$ und~$d^0 =
a_{00}$ auch der erste Summand in der Summe~\ref{mpc:summe}, und der zweite
Summand ist wegen~$\tilde p[1-n] \tilde\beta[-1] = (\tilde p
\tilde\beta[n-2])[1-n] \stackrel{\text{IV}}{=} d^n[1-n] = a_{nn}[1-n]$ der
Summand mit~$r = n - 1$ in~\ref{mpc:summe}. Nutzt man die weiter oben
hergeleiteten Identitäten, kann man schließlich nachrechnen, dass die
restlichen Terme genau durch~$\tilde p[1-n] A$ geliefert werden:
\begin{align*}
  \tilde p[1-n] A &=
  \sum_{r=1}^{n-2}
    (-1)^{n-r} (-1)^{v_{n-r}}
    \tilde p[1-n] (h_2 h_3 \cdots h_r g_{r+1})[-n] a_{0r} \\
  &=
  \sum_{r=1}^{n-2}
    (-1)^{n-r} (-1)^{v_{n-r}}
    (p_r[1] g_{r+1})[-n] a_{0r} \\
  &=
  \sum_{r=1}^{n-2}
    (-1)^{n-r} (-1)^{v_{n-r}}
    (-1) (-1)^{v_{n-r}} a_{r+1,n}[n-r][-n] a_{0r} \\
  &=
  \sum_{r=1}^{n-2}
    (-1)^{n-r-1} a_{r+1,n}[-r] a_{0r}
\end{align*}

Damit ist der Induktionsbeweis abgeschlossen.

\proofpart{\supseteq} Die umgekehrte Inklusion wollen wir nur skizzieren.

Sei~$n \geq 3$ beliebig, ein Diagramm~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0} \cdots
\xra{d^{n-1}} X^n$ über~$\Kom(\cat{A})$, das über~$K(\cat{A})$ ein Komplex ist,
und ferner ein Element~$f = (-1)^{v_n} p[2-n] q \in (-1)^{v_n}
\masseyb{d^0,\ldots,d^{n-1}}$ gegeben.

Von den Kegeln des Rechts-Postnikov-Systems des zugehörigen
Mas\-sey-Pro\-dukt-Dia\-gramms kann man nicht erwarten, dass sie durch die
Standardkonstruktion gegeben sind. Man kann jedoch sukzessive von rechts nach
links die Kegel durch die kanonischen Kegel ersetzen; dabei muss man die
Morphismen der ausgezeichneten Dreiecke geeignet durch Isomorphismen abändern.

Bei diesem Verfahren ändern sich zwar die Pfeile~$p$ und~$q$, nicht aber die
Komposition~$p[2-n]q$. Aus dem auf Standardform gebrachten Postnikov-System und
den (veränderten) Pfeilen~$p$ und~$q$ kann man dann, an genau den Stellen, wie
sie der obige Induktionsbeweis platziert, ein definierendes System~$M$
für~$X^\bullet$ ablesen.

Die Übereinstimmung von~$f$ mit dem Massey-Produkt zu~$M$ ist dann klar.
\end{proof}
