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\title{Der K-Theorie-Funktor}
\author{Ingo Blechschmidt}
%\subtitle{Vektorbündel, K-Theorie und \\ charakteristische Klassen}
\date{Vektorbündel, K-Theorie und \\ charakteristische Klassen \\ \ \\ 16. November 2010}
%\abstract{

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\begin{document}

\frame{\titlepage}

\section{Vorarbeit}
\frame[t]{
  \frametitle{Allgemeinere Vektorbündel}
  \textbf{Definition:}
  Ein komplexes Vektorbündel über einem Raum~$X$ ist eine stetige
  Abbildung
  \[ \begin{CD}
    E @>\pi>> X
  \end{CD} \]
  zusammen mit~$\mathds{C}$-Vektorraumstrukturen auf den Fasern~$\pi^{-1}[x]$ derart,
  dass lokale Trivialisierungen existieren:
  \vfill

  Es gibt eine offene Überdeckung~$(U_\alpha)_\alpha$ von~$X$ und
  Homöomorphismen~$\pi^{-1}[U_\alpha] \xrightarrow{h_\alpha} U_\alpha \times
  \mathds{C}^{n_\alpha}$, die eingeschränkt
  \[ \begin{CD} \pi^{-1}[x] @>h_\alpha>> \{ x \} \times \mathds{C}^{n_\alpha} \end{CD} \]
  lineare Isomorphismen sind.
}

\frame[t]{
  \frametitle{Äquivalenzrelationen}

  Seien~$E$ und~$E'$ Vektorbündel über~$X$.
  \vfill

  Sei~$E \cong_s E'$ genau dann, wenn
  \[
    E \oplus \varepsilon^n \cong E' \oplus \varepsilon^n
    \text{ für ein~$n \geq 0$.\phantom{, $m \geq 0$}}
  \]
  \vfill

  Sei~$E \sim E'$ genau dann, wenn
  \[
    E \oplus \varepsilon^n \cong E' \oplus \varepsilon^m
    \text{ für ein~$n \geq 0$, $m \geq 0$.}
  \]
  \vfill

  \textbf{Prop.:} Die Operation der direkten Summe ist auf
  Äquivalenzklassen beider Art wohldefiniert, kommutativ, assoziativ
  und hat~$\varepsilon^0$ als neutrales Element.
}

\section{Grundlagen}
\frame[t]{
  \frametitle{Der Funktor~$\TK$}

  Für beliebige Räume~$X$ definiere den abelschen Monoid
  \[ \TK(X) := (\text{Klasse der Vektorbündel über~$X$})/{\sim}. \]
  \vfill

  Für beliebige stetige Abbildungen
  \[ \begin{CD} X @>f>> Y \end{CD} \]
  definiere den Monoidhomomorphismus
  \[ \begin{array}{@{}rcl@{}}
    \TK(Y) & \stackrel{\TK(f)}{\longrightarrow} & \TK(X) \\
    {}[E] & \longmapsto & [f^\star E].
  \end{array} \]
}

\frame[t]{
  \frametitle{Algebraische Invarianz}

  \textbf{Proposition:}
  \vspace{1em}

  Sei
  \[ \begin{CD} X @>f>> Y \end{CD} \]
  eine Homotopieäquivalenz quasikompakter Räume.
  \vfill

  Dann ist
  \[ \begin{CD} \TK(Y) @>\TK(f)>> \TK(X) \end{CD} \]
  ein Isomorphismus von Monoiden.
  \vfill
  \vfill
}

\frame[t]{
  \frametitle{Negative}

  \textbf{Proposition:}
  \vspace{1em}

  Sei~$X$ kompakt und hausdorffsch. Dann ist $\TK(X)$
  sogar eine abelsche Gruppe.
  \vfill

  \textbf{Proposition:}
  \vspace{1em}

  Sei~$X$ kompakt und hausdorffsch. Dann erfüllt die
  Operation der direkten Summe zumindest noch folgende Kürzungsregel:
  \[
    E \oplus F \ \cong_s\  E \oplus F'
    \quad\Rightarrow\quad
    F \ \cong_s\  F'
  \]
}

\frame[t]{
  \frametitle{Der Funktor~$K$}

  Für kompakte Hausdorffräume~$X$ definiere die abelsche Gruppe
  \[ \begin{array}{@{}rcl@{}}
    K(X) &:=& \text{formale Differenzen von} \\
    && (\text{Klasse der Vektorbündel über~$X$})/{\cong_s}.
  \end{array} \]
  \vfill

  Für beliebige stetige Abbildungen \vspace{-0.4em}
  \[ \begin{CD} X @>f>> Y \end{CD} \]
  zwischen kompakten Hausdorffräumen definiere den Gruppenhomomorphismus
  \[ \begin{array}{@{}rcl@{}}
    K(Y) & \stackrel{K(f)}{\longrightarrow} & K(X) \\
    {}[E] - [E'] & \longmapsto & [f^\star E] - [f^\star E'].
  \end{array} \]
}

\frame[t]{
  \frametitle{Zusammenhang zwischen~$K$ und~$\TK$}

  \textbf{Proposition:}
  \vspace{1em}

  Sei~$X$ ein kompakter Hausdorffraum. Dann gilt
  \[ K(X) \cong \TK(X) \oplus \mathds{Z}, \]
  wobei die Isomorphie natürlich ist, wenn man feste
  Basispunkte auszeichnet.
}

%  Sei~$x_0 \in X$ fest.
%
%  Wir haben wohldefinierte Abbildungen
%  \[ \begin{array}{@{}rrcl@{}}
%    \alpha{:} & K(X) &\longrightarrow& \TK(X) \\
%    & E - \varepsilon^n &\longmapsto& E \\
%    \\
%    \beta_{x_0}{:} & \TK(X) &\longrightarrow& K(X) \\
%    & E &\longmapsto& E - \varepsilon^{\dim_{\mathbb{C}} E_{x_0}}
%  \end{array} \]
%  mit
%  \[ \alpha \circ \beta_{x_0} = \operatorname{id}_{\TK(X)} \]
%  und
%  \[
%    \operatorname{ker} \alpha =
%    \{ \varepsilon^n - \varepsilon^m \,|\, n,m \geq 0 \} \cong
%    \mathds{Z}.
%  \]
%
%  Daher~$K(X) \cong \TK(X) \oplus \mathds{Z}$.

\section{Weitere Operationen}
\frame[t]{
  \frametitle{Ringstruktur auf~$K(X)$}

  \textbf{Proposition:}
  \vspace{1em}

  Sei~$X$ kompakt und hausdorffsch. Dann macht das Tensorprodukt
  von Vektorbündeln die abelsche Gruppe~$K(X)$ sogar zu einem kommutativen
  Ring mit Einselement~$\varepsilon^1$.
  \vfill

  Für stetige Abbildungen~$f$ ist~$K(f)$ dann sogar ein Ringhomomorphismus.
  \vfill
  \vfill
}

\frame[t]{
  \frametitle{Äußeres Produkt}

  \textbf{Definition:}
  \vspace{1em}

  Seien~$X$ und~$Y$ kompakte Hausdorffräume.
  Dann gibt es ein äußeres Produkt
  \[ \begin{CD} K(X) \otimes K(Y) @>>> K(X \times Y). \end{CD} \]
  \vfill
  
  \textbf{Satz:}
  \vspace{1em}

  Speziell für~$Y = S^2$ ist das äußere Produkt
  \[ \begin{CD} K(X) \otimes K(S^2) @>>> K(X \times S^2) \end{CD} \]
  ein Isomorphismus von Ringen.
}

%\section{Grundlagen}


\end{document}
