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\theoremseparator{:}
\theoremstyle{nonumberbreak}
\newtheorem{beh}{Behauptung}
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\newarrow{Equals}=====

\begin{document}

\vspace*{2em}%
\begin{center}%
  {\large
  Seminar bei Prof. Dr. B. Hanke: \vskip 0em Vektorbündel, K-Theorie und charakteristische Klassen}%
  \vskip 1em
  {\LARGE Aufgaben zum algebraischen K-Theorie-Funktor \par}%
  \vskip 1.5em%
  {\large
   \lineskip .5em%
    \begin{tabular}[t]{c}%
      Ingo Blechschmidt
    \end{tabular}\par}%
    \vskip 1em%
  {\large 10. April 2011 \par}%       % Set date in \large size.
\end{center}\par
\par\vskip 1.5em

Im Folgenden bearbeiten wir die Aufgaben~6.1 und~6.2
von~\citep[Kap.~II]{karoubi}. Die Diagramme wurden mit Paul Taylors
Diagrammpaket~\citep{taylor} erstellt.

\nocite{*}
\printbibliography

\section*{Aufgabe 6.1}

Sei~$A$ ein beliebiger Ring (mit Eins, aber nicht notwendigerweise
kommutativ). Sei~$\A_n$ (für $n \geq 0$) die Kategorie derjenigen~$A$-Moduln,
die Auflösungen der Länge~$n$ durch endlich erzeugte und projektive Moduln
erlauben.

Moduln aus~$\A_n$ sind somit insbesondere endlich erzeugt, da sie eine
Surjektion aus einem endlich erzeugten Modul erlauben. Die Objekte von~$\A_0$
sind genau die endlich erzeugten projektiven Moduln, da sie nach Definition
isomorph zu einem endlich erzeugten projektiven Modul sind.

Die Kategorien~$\A_n$ sind nicht klein, aber essenziell klein:
Die Morphismenklassen zwischen Objekten sind Mengen, und es gibt nur
Mengen-viele Isomorphieklassen, denn da die Moduln aus~$\A_n$ endlich erzeugt
sind, sind sie bis auf Isomorphie tatsächliche Quotienten der abzählbar vielen
Moduln~$A^k$, $k \geq 0$.

\subsection*{Teilaufgabe a)}

\begin{prop}\label{1aprop1}%
Sei ein beliebiger~$A$-Modul~$N$ aus~$\A_{n+1}$ gegeben. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item Es gibt eine kurze exakte Sequenz
\[ 0 \lra Q_1 \lra Q_0 \lra N \lra 0 \]
derart, dass~$Q_1$ ein Objekt aus~$\A_n$ und~$Q_0$ projektiv ist.
\item Zu jeder kurzen exakten Sequenz
\[ 0 \lra Q_1' \lra Q_0' \lra N \lra 0 \]
derart, dass~$Q_1'$ ein Objekt aus~$\A_n$ und~$Q_0'$ projektiv ist, gibt
es eine kurze exakte Sequenz
\[ 0 \lra Q_1 \lra Q_0 \oplus Q_1' \lra Q_0' \lra 0. \]
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item In eine nach Voraussetzung existierende projektive Auflösung
von~$N$ fügen wir die Einbettung des Kerns~$K$ der Surjektion auf~$N$ ein:
\begin{diagram}
  0 &\rTo& P_{n+1} &\rTo& \cdots &\rTo& P_1 &\rTo& P_0 &\rOnto& N &\rTo& 0 \\
    &&             &&            &&     &\rdTo(1,2)\ruInto(1,2) \\
    &&             &&            &&     & K
\end{diagram}
Die Abbildung~$P_1 \to P_0$ faktorisiert über den Kern~$K$, da die Sequenz
bei~$P_0$ exakt ist.
Aus diesem Diagramm erhalten wir die kurze Sequenz
\begin{equation}\label{1a1}0 \lra K \lhra P_0 \thlra N \lra 0,\end{equation}
welche natürlich exakt ist.
Wir erhalten aus dem Diagramm noch eine zweite Sequenz,
\[ 0 \lra P_{n+1} \lra \cdots \lra P_1 \lra K \lra 0, \]
welche ebenfalls exakt ist. Um das einzusehen, müssen wir uns nur von
der Exaktheit bei $P_1$ und bei~$K$ überzeugen. Bei~$P_1$ ist sie
deswegen exakt, weil der Kern der Abbildung~$P_1 \to K$ gleich dem Kern
der Komposition $P_1 \to K \hookrightarrow P_0$ ist (denn~$K
\hookrightarrow P_0$ ist injektiv); dieser ist nach Voraussetzung gleich
dem Bild der Abbildung~$P_2 \to P_1$.

Bei~$K$ ist sie direkt deswegen exakt, weil die ursprüngliche Sequenz
bei~$P_0$ exakt ist.

Damit ist gezeigt, dass~$K$ ein Objekt aus~$\A_n$ ist, womit die
Sequenz~\eqref{1a1} eine der gewünschten Art ist und die Behauptung
folgt.

\item Als Erstes ergänzen wir das Diagramm
\begin{diagram}
  0 &\rTo& Q_1  &\rInto^\iota& Q_0  &\rOnto^\pi& N &\rTo& 0 \\
    &&\dDotsto^{\alpha} &&\dDotsto^{\beta} &&\dEquals \\
  0 &\rTo& Q_1' &\rInto_{\iota'}& Q_0' &\rOnto_{\pi'}& N &\rTo& 0
\end{diagram}
durch die gepunkteten Pfeile zu einem kommutativen Diagramm: Die Existenz einer
Abbildung~$Q_0 \to Q_0'$, welche das rechte Quadrat kommutativ macht,
folgt direkt aus der Projektivität von~$Q_0$. Da die
Abbildung~$Q_1 \to Q_0 \to Q_0'$ bei
Nachschaltung mit~$Q_0' \to N$ die Nullabbildung gibt, folgt die
Existenz einer passenden Abbildung~$Q_1 \to Q_1'$ über die Exaktheit der
unteren Zeile.

Eine kurze exakte Sequenz der gesuchten Gestalt ist dann
\[ 0 \lra Q_1 \stackrel{\iota\oplus\alpha}{\lra} Q_0 \oplus Q_1'
\stackrel{\beta-\iota'}{\lra} Q_0' \lra 0, \]
wobei die Abbildung aus der direkten Summe durch~$(q_0,q_1') \mapsto
\beta(q_0) - \iota'(q_1')$ gegeben sei. Die Exaktheit vorne ist wegen
der Injektivität von~$\iota$ klar, und einfache Diagrammjagden zeigen
die Exaktheit an den anderen beiden Stellen.
\end{enumerate}
\end{proof}

Für Teilaufgabe b) werden wir noch folgende Hilfsaussage benötigen:
\begin{prop}\label{1aprop2}
Sei eine kurze exakte Sequenz
\[ 0 \lra M' \lra M \lra M'' \lra 0 \]
von Moduln aus~$\A_{n+1}$ gegeben. Dann gibt es ein Diagramm
\begin{diagram}[LaTeXeqno]\label{1aprop2diag}
    &&     0     &&     0     &&     0 \\
    &&     \dTo  &&     \dTo  &&     \dTo \\
  0 &\rTo& Q_1'  &\rTo& Q_0'  &\rTo& M'  &\rTo& 0 \\
    &&     \dTo  &&     \dTo  &&     \dTo \\
  0 &\rTo& Q_1   &\rTo& Q_0   &\rTo& M   &\rTo& 0 \\
    &&     \dTo  &&     \dTo  &&     \dTo \\
  0 &\rTo& Q_1'' &\rTo& Q_0'' &\rTo& M'' &\rTo& 0 \\
    &&     \dTo  &&     \dTo  &&     \dTo \\
    &&     0     &&     0     &&     0
\end{diagram}
derart, dass alle Zeilen und Spalten exakt sind, dass~$Q_1'$,~$Q_1$
und~$Q_1''$ Objekte von~$\A_n$ sind und dass~$Q_0'$,~$Q_0$ und~$Q_0''$
projektiv sind.
\end{prop}
\begin{proof}
Auf nach Voraussetzung existierende projektive Auflösungen von~$M'$ und~$M''$
können wir das Hufeisenlemma der homologischen Algebra anwenden, um eine
projektive Auflösung von~$M$ zu erhalten, welche derart in ein Diagramm der Form
\begin{diagram}
    &&     0         &&            &&     0     &&     0     &&       0 \\
    &&     \dTo      &&            &&     \dTo  &&     \dTo  && \dTo \\
  0 &\rTo& P_{n+1}'  &\rTo& \cdots &\rTo& P_1'  &\rTo& P_0'  &\rOnto& M'  &\rTo& 0 \\
    &&     \dTo      &&            && \dTo & \rdTo(1,1)K'\ruInto(1,1) & \dTo && \dTo \\
  0 &\rTo& P_{n+1}   &\rTo& \cdots &\rTo& P_1   &\rTo& P_0   &\rOnto& M   &\rTo& 0 \\
    &&     \dTo      &&            && \dTo & \rdTo(1,1)K\ruInto(1,1) & \dTo && \dTo \\
  0 &\rTo& P_{n+1}'' &\rTo& \cdots &\rTo& P_1'' &\rTo& P_0'' &\rOnto& M'' &\rTo& 0 \\
    &&     \dTo      &&            && \dTo & \rdTo(1,1)K''\ruInto(1,1) & \dTo && \dTo \\
    &&     0         &&            &&     0     &&     0     &&       0
\end{diagram}
passt, dass alle Zeilen und Spalten exakt sind. Mit~$K'$,~$K$ und~$K''$
seien wieder die Kerne der Surjektionen auf~$M'$,~$M$ bzw.~$M''$
bezeichnet.

Weiter können wir dann Abbildungen~$K' \to K$ und~$K \to K''$ zwischen den
Kernen induzieren; eine einfache Diagrammjagd zeigt dann, dass die erhaltene
kurze Sequenz
\[ 0 \lra K' \lra K \lra K'' \lra 0 \]
ebenfalls exakt ist.

Damit folgt schon die Behauptung, denn nach nach der vorherigen Proposition
können wir~$Q_1' := K'$, $Q_1 := K$, $Q_1 := K''$ und~$Q_0' := P_0'$, $Q_0 :=
P_0$, $Q_0'' := P_0''$ wählen.
\end{proof}

\subsection*{Teilaufgabe b)}

Sei~$F(\A_n)$ die freie abelsche Gruppe über den Objekten aus~$\A_n$ und
sei~$I(\A_n) \subseteq F(\A_n)$ dasjenige Ideal, welches von Elementen
der Form~$M' + M'' - M \in F(\A_n)$ erzeugt wird, für die es eine kurze
exakte Sequenz
\[ 0 \lra M' \lra M \lra M'' \lra 0 \]
gibt. Sei~$G(\A_n) := F(\A_n) / I(\A_n)$ die Quotientengruppe. (Die
mengentheoretische Zu\-läs\-sig\-keit dieser Konstruktion diskutieren wir
gleich.)

\newpage
\begin{bem}\label{1bbem}%
In der abelschen Gruppe~$G(\A_n)$ gelten folgende Rechenregeln:
\begin{enumerate}
\item Die Äquivalenzklasse eines Nullmoduls ist das
neutrale Element der Gruppe, d.\,h. es gilt~$[0] = 0$.
\item Für alle Moduln~$M, N \in \A_n$ gilt~$[M \oplus N] = [M] + [N]$.
\item Isomorphe Moduln geben gleiche Äquivalenzklassen.
\end{enumerate}
\end{bem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Ein Nullmodul~$0$ passt in die triviale kurze exakte Sequenz
\[ 0 \lra 0 \lra 0 \lra 0 \lra 0, \]
daher gilt~$[0] + [0] - [0] = 0$ in~$G(\A_n)$.
\item Beliebig gegebene Moduln~$M, N \in \A_n$ passen in die zerfällte
kurze exakte Sequenz
\[ 0 \lra M \lra M \oplus N \lra N \lra 0, \]
daher gilt~$[M] + [N] - [M \oplus N] = 0$ in~$G(\A_n)$.
\item Zueinander isomorphe Moduln~$M, N \in \A_n$ passen in die kurze
exakte Sequenz
\[ 0 \lra M \stackrel{\cong}{\lra} N \lra 0 \lra 0. \]
Somit gilt~$[M] + [0] - [N] = 0$.
\end{enumerate}
\end{proof}

Die Konstruktion von~$G(\A_n)$ ist so wie angegeben formal nicht
durchführbar: Da die Objekte aus~$\A_n$ eine echte Klasse bilden, können
wir nicht die freie abelsche Gruppe~$F(\A_n)$ definieren. Die dritte
Rechenregel der Bemerkung zeigt aber einen Ausweg auf:

Da isomorphe Moduln ohnehin gleiche Äquivalenzklassen geben, könnten
wir~$F(\A_n)$ auch als die freie abelsche Gruppe über den Isomorphieklassen
der Moduln aus~$\A_n$ definieren; von diesen gibt es wie schon anfangs
bemerkt nur Mengen-viele.

Diese Alternative hätte noch den weiteren Vorteil, dass sie nicht böse im
technischen Sinn wäre: Anders als bei der originalen Konstruktion sind
keine Gleichungen zwischen Objekten formulierbar.

\begin{prop}\label{1bprop}%
Der Inklusionsfunktor~$\A_n \to \A_{n+1}$ induziert einen Isomorphismus
$G(\A_n) \cong G(\A_{n+1})$.
\end{prop}
\begin{proof}
Die von der Inklusion induzierte Abbildung lautet auf dem kanonischen
Erzeugendensystem von~$G(\A_n)$
\[ \begin{array}{@{}rrcl@{}}
  \varphi{:} & G(\A_n) &\lra& G(\A_{n+1}) \\
  & [X] &\longmapsto& [X]
\end{array} \]
und ist in der Tat wohldefiniert, denn es ist unmittelbar nach
Definition klar, dass sie das Ideal~$I(\A_n)$ in das Ideal~$I(\A_{n+1})$
schickt.

Eine Umkehrabbildung~$\varphi^{-1}$ definieren wir wie folgt: Sei ein
beliebiger Modul~$X \in \A_{n+1}$ gegeben. Nach
\hyperref[1aprop1]{Teilaufgabe~a)} finden wir eine kurze exakte Sequenz
\begin{equation}\label{1b} 0 \lra Q_1 \lra Q_0 \lra X \lra 0 \end{equation}
mit~$Q_1 \in \A_n$ und~$Q_0 \in \A_0 \subseteq \A_n$. Folglich gilt
in~$G(\A_{n+1})$ die Rechnung $[X] = [Q_0] - [Q_1]$; wir definieren
\[ \varphi^{-1}([X]) := [Q_0] - [Q_1] \in G(\A_n). \]

Die Differenz~$[Q_0] - [Q_1]$, aufgefasst als ein Element von~$G(\A_n)$,
ist dabei unabhängig von der Wahl der kurzen exakten Sequenz~\eqref{1b}.
Denn für eine weitere kurze exakte Sequenz~$0 \to Q_1' \to Q_0 \to X \to
0$ gibt es nach~\hyperref[1aprop1]{a)} eine kurze exakte Sequenz
\[ 0 \lra Q_1 \lra Q_0 \oplus Q_1' \lra Q_0' \lra 0 \]
in~$\A_n$, weswegen in~$G(\A_n)$ die Gleichung
\[ [Q_0] + [Q_1'] = [Q_1] + [Q_0'] \]
gilt. Durch Umstellen folgt die behauptete Unabhängigkeit.

Als Nächstes zeigen wir die Wohldefiniert von~$\varphi^{-1}$ bezüglich
des Herausteilens des Ideals~$I(\A_{n+1})$. Sei dazu eine kurze exakte
Sequenz
\[ 0 \lra M' \lra M \lra M'' \lra 0 \]
von Moduln aus~$\A_{n+1}$ gegeben, wir müssen zeigen,
dass~$\varphi^{-1}([M']) + \varphi^{-1}([M'']) - \varphi^{-1}([M]) = 0
\in G(\A_n)$. Die \hyperref[1aprop2]{Hilfsaussage in Teilaufgabe~a)}
liefert uns dazu das Diagramm~\eqref{1aprop2diag}, womit in~$G(\A_n)$
mit den Bezeichnungen der Hilfsaussage folgende Rechnung gilt:
\begin{align*}
  \varphi^{-1}([M']) + \varphi^{-1}([M'']) - \varphi^{-1}([M]) &=
  [P_0'] - [K'] + [P_0''] - [K''] - ([P_0] - [K]) \\
  &= ([P_0'] + [P_0''] - [P_0]) - ([K'] + [K''] - [K]) \\
  &= 0.
\end{align*}
Das schließt den Beweis der Wohldefiniertheit von~$\varphi^{-1}$ ab.

Wir bemerken, dass $\varphi^{-1}$ projektive Moduln~$X \in \A_{n+1}$
auf~$[X] \in G(\A_n)$ schickt: Denn~$X$ erlaubt die zur Berechnung
von~$\varphi^{-1}([X])$ nutzbare triviale Auflösung
\[ 0 \lra 0 \lra X \stackrel{\cong}{\lra} X \lra 0, \]
womit also~$\varphi^{-1}([X]) = [X] - [0] = [X]$ folgt.

Nun ist nur noch zu zeigen, dass~$\varphi^{-1}$ in der Tat eine
Umkehrfunktion von~$\varphi$ ist; klar ist zumindest, dass~$\varphi$
linksinvers zu~$\varphi^{-1}$ ist. Sei für die andere Richtung ein
beliebiger Modul~$X \in \A_n$ gegeben; indem wir sukzessive
\hyperref[1aprop1]{Teilaufgabe~a)} anwenden, können wir~$X$ in~$G(\A_n)$
als Linearkombination von (Äquivalenzklassen von) projektiven Moduln
schreiben.

Die Anwendung der Komposition~$\varphi^{-1} \circ \varphi$ auf~$[X]$ ist
dann die entsprechende Linearkombination der Bilder der projektiven
Moduln unter der Komposition. Da für projektive Moduln die
Umkehreigenschaft klar ist, folgt so die Behauptung.
\end{proof}

Wiederholte Anwendung dieser Proposition liefert Isomorphismen
\[ G(A_n) \cong G(\A_0). \]
Für Teilaufgabe~c) werden wir folgende Kohärenzaussage benötigen:
\begin{hilfsaussage}\label{1bhilf}%
Sei~$X \in \A_n$. Dann stimmt für alle~$k \geq 0$ das Bild von~$X$ unter
dem Isomorphismus~$G(\A_{n+k}) \cong G(\A_0)$ mit dem unter~$G(\A_n)
\cong G(\A_0)$ überein.
\end{hilfsaussage}
\begin{proof}
Das ist klar, da nach Definition des Isomorphismus~$\varphi{:}\,
G(\A_n) \xrightarrow{\cong} G(\A_{n+1})$ gilt: $\varphi([X]) = [X]$.
Die Behauptung folgt dann daraus, dass die Isomorphismen~$G(\A_{n+k})
\cong G(\A_0)$ Kompositionen der Isomorphismen der Proposition sind.
\end{proof}


\subsection*{Teilaufgabe c)}

\begin{prop}\label{1cprop}%
Sei~$G(\A) := F(\A) / I(\A)$, wobei~$\A := \cup_{n \geq 0} \A_n$. Dann
gilt
\[ K(A) \cong G(\A). \]
\end{prop}
\begin{proof}
Die K-Theorie~$K(A)$ ist als die Grothendieckgruppe zum abelschen
Monoid~$\Phi(P(A))$ der Isomorphieklassen der Objekte aus~$P(A)$, der
Kategorie endlich erzeugter projektiver~$A$-Moduln, definiert; um die
Isomorphie zu zeigen, beweisen wir, dass~$G(\A)$ die entsprechende
universelle Eigenschaft hat.

Dazu müssen wir einen Monoidhomomorphismus~$\Phi(P(A)) \to G(\A)$ derart
angeben, dass es für jede Gruppe~$H$ und jeden
Monoidhomomorphismus~$\Phi(P(A)) \to H$ genau einen
Gruppenhomomorphismus~$G(\A) \to H$ gibt, der das Diagramm
\begin{diagram}
  \Phi(P(A)) &\rTo^f& H \\
  &\rdTo(1,2)_\iota \ruTo(1,2)_{\overline{f}} \\
  & G(\A)
\end{diagram}
kommutieren lässt.

\emph{Zur Definition von~$\iota$.}
Da~$P(A)$ eine Teilklasse von~$\A_0$ ist, können wir~$\iota$ einfach
über
\[ \begin{array}{@{}rrcl@{}}
  \iota{:} & \Phi(P(A)) &\lra& G(\A) \\
  & [X] &\lra& [X]
\end{array} \]
definieren. Die drei \hyperref[1bbem]{weiter oben bewiesenen
Rechenregeln} garantieren dabei, dass diese Setzung wohldefiniert ist
und dass~$\iota$ ein Monoidhomomorphismus wird.

\emph{Zur Definition von~$\overline{f}$.}
Als Erstes geben wir eine Abbildung~$\overline{f}_0$ an:
\[ \begin{array}{@{}rrcl@{}}
  \overline{f}_0{:} & G(\A_0) &\lra& H \\
  & [X] &\lra& f([X])
\end{array} \]
Das ist wohldefiniert, denn da jede kurze exakte Sequenz~$0 \to X'
\to X \to X'' \to 0$ in~$\A_0$ zerfällt (da~$X''$
projektiv), gilt~$X \cong X' \oplus X''$ und somit~$f([X']) + f([X'']) -
f([X]) = 0 \in H$, da~$f$ nach Voraussetzung ein Monoidhomomorphismus
ist.

Zur Definition von~$\overline{f}$ sei nun ein beliebiger Modul~$X \in
\A$ gegeben. Nach Definition von~$\A$ liegt~$X$ in einem~$\A_i$; wir
setzen
\[ \overline{f}([X]) := \overline{f}_0(\varphi_i([X])), \]
wobei~$\varphi_i{:}\, G(\A_i) \xrightarrow{\cong} G(\A_0)$ den
durch wiederholte Anwendung von \hyperref[1bprop]{Teilaufgabe~b)} erhaltenen
Isomorphismus bezeichnet. Der Ausdruck~$\overline{f}_0(\varphi_i([X]))
\in H$ hängt nach der \hyperref[1bhilf]{Hilfsaussage} dabei nicht von
der Wahl von~$i$ ab.

Zur Wohldefiniertheit von~$\overline{f}$ sei eine kurze exakte
Sequenz~$0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ in~$\A$ gegeben. Wir können einen
gemeinsamen Index~$i$ finden, sodass~$X'$,~$X$ und~$X''$ alle in~$\A_i$
liegen. Folglich gilt
\begin{align*}
  \overline{f}([X' + X'' - X]) &=
  \overline{f}([X']) + \overline{f}([X'']) - \overline{f}([X]) \\
  &= \overline{f}_0(\varphi_i([X'])) + \overline{f}_0(\varphi_i([X''])) -
  \overline{f}_0(\varphi_i([X])) \\
  &= \overline{f}_0(\varphi_i([X' + X'' - X])) \\
  &= \overline{f}_0(\varphi_i(0)) \\
  &= 0,
\end{align*}
das war zu zeigen.

\emph{Zur Kommutativität und Eindeutigkeit.}
Dass die so definierte Abbildung~$\overline{f}$ das Diagramm der
universellen Eigenschaft kommutieren lässt, ist klar. Die Eindeutigkeit
ist auch klar, denn ein beliebiges Element aus~$G(\A)$ lässt sich als
Linearkombination projektiver Moduln schreiben, und die Bilder
projektiver Moduln sind durch die Kommutativitätsbedingung bereits
eindeutig festgelegt.
\end{proof}

\begin{bem}
Da wir den Beweis über die universelle Eigenschaft geführt haben,
können wir die Zuordnung~$A \mapsto G(\A)$ zu einem Funktor zwischen der
Kategorie der Ringe und der Kategorie abelscher Gruppen ausdehnen. Mit
abstraktem Nonsens folgt dann, dass~$K$ und~$G$ als Funktoren
vermöge einer eindeutigen natürlichen Transformation isomorph sind.
\end{bem}

\newpage
\section*{Aufgabe 6.2}

\begin{prop}[Fakt aus der Algebra]Jeder endlich erzeugte Modul~$M$ über einem
Hauptidealbereich~$A$ erlaubt eine projektive Auflösung der
Länge~1.\end{prop}
\begin{proof}
Da~$M$ endlich erzeugt ist, gibt es eine Surjektion~$A^n
\twoheadrightarrow M$. Diese besitzt einen Kern~$K$, der als Untermodul
des freien Moduls~$A^n$ über dem Hauptidealbereich~$A$ wieder frei ist.
Wir erhalten daher die kurze exakte Sequenz
\[ 0 \lra K \lhra A^n \thlra M \lra 0, \]
welche eine projektive (sogar freie) Auflösung von~$M$ der Länge~1 ist.
\end{proof}

\begin{prop}Sei~$A$ ein Hauptidealbereich. Dann gilt
\[ K(A) \cong \Z. \]
\end{prop}
\begin{proof}
Zunächst ist klar, dass~$\A = \A_1$. Denn da die Moduln aus~$\A$ endlich
erzeugt sind, liegen sie nach der Vorüberlegung schon in~$\A_1$.

Somit ist die gesuchte K-Theorie~$K(A)$
nach~\hyperref[1cprop]{Aufgabe~6.1c)} isomorph zu~$G(\A) = G(\A_1)$;
letztere Gruppe wiederum ist nach~\hyperref[1bprop]{b)} isomorph
zu~$G(\A_0)$.
Die Moduln in~$\A_0$ sind genau die endlich erzeugten projektiven Moduln;
da~$A$ ein Hauptidealbereich ist, sind das genau die freien Moduln
endlichen Rangs. (Der Rang ist wohldefiniert, da~$A$ als
Hauptidealbereich insbesondere kommutativ ist.)

Damit können wir das gesuchte Isomorphismenpaar angeben:
\[ \begin{array}{@{}rrcl@{\qquad\qquad}rrcl@{}}
  \alpha{:} & \Z &\lra& G(\A_0) &
  \beta{:}  & G(\A_0) &\lra& \mathbb{Z} \\
  & n &\longmapsto& n \, [A] &
  & [\sum_i a_i X_i] &\longmapsto& \sum_i a_i \rank{X_i}
\end{array} \]

In der Definition von~$\alpha$ fassen wir dabei~$A$ als Modul über sich
selbst auf. Es ist klar, dass~$\alpha$ ein Gruppenhomomorphismus und
rechtsinvers zu~$\beta$ ist; wir müssen aber noch zeigen, dass~$\beta$
wohldefiniert ist und dass~$\alpha \circ \beta = \id$ gilt.

Zur Wohldefiniert genügt es zu zeigen, dass Elemente der Form~$M' + M''
- M \in I(\A_0)$ auf null geschickt werden. Nach Definition gibt es
für solche eine kurze exakte Sequenz
\[ 0 \lra M' \lra M \lra M'' \lra 0, \]
die, da~$M''$ projektiv ist, zerfällt. Somit ist~$M$ isomorph zur
direkten Summe~$M' \oplus M''$, und es gilt in der Tat
\[ \beta([M' + M'' - M]) = \rank{M'} + \rank{M''} - \rank{M} = 0. \]

Zur Umkehreigenschaft sei ein beliebiger Modul~$X \in \A_0$ gegeben.
Dann gilt nach den \hyperref[1bbem]{Rechenregeln in~$G(\A_0)$}:
\[ \alpha(\beta([X])) = \alpha(\rank{X}) = \rank{X} \cdot [A] =
[A^{\rank{X}}] = [X], \]
denn~$X$ ist als freier Modul isomorph zu~$A^{\rank{X}}$.
Damit ist die Umkehreigenschaft auf dem kanonischen Erzeugendensystem
von~$G(\A_0)$ gezeigt und der Beweis abgeschlossen.
\end{proof}

\begin{bem}
Der Beweis zeigt die genauere Aussage, dass für Hauptidealbereiche~$A$ die
K-Theorie~$K(A)$ unter dem Isomorphismus~$K(A) \cong G(\A)$ von der
Äquivalenzklasse~$[A]$ erzeugt wird.
\end{bem}

\end{document}
