Verbotene Algebra-Übungen im Januar

p-adische Zahlen

• zwei Sichtweisen

  • nach links unendlich erstreckende Ziffernfolgen

  • Elemente eines projektiven Limes

• anschauliche Vorstellung (damit wird B8, A4 völlig offensichtlich)

• Grundrechenarten

  • Wieso ist ℤ₁₀ kein Integritätsbereich? Was hat das mit Grundschulmathematik zu tun?

• p-adische Bruchzahlen

• Grenzwerte von Folgen p-adischer Zahlen

• Dichtheit der ganzen Zahlen in ℤ_p

• Verhältnis von ℝ zu ℚ_p

• Nutzen der Charakterisierung als projektiven Limes, Zusammenhang zu pro-endlichen Gruppen

Topologie

• Einordnung des Begriffs in einen Gesamtzusammenhang

• Anschauung zum Konzept offener Teilmengen

• Diskrete topologische Räume

• Anschauung zum Konzept stetiger Abbildungen zwischen beliebigen topologischen Räumen

• Verschärfte Dreiecksungleichung in sog. ultrametrischen Räumen, etwa bei den p-adischen Zahlen

• Konstruktion von Topologien durch Umgebungsbasen, etwa bei unendlicher Galoistheorie

• Homöomorphismen

• Satz von Tychonoff

Pro-endliche Gruppen

• Mottos

• Definition

• Wieso sind endliche Gruppen speziell auch pro-endlich?

• Charakterisierung: Eine topologische Gruppe ist genau dann pro-endlich, wenn sie hausdorffsch, kompakt und total unzusammenhängend ist

• Beispiele

  • die ganzen p-adischen Zahlen

  • der formale Potenzreihenring über einem endlichen Körper (unser alter Bekannter aus Algebra I)

  • der Prüferring

    • Zusammenhang zu den p-adischen Zahlen

    • anschauliche Vorstellung

    • rechnerische Vereinfachung

  • Galoisgruppen (insbesondere von unendlichen Körpererweiterungen)

• Besonderheiten

  • Untergruppen pro-endlicher Gruppen sind genau dann offen, wenn sie abgeschlossen sind und endlichen Index haben

Unendliche Galoistheorie

• Allgemeine Bemerkungen zu Körpererweiterungen

  • Kompositum zweier Zwischenerweiterungen

  • Existenz gewisser galoisscher Zwischenerweiterungen

  • Fortsetzungssatz

  • Gerichtete Vereinigungen von Zwischenerweiterungen

• Definition der Galoisgruppe einer (unendlichen) galoisschen Körpererweiterung

  • Wohldefiniertheit der Krulltopologie

  • Intuition zur Krulltopologie

• Hauptsatz der unendlichen Galoistheorie

• Diskussion der Galoisgruppe als projektiver Limes

• Beispiele

  • Galoisgruppe gerichteter Vereinigungen (Mutter aller Beispiele)

  • Galoisgruppe eines algebraischen Abschlusses von 𝔽_p über 𝔽_p

    • einfache Erklärung von B10, A1 – wieso stimmt die naive Verallgemeinerung des Hauptsatzes nicht?

  • Galoisgruppe des Körpers, der von allen pⁿ-ten Einheitswurzeln, n beliebig, erzeugt wird

  • Galoisgruppe des Körpers, der von allen Einheitswurzeln erzeugt wird, über ℚ

• Ausblick: Inverses galoissches Problem