\documentclass[12pt,a4paper,ngerman]{article}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amscd,amsthm,babel,dsfont,color,graphics,hyperref,latexsym,multicol,pdfpages,setspace,stmaryrd,tabularx,textcomp,url}
\DeclareMathAlphabet{\varmathds}{U}{dsss}{m}{n}
\usepackage[protrusion=true,expansion=false]{microtype}
\usepackage{fancyhdr}

\clubpenalty=10000
\widowpenalty=10000
\displaywidowpenalty=10000

\usepackage{geometry}
\geometry{tmargin=3cm,bmargin=3cm,lmargin=3cm,rmargin=3cm}

\setlength\parskip{\medskipamount}
\setlength\parindent{0pt}
\pagestyle{plain}

%\renewcommand{\cftsecleader}{\cftdotfill{\cftdotsep}}

\newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\TK}{\widetilde K}

\title{Der K-Theorie-Funktor}
\author{Ingo Blechschmidt}
\date{16. November 2010}

\begin{document}

\vskip 2em
\begin{center}%
  {\large
  Seminar bei Prof. Dr. B. Hanke: \vskip 0em Vektorbündel, K-Theorie und charakteristische Klassen}%
  \vskip 1em
  {\LARGE Der K-Theorie-Funktor \par}%
  \vskip 1.5em%
  {\large
   \lineskip .5em%
    \begin{tabular}[t]{c}%
      Ingo Blechschmidt
    \end{tabular}\par}%
    \vskip 1em%
  {\large 16. November 2010 \par}%       % Set date in \large size.
\end{center}\par
\par\vskip 1.5em


\begin{itemize}
  \item[\textbf{Def.:}] 
  Sei~$X$ ein topologischer Raum,
  mit~$\varepsilon^n$ bezeichnen wir das triviale Bündel vom Rang~$n$ über~$X$.
  Seien~$E$ und~$E'$ Vektorbündel über~$X$.

  $E$ und~$E'$ heißen genau dann \emph{stabil isomorph} ($E \cong_s E'$), wenn
  $E \oplus \varepsilon^n \cong E' \oplus \varepsilon^n$ für ein~$n \geq 0$.

  $E$ und~$E'$ heißen genau dann \emph{stabil äquivalent} ($E \sim E')$, wenn
  $E \oplus \varepsilon^n \cong E' \oplus \varepsilon^m$ für ein~$n \geq 0$
  und~$m \geq 0$.

  \item[\textbf{Def./Prop.:}]
  Sei~$X$ ein topologischer Raum. Die Menge der Äquivalenzklassen
  \[ \TK(X) := (\text{Klasse der Vektorbündel über~$X$})/{\sim}. \]
  wird mit der Operation der direkten Summe von Vektorbündeln zu einem
  wohldefinierten kommutativen Monoid mit neutralem Element~$[\varepsilon^0]$.

  Für stetige Abbildungen~$X \xrightarrow{f} Y$ sei weiter
  \[ \begin{array}{@{}rcl@{}}
    \TK(Y) & \stackrel{\TK(f)}{\longrightarrow} & \TK(X) \\
    {}[E] & \longmapsto & [f^\star E]
  \end{array} \]
  durch Zurückziehen definiert. Damit wird~$\TK$ zu einem kontravarianten
  Funktor der Kategorie der topologischen Räume in die Kategorie der abelschen Monoide.

  \item[\textbf{Prop.:}]
  Die $\TK$-Monoide zu homotopieäquivalenten quasikompakten Räumen sind isomorph.

  \item[\textbf{Prop.:}]
  Für kompakte Hausdorffräume~$X$ ist~$\TK(X)$ sogar eine abelsche Gruppe,
  und induzierte Homomorphismen~$\TK(f)$ sind Gruppenhomomorphismen.
  \newpage

  \item[\textbf{Def./Prop.:}]
  Sei~$X$ ein kompakter Hausdorffraum. Dann wird die Menge
  \[ \begin{array}{@{}rcl@{}}
    K(X) &:=& \text{formale Differenzen von} \\
    && (\text{Klasse der Vektorbündel
  über~$X$})/{\cong_s}
  \end{array} \]
  mit der Operation der direkten Summe von Vektorbündeln zu einer
  wohldefinierten abelschen Gruppe.

  Durch Zurückziehen wird~$K$ analog wie~$\TK$ zu einem kontravarianten Funktor
  der Kategorie kompakter Hausdorffräume in die Kategorie abelscher Gruppen.

  \item[\textbf{Prop.:}]
  Die $K$-Gruppen zu homotopieäquivalenten kompakten Hausdorffräumen sind isomorph.

  \item[\textbf{Prop.:}]
  Sei~$X$ ein kompakter Hausdorffraum. Dann gilt
  \[ K(X) \cong \TK(X) \oplus \mathds{Z}, \]
  wobei die Isomorphie natürlich ist, wenn man feste
  Basispunkte auszeichnet.

  \item[\textbf{Def./Prop.:}]
  Sei~$X$ ein kompakter Hausdorffraum. Dann macht das Tensorprodukt
  von Vektorbündeln die abelsche Gruppe~$K(X)$ sogar zu einem kommutativen
  Ring mit Einselement~$[\varepsilon^1] - [\varepsilon^0]$.

  Für stetige Abbildungen~$f$ ist~$K(f)$ dann sogar ein Ringhomomorphismus.

  \item[\textbf{Def.:}]
  Seien~$X$ und~$Y$ kompakte Hausdorffräume.
  Dann heißt die Abbildung
  \[ \begin{array}{@{}rcl@{}}
    K(X) \otimes K(Y) &\longrightarrow& K(X \times Y) \\
    x \otimes y &\longmapsto& K(\pi_X)(x) \cdot K(\pi_Y)(y)
  \end{array} \]
  \emph{äußeres Produkt}, wobei~$K(\pi_X)$ und~$K(\pi_Y)$
  die induzierten Abbildungen der kanonischen Projektionen
  \[ \begin{array}{@{}rcl@{}}
    X \times Y &\stackrel{\pi_X}{\longrightarrow}& X \\
    X \times Y &\stackrel{\pi_Y}{\longrightarrow}& Y
  \end{array} \]
  sind und das Produkt auf der rechten Seite das im Ring~$K(X \times Y)$ ist.
  
  \item[\textbf{Satz:}]
  Sei~$X$ ein kompakter Hausdorffraum. Dann ist das spezielle äußere Produkt
  \[ K(X) \otimes K(S^2) \longrightarrow K(X \times S^2) \]
  ein Isomorphismus von Ringen.
\end{itemize}

\end{document}
