Verbotene Algebra-Übungen im Februar

Nachtrag zur Topologie

• Initialtopologie

  • Produkttopologie

  • Teilraumtopologie

  • Topologie auf einem projektiven Limes

• Finaltopologie

  • Topologie auf Koprodukten (disjunkten Vereinigungen)

  • Topologie auf einem induktiven Limes

Tensorprodukt von Moduln [Di 19.2.2013]

• Rechnen mit Tensoren

• Universelle Eigenschaft

  • Nutzen, um Abbildungen aus dem Tensorprodukt heraus zu definieren

  • Tensorprodukt als Bifunktor

• Rechenregeln fürs Tensorprodukt

  • Pseudo-Assoziativität

  • Pseudo-Kommutativität

  • Pseudo-Identität: Tensorieren mit dem Grundring

  • Pseudo-Distributivität (Vertauschung mit direkten Summen)

  • Tensorieren mit freien Moduln (etwa für Blatt 12, Aufgabe 3)

  • Tensorieren mit einem Faktorring des Grundrings (etwa für Blatt 11, Aufgabe 2)

  • Adjunktion zum Hom-Funktor

• Anwendungen

  • Skalarerweiterung

  • Tensorprodukt von Algebren als Kofaserprodukt (Blatt 11, Aufgabe 3(d))

Homologische Algebra (nicht vom Titel abschrecken lassen!)

• Exakte Sequenzen

• Exaktheiteigenschaften des Tensorproduktfunktors

  • stets rechtsexakt

  • linksexakt nur beim Tensorieren mit flachen Moduln

Zahlentheorie [Mi 27.2.2013 und Do 28.2.2013]

• Ganzheitsring eines Zahlkörpers

  • Definitionen

    • ganze Elemente

    • ganze Erweiterungen

    • ganzer Abschluss

  • Ganzheitsgleichungen für Summe und Produkt ganzer Zahlen

  • Minimalpolynomkriterium für Ganzheit von Elementen

  • Charakterisierung von Ganzheit von Erweiterungen

  • Ganzheitsbasen

• Spur und Norm

  • Definition

  • Rechenregeln

  • Zusammenhang zum charakteristischen Polynom und zum Minimalpolynom von Matrizen

  • Berechnung

    • über Matrizen (etwa für B13, A3)

    • über Galoistheorie (etwa für B13, A4)

  • Nutzen

    • um Polynomgleichungen zu erhalten

    • um Invertierbarkeit im Ganzheitsring festzustellen

• Diskriminante

  • Definition

  • Berechnung

    • über Matrizen und Spuren

    • über Galoistheorie (etwa für B14, A1 und B14, A2)

  • Theoretische Eigenschaften (etwa für B14, A3)

  • Nutzen für Ganzheitsbasen (etwa für B14, A4)

• Erinnerung an die Algebra I: Ideale (damit wird B14, A5 sehr kurz und einfach)

  • prime und maximale Ideale

    • Bedeutung

    • Kriterien über Eigenschaften des Faktorrings

  • Rechenregeln

    • Warnung von falscher Rechenregel

• Dedekindringe

  • Definition

  • Satz über die eindeutige Primidealzerlegung

  • wichtige exakte Sequenz

    • Divisorengruppe

    • Idealgruppe

    • Idealklassengruppe

• Verzweigung von Primidealen

  • Verzweigungsindex, Trägheitsindex

  • voll zerlegt vs. unzerlegt vs. unverzweigt vs. träge

  • Grafische Vorstellung (Crashkurs in algebraischer Geometrie)

    • Skizze von ℤ[i]

    • Skizze von ℤ[√3]

  • Berechnung von Restklassenkörpererweiterungen

  • Berechnung von Primidealzerlegungen

    • durch systematisches Probieren

    • durch das Minimalpolynom eines primitiven Elements θ

      • falls 1, θ, θ², …, θ^n-1 eine Ganzheitsbasis des Ganzheitsrings ist

      • sonst (mit Betrachtung des Führerideals)

  • Legendresymbol als Hilfsmittel zur Bestimmung des Verzweigungsverhaltens in quadratischen Zahlkörpern