Stoffübersicht

Numerik

• Vektornormen (auch für Banachräume wichtig)

• Matrixnormen (dito)

• Minkowskiungleichung, Hölderungleichung (auch für Lebesgueintegration wichtig)

• Iterative Lösungsalgorithmen für lineare Gleichungssysteme (E 7.2 ab S. 235)

  • allgemeine Idee

  • einfache Iteration

  • Gauß-Seidel

  • Konvergenzanalyse

• Newton-Methode (E 7.3 ab S. 242)

  • Idee

  • Konvergenzanalyse

• Approximation transzendenter Zahlen mittels Taylorreihen (E 7.5 ab S. 256)

Differentialgleichungen (E 7.4 ab S. 245)

• Matrixexponentialfunktion

• Existenz und Eindeutigkeit

• Picard-Iteration

• Cauchy-Polygon

• Gleichungen höherer Ordnung

Lebesgueintegration (E 9.7 ab S. 426)

• Erinnerung an den Riemannintegralbegriff

• Motivation (E S. 427)

• Nullmengen (versteckt in E S. 435)

• Lebesgueintegrierbarkeit und Lebesgueintegral (E S. 435f.)

• Rechenbeispiele

• Satz von der majorisierten Konvergenz (E S. 437f.)

• Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi, B6 G14)

• Satz von Arzelà übers Riemannintegral (B6 P11)

• Lemma von Fatou (B6 A16)

Banachräume (E 9.8 ab S. 447)

• Normierte Vektorräume

• Metrische Räume

  • Besonderheiten ultrametrischer Räume

• Wichtige Beispiele für Banachräume

  • ℝⁿ

  • ℝ^n×m

  • L(E,F) (wenn F Banachraum ist)

  • C⁰[a,b] (Raum gleichmäßig stetiger Funktionen auf dem Intervall [a,b])

  • L¹[a,b] (Raum lebesgueintegrierbarer Funktionen auf [a,b])

  • L^p[a,b]

• Vollständigkeit

  • von ℝ^n×m, L(E,F)

  • von C⁰[a,b] (B3 G8)

  • von L¹[a,b] (E S. 442)

• Lineare stetige Abbildungen zwischen Banachräumen

  • Charakterisierung

  • Speziallfall endlich-dimensionaler Quellraum (B9 G21)

  • Invertierbarkeit

• Gleichmäßige Differenzierbarkeit

• Satz über die implizit definierte Funktion

• Differentialformen (B8 Präsenzaufgaben)

Topologie

• Idee, Motivation, Definition

• Wichtige Beispiele für topologische Räume

  • ℝⁿ

  • normierte Vektorräume

  • metrische Räume

  • Spektren von Ringen (B12 G25)

  • diskrete Räume

• Offene, abgeschlossene, kompakte und dichte Teilmengen

  • Charakterisierungen in metrischen Räumen

  • Abgeschlossene Teilmengen kompakter Räume sind kompakt

  • Kompakte Teilmengen von Hausdorffräumen sind abgeschlossen

• Hausdorffeigenschaft

  • Definition

  • Charakterisierung als Abgeschlossenheit der Diagonale

• Stetige Abbildungen

  • Definitionen auf verschiedenen Abstraktionsniveaus

  • Bildmengen kompakter Mengen sind kompakt

  • Homöomorphismen

    • Definition

    • Kanonisches Beispiel für eine bijektive stetige Abbildung, die kein Homöomorphismus ist

    • Bijektive stetige Abbildungen von Kompakta in Hausdorffräume sind Homöomorphismen

• Produkttopologie

• Teilraumtopologie

p-adische Analysis

• Endliche Körper (S 1.1 und S 1.2)

• Quadratisches Reziprozitätsgesetz (S 1.3)

  • Quadrate in 𝔽_q

  • Legendresymbol

  • Reziprozitätsgesetz

• p-adische Zahlen

  • Anschauung

    • p-adische Entwicklung p-adischer Zahlen

    • grafische Darstellung

      • Wirkung der Rechenoperationen

      • Vorgriff: wichtige Teilmengen

  • Rechenbeispiele

  • Folgen und Reihen

  • Definition (S 2.1)

    • als Ring

    • als topologischer Raum

    • als metrischer Raum

  • Wichtige Teilmengen der p-adischen Zahlen

    • ganze Zahlen, rationale Zahlen

    • ganzzahlige p-adische Zahlen

    • invertierbare ganzzahlige p-adische Zahlen

  • Gleichungen (S 2.2)

    • Nullstellengebilde

    • Verfeinerung von Näherungslösungen

  • Multiplikative Gruppe (S 2.3)

    • Struktur der multiplikativen Gruppe

    • Kriterien für die Existenz von Quadratwurzeln

  • Weitere Beispiele

• Hilbertsymbol

  • lokale Eigenschaften (S 3.1)

    • Rechenregeln

    • Bezug zur algebraischen Normabbildung bei Körpererweiterungen

    • Formel zur Berechnung

  • globale Eigenschaften (S 3.2)

    • Produktformel

    • Existenz rationaler Zahlen mit vorgegebenem Hilbertsymbol

• Quadratische Formen (S 4)

  • Allgemeines zu quadratischen Formen und Moduln

  • Konstruktionen mit quadratischen Formen und Moduln

  • Allgemeine Eigenschaften quadratischer Formen und Moduln

  • Invarianten quadratischer Formen und Moduln

  • Klassifikation quadratischer Formen

    • über 𝔽_q

    • über ℚ_p

    • über ℝ

    • über ℚ

      • Satz von Hasse-Minkowski

    • über ℤ (S 5)

      • die Kategorie S

      • Beispiele für Objekte aus S

      • die Gruppe K(S)

  • Verschiedene Resultate zur Darstellbarkeit von Zahlen über quadratische Formen

• Arithmetische Folgen

  • Charaktere endlicher Gruppen

    • Definition, duale Gruppe

    • Fortsetzung von auf Untergruppen definierten Charakteren

    • Ordnung der dualen Gruppe

    • Bidualgruppe

    • Orthogonalitätsbeziehungen

    • Modulare Charaktere

  • Dirichletreihen

    • Abels Lemma

    • Definition von Dirichletreihen

    • Aussagen zum Konvergenzbereich von Dirichletreihen

    • gewöhnliche Dirichletreihen

  • Zetafunktion und L-Funktion

    • multiplikative Funktionen

    • Konvergenzaussagen für gewisse gewöhnliche Dirichletreihen

    • Zetafunktion

    • L-Funktion

  • Dichtheit und Dirichletscher Primzahlzahl

Algebra

• Gruppen

• Körpererweiterungen

• exakte Sequenzen

• maximale Ideale in k[X₁,…,X_n], wenn k algebraisch abgeschlossen ist