\section{Postnikov-Systeme}

In diesem Abschnitt wollen wir die Notation für Postnikov-Systeme in
triangulierten Kategorien fixieren. Wir folgen~\citep[Kap.~IV.2]{methods}.

Sei~$\cat{D}$ eine triangulierte Kategorie und~$X^\bullet{:}\, X^0 \xra{d^0}
X^1 \xra{d^1} X^2 \to \cdots \to X^n$ ein Komplex über~$\cat{D}$, d.h. es
gelte~$d^{i+1} d^i = 0$ für $i = 0, \ldots, n - 2$.
Den Verschiebungsfunktor auf~$\cat{D}$ schreiben wir als~$X \mapsto X[1]$.

\begin{defn}Ein \emph{Rechts-Postnikov-System} von~$X^\bullet$ ist ein Diagramm
in~$\cat{D}$ der Form
\begin{diagram}
  & X^0[n] & \rTo^{d^0[n]}_{[1]} & X^1[n-1] & \rTo^{d^1[n-1]}_{[1]} & X^2[n-2]
  & \rTo_{[1]} & \cdots &
  \rTo_{[1]} & X^{n-1}[1] & \rTo^{d^{n-1}[1]}_{[1]} & X^n \\
  \ruTo(1,2)^{[1]} & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2)^{[1]} & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2)^{[1]} &&&&
  \ruTo(1,2)^{[1]} & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2)_{\id}^{[1]} \\
  Y^0 & \lTo & Y^1 & \lTo & Y^2 & \lTo & \cdots & \lTo & Y^{n-1} & \lTo & Y^n
\end{diagram}
mit~$Y^n = X^n[1]$ und so, dass die aufrechten Dreiecke ausgezeichnete Dreiecke
sind und die restlichen Dreiecke kommutieren. Das Objekt~$Y^0[-n-1]$
heißt \emph{(Rechts-)Faltung des Postnikov-Systems} und auch \emph{(Rechts-)Faltung
von~$X^\bullet$}.
\end{defn}

Die Schreibweise~$A \overset{f}{\underset{[k]}{\rightarrow}} B$ soll bedeuten,
dass~$f$ ein Morphismus von~$A$ nach~$B[k]$ ist.

Faltungen sind im Allgemeinen nicht eindeutig, auch nicht bis auf Isomorphie;
auch besitzt im Allgemeinen nicht jeder Komplex Faltungen~\citep{orlov}.

Analog kann man Links-Postnikov-Systeme definieren:

\begin{defn}Ein \emph{Links-Postnikov-System} von~$X^\bullet$ ist ein Diagramm
in~$\cat{D}$ der Form
\begin{diagram}
  X^0 & \rTo^{d^0} & X^1 & \rTo^{d^1} & X^2 & \rTo & \cdots & \rTo & X^{n-1} &
  \rTo^{d^{n-1}} & X^n \\
  & \rdTo(1,2)^{\id} \ruTo(1,2) & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2) & \star & \rdTo(1,2)
  &&&&
  \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2) & \star & \rdTo(1,2)
  \ruTo(1,2) \\
  & Z^0 & \lTo_{[1]} & Z^1 & \lTo_{[1]} & Z^2 & \lTo_{[1]} & \cdots & \lTo_{[1]} & Z^{n-1} & \lTo_{[1]} & Z^n
\end{diagram}
mit~$Z^0 = X^0$ und so, dass die aufrechten Dreiecke ausgezeichnete Dreiecke
sind und die restlichen Dreiecke kommutieren. Das Objekt~$Z^n[-n]$
heißt \emph{(Links-)Faltung des Postnikov-Systems} und auch \emph{(Links-)Faltung
von~$X^\bullet$}.
\end{defn}

Dabei gilt folgende Proposition:

\begin{prop}Die Klasse der Rechts-Faltungen von~$X^\bullet$ stimmt mit der der
Links-Faltungen von~$X^\bullet$ überein.
\end{prop}

Faltungen~$T$ von~$X^\bullet$ kommen mit zwei \emph{assoziierte Morphismen}
\[
  T \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} X^0 \quad\text{und}\quad
  X^n[-n] \stackrel{\beta}{\longrightarrow} T.
\]
