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\title{Triangulierte Kategorien, Massey-Produkte und der projektive Raum}
\author{Ingo Blechschmidt}
\date{7. Dezember 2010}

\begin{document}

\vskip 2em
\begin{center}%
  {\large
  Arbeitsgemeinschaft Algebra und Zahlentheorie}%
  \vskip 1em
  {\LARGE Triangulierte Kategorien, \\ Massey-Produkte und der projektive Raum \par}%
  \vskip 1.5em%
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      Ingo Blechschmidt
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  {\large 7. Dezember 2010 \par}%       % Set date in \large size.
\end{center}\par
\par\vskip 1.5em

\section*{Das klassische Massey-Produkt}

Sei~$R$ ein Ring und seien~$x, y, z \in R$
Ringelemente. Ferner gelte
\[ xy = 0 \text{ und } yz = 0. \]
Dann folgt, dass auch das dreifache Produkt
\[ xyz \]
verschwindet, anschaulich aus zwei Gründen: Zum einen, weil~$xyz = (xy)z = 0
\cdot z = 0$, zum anderen, weil~$xyz = x(yz) = x \cdot 0 = 0$.

Diese Gründe sind aber in diesem Kontext nur Gegenstände der Anschauung, nicht
formale Objekte einer mathematischen Theorie. Im Folgenden definieren wir
Ko\-ket\-ten\-kom\-ple\-xe, mit denen man Gründe dieser Art sauber fassen kann, und
führen dann das Massey-Produkt ein, welches den Unterschied zwischen diesen
Gründen messen wird.

\paragraph{Definition.} Ein \emph{Kokettenkomplex} über einer abelschen
Kategorie~$\cat{A}$ (beispielsweise der Kategorie der~$\mathbb{R}$-Vektorräume)
ist ein Diagramm der Form
\[
  C^\bullet{:}\ 
  \cdots \xra{d^{n-2}}
  C^{n-1} \xra{d^{n-1}}
  C^n \xra{{}^{\phantom{1}}d^{n\phantom{+}}}
  C^{n+1} \xra{d^{n+1}}
  \cdots,
\]
mit~$d^i \circ d^{i-1} = 0$ für alle~$i \in \mathbb{Z}$, wobei die~$C^i$
Objekte von~$\cat{A}$ (also beispielsweise~$\mathbb{R}$-Vektorräume) und
die~$d^i$ Morphismen zwischen den Objekten (also~$\mathbb{R}$-lineare
Abbildungen) sind.

Elemente aus~$\Kern d^n \subseteq C^n$ heißen \emph{geschlossen} (vom Grad~$n$),
Elemente aus~$\Bild d^{n-1} \subseteq C^n$ \emph{exakt} (vom Grad~$n$).

\paragraph{Eine notwendige Bedigung für Exaktheit.}
Notwendig dafür, dass ein Element~$x \in C^n$ exakt ist, ist, dass es
geschlossen ist: Denn ist~$x$ exakt, gilt also $x = d^{n-1}(s)$ für ein~$s \in
C^{n-1}$, so folgt~$d^n(x) = d^n(d^{n-1}(s)) = 0$.

Diese Bedingung ist im Allgemeinen aber nicht hinreichend. Den Grad des
Versagens misst die Kohomologie:

\paragraph{Definition.} Die~$n$-te Kohomologie eines
Kokettenkomplexes~$C^\bullet$ ist der Quotient
\[ H^n(C^\bullet) := \Kern d^n / \Bild d^{n-1}. \]

Die $n$-te Kohomologie ist genau dann null, wenn~$\Bild d^{n-1} = \Kern d^n$,
d.\,h. wenn jedes geschlossene Element auch exakt ist, also wenn die
hergeleitete notwendige Bedingung in der Tat hinreichend ist.

\paragraph{Das Massey-Produkt.} Wir wollen nun die Rechnung des Anfangs im Kontext
von Kokettenkomplexen wiederholen. Sei dazu ein Kokettenkomplex~$C^\bullet$
gegeben, auf dem noch ein Produkt definiert ist, d.\,h. der mit Produktabbildungen
\[ {\cdot}{:}\, C^i \otimes_{\cat{A}} C^j \longrightarrow C^{i+j} \]
kommt, die für $s \in C^i$, $t \in C^j$ eine graduierte Variante der
Leibnizregel erfüllen:
\[ d^{i+j}(st) = d^i(s) \, t + (-1)^i s \, d^j(t). \]
Seien weiter Elemente~$[x] \in H^k(C^\bullet)$, $[y] \in H^\ell(C^\bullet)$
und~$[z] \in H^m(C^\bullet)$
gegeben, und es gelte~$[x] [y] = 0 \in H^{k+\ell}(C^\bullet)$ und~$[y] [z] = 0 \in
H^{\ell+m}(C^\bullet)$.

Somit folgt, dass die Produkte~$xy$ und~$yz$ exakt sind, dass es also
Elemente~$u \in C^{k+\ell-1}$ und~$v \in C^{\ell+m-1}$ mit
\[ xy = d^{k+\ell-1}(u) \text{ und } yz = d^{\ell+m-1}(v) \]
gibt. Die Elemente~$u$ und~$v$ interpretieren wir als \emph{Gründe} für das
Verschwinden von~$[x][y]$ bzw.~$[y][z]$ in der Kohomologie.

Wie in der Rechnung oben folgt nun weiter, dass auch das Dreifachprodukt~$[x]
[y] [z] \in H^{k+\ell+m}(C^\bullet)$ null ist. Die beiden Gründe können wir
aber dieses Mal explizit angeben:
\begin{align*}
  d((-1)^k xv) &= (-1)^k \, (d(x) \, v + (-1)^{k\phantom{+\ell-1}} x \, d(v)) = xyz, \\
  d(uz) &= \phantom{(-1)^k} \, \phantom{(}d(u) \, z + (-1)^{k+\ell-1} u \, d(z)\phantom{)} = xyz.
\end{align*}
Das \emph{Massey-Produkt} ist nun definiert als die Differenz
\[ \massey{[x],[y],[z]} := [uz - (-1)^k xv] \in H^{k+\ell+m-1}. \]

\paragraph{Bemerkungen.} Da man Freiheiten in den Wahlen von~$u$ und~$v$ hat,
ist das Massey-Produkt wie angegeben nicht
wohldefiniert, auch nicht auf Niveau der Kohomologie. Es ist aber wohldefiniert
bis auf Elemente aus
\[ [x] H^{\ell+m-1}(C^\bullet) + H^{k+\ell-1}(C^\bullet) [z]. \]

Wir sehen, dass das Massey-Produkt eine \emph{Kohomologieoperation dritter
Ordnung} ist. Die Definition lässt sich von drei auf~$n$ Eingabeelemente
erweitern, womit wir dann allgemeiner eine Operation~$n$-ter Ordnung erhalten.


\section*{Die Bernstein-Gelfand-Gelfand-Korrespondenz}

Sei~$E$ ein~$(n+1)$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper~$k$
mit von zwei verschiedener Charakteristik. Sei~$S^\star E$ die symmetrische
Algebra über~$E$ und $X := \mathbb{P}E = \Proj S^\star E$ der
projektive Raum zu~$E$ mit Strukturgarbe~$\OO_X$. Die Konvention sei also so,
dass~$\Gamma(X, \OO_X(1)) \cong E$.

\paragraph{Terminologie.}
Sei~$\Lambda := \Lambda^\star E^\vee = \oplus_{k=0}^{n+1} \Lambda^{k+1}E^\vee$
die äußere Algebra des Dualraums von~$E$. Sei~$\cat{M}^b(\Lambda)$
die Kategorie der endlich erzeugten graduierten~$\Lambda$-Moduln und
graderhaltenden~$\Lambda$-linearen Abbildungen.

Sei~$\cat{F} \subseteq \Mor \cat{M}^b(\Lambda)$ die Klasse derjenigen
Morphismen, die über freie Moduln faktorisieren. Eine Abbildung~$V \xra{f} W$
liegt also genau dann in~$\cat{F}$, wenn es einen freien~$\Lambda$-Modul~$F$
und Abbildungen~$V \to F$, $F \to W$ derart gibt, dass das Diagramm
\begin{diagram}
  V &\rTo^f& W \\
  & \rdTo(1,2) \ruTo(1,2) \\
  & F &
\end{diagram}
kommutiert.

Weiter definieren wir die Quotientenkategorie~$\cat{M}^b(\Lambda)/\cat{F}$;
Objekte sind Objekte aus~$\cat{M}^b(\Lambda)$, Morphismen sind
Äquivalenzklassen von Morphismen aus~$\cat{M}^b(\Lambda)$, wobei wir zwei
Pfeile genau dann als äquivalent bezeichnen wollen, wenn ihre Differenz
in~$\cat{F}$ liegt. (Man muss sich überlegen, dass das wohldefiniert ist.)

\paragraph{Die Korrespondenz.}
Die Bernstein-Gelfand-Gelfand-Korrespondenz ist nun eine triangulierte
Äquivalenz zwischen der derivierten Kategorie~$\cat{D}^b(\Qcoh(X))$
beschränkter Komplexe quasi-kohärenter~$\OO_X$-Moduln und der
Kategorie~$\cat{M}^b(\Lambda)/\cat{F}$.

Der zugehörige Funktor~$\cat{M}^b(\Lambda)/\cat{F} \longrightarrow
\cat{D}^b(\Qcoh(X))$ sieht dabei auf Objekten wie folgt aus:

Zu einem endlich erzeugten graduierten~$\Lambda$-Modul
\[ V = \oplus_{i \in \mathbb{Z}} V^i \]
assoziieren wir den \emph{rigiden Komplex}
\[ \cdots \longrightarrow V^{i-1} \otimes_k \OO(i-1) \longrightarrow V^i
\otimes_k \OO(i) \longrightarrow V^{i+1} \otimes_k \OO(i+1) \longrightarrow
\cdots. \]

Zur Konstruktion des Differentials beobachten wir, dass wir im~$k$-Vektorraum
\[ \Hom_k(V^i \otimes E^\vee, V^{i+1}) \]
ein kanonisches Element besitzen, nämlich eine Einschränkung der durch
die~$\Lambda$-Modulstruktur gegebene Multiplikation. Über die
Isomorphismenkette
\begin{align*}
  \Hom_k(V^i \otimes E^\vee, V^{i+1}) &\cong
  \Hom_k(V^i, \Hom_k(E^\vee, V^{i+1})) \\
  &\cong
  \Hom_k(V^i, (E^\vee)^\vee \otimes_k V^{i+1}) \\
  &\cong
  \Hom_k(V^i, V^{i+1} \otimes_k E)
\end{align*}
erhalten wir eine Abbildung~$V^i \longrightarrow V^{i+1} \otimes E$.

Diese induziert einen Morphismus
\[ V^i \otimes_k \OO \longrightarrow V^{i+1} \otimes_k \OO(1) \]
von~$\OO_X$-Moduln, der nach Tensorieren mit~$\OO(i)$ und Ausnutzen des
Isomorphismus~$(V^{i+1} \otimes_k \OO(1)) \otimes_\OO \OO(i) \cong V^{i+1}
\otimes_k \OO(i+1)$ das gesuchte Differential an der Stelle~$i$ gibt.

Wählt man eine Basis~$E = \spann{k}{x_0,\ldots,x_n}$ von~$E$ mit zugehöriger
Dualbasis~$E^\vee = \spann{k}{\xi_0,\ldots,\xi_n}$, lässt sich das Differential
explizit wie folgt schreiben:
\[ x \otimes s \longmapsto \sum_{i=0}^n \xi_i x \otimes x_i s \]

Für die andere Richtung der Korrespondenz verweisen wir
auf~\citep[Kap.~IV.3]{methods}.

\nocite{kraines,oneill,methods,bgg}
\printbibliography

\end{document}
