\documentclass{algblatt}
\usepackage{color}

\newenvironment{indentblock}{%
  \list{}{\leftmargin\leftmargin}%
  \item\relax
}{%
  \endlist
}

\definecolor{grey}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
\newcommand{\hint}[1]{\rotatebox{180}{\vbox{\textcolor{grey}{#1}}}}

\begin{document}

\begin{center}\Large \textsf{\textbf{Hinweise zu den Übungsaufgaben in Algebra II}}\end{center}
\vspace{1em}

\section*{Übungsblatt 3}

\paragraph{Aufgabe 1.} Teilaufgabe~a) hat etwas mit Standgruppen zu tun. Für
Teilaufgabe~b) ist interessant, was Fixpunkte mit Bahnen zu tun haben. (Was
sind Fixpunkte denn überhaupt, und was sind Bahnen?) Welche Gleichung der
Vorlesung ist also vermutlich anwendbar?

\paragraph{Aufgabe 4.} Ein beliebiges Element der disjunkt-gemachten
Vereinigung $Y_1 \amalg \cdots \amalg Y_n$ ist ein Paar~$(i,y)$, wobei~$i \in
\{ 1,\ldots,n \}$ ein Index und~$y$ ein Element der entsprechenden Menge~$Y_i$ ist.
Ein \emph{Isomorphismus von~$G$-Wirkungen} ist per Definition eine
bijektive~$G$-äquivariante Abbildung. Für Teilaufgabe~b) ist es hilfreich,~$X$
in Bahnen zu zerlegen.

\paragraph{Aufgabe 5.}
Diese Aufgabe benötigt aber nur die Definition von
Normalteilern und das Verständnis der mengentheoretischen Schreibweise: Die
Menge~$N$ besteht aus all den Elementen von~$G$, welche in allen~$N_i$ liegen. Über die
Größe von~$I$ kann nichts vorausgesetzt werden. Wer mag, kann aber zuerst den
Fall des Schnitts zweier Normalteiler behandeln; der allgemeine Fall verläuft
ähnlich.


\section*{Übungsblatt 4}

\paragraph{Aufgabe 1.} Ein \emph{kleinster Normalteiler, welcher~$H$ umfasst,}
ist per Definition ein Normalteiler~$N$ in~$G$, welcher~$H$ umfasst und welcher
folgende Eigenschaft hat:
Für jeden beliebigen Normalteiler~$N'$ in~$G$, welcher~$H$ umfasst, gilt~$N
\subseteq N'$.

\paragraph{Aufgabe 2.} In beiden Teilaufgaben geht es nicht um
Umkehrfunktionen, sondern um Urbildmengen.

\paragraph{Aufgabe 3.} Die Gruppe~$\GL_n(\RR)$ ist die Menge der
invertierbaren~$(n \times n)$-Matrizen, mit der Matrixmultiplikation als
Gruppenverknüpfung. Die Untergruppe~$\OOO_n(\RR)$ ist die Teilmenge der
orthogonalen Matrizen. Eine Matrix~$A$ heißt genau dann
\emph{orthogonal}, wenn das Produkt~$A^t A$ die
Einheitsmatrix ist. Orthogonale Matrizen haben als Determinante stets~$\pm 1$.
Die Untergruppe~$\SO_n(\RR)$ ist die Teilmenge solcher
orthogonalen Matrizen, deren Determinante~$+1$ ist. Für die Determinante gilt
die Rechenregel~$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.

Bei Teilaufgabe~b) muss man sich zunächst überlegen, ob man~$\SO_n(\RR)$
auf~$\CCC_2$ oder umgekehrt wirken lassen möchte (nur eine Variante
funktioniert), und wie diese Wirkung explizit aussehen soll. Wie bei
Teilaufgabe~c) die Gruppe~$\SO_3(\RR)$ auf~$\RR^3$ wirkt, ist im Skript
angegeben (Beispiel 6.76).

Im Staatsexamen ist das halbdirekte Produkt immer wieder wichtig, um die öfter
vorkommenden Aufgaben der Art \emph{Geben Sie eine nicht-abelsche Gruppe der
Ordnung~2012 an.} zu lösen.

\emph{Für Teilnehmer des Pizzaseminars:} Findet ihr eine kategorielle
Beschreibung des halbdirekten Produkts? (So, wie man das direkte Produkt auch
als terminales Objekt in der Kategorie der Möchtegern-Produkte beschreiben
kann.)

\hint{%
Die Diagonalmatrix, die oben links eine~$-1$ stehen und deren restliche
Diagonaleinträge mit~$+1$ besetzt sind, spielt bei Teilaufgabe~b) eine Rolle.
Wer mich anschreibt, bekommt weitere Tipps.}

\paragraph{Aufgabe 4.} Eine endliche Gruppe heißt genau dann \emph{$p$-Gruppe},
wenn die Anzahl ihrer Elemente eine~$p$-Potenz ist.

\hint{%
Eine nichttriviale~$p$-Gruppe besitzt stets ein Element der Ordnung~$p$ in
ihrem Zentrum. Das Kriterium aus~a) ist für~b) nützlich.}

\paragraph{Aufgabe 5.} Ein \emph{größter endlicher auflösbarer Normalteiler}
ist per Definition ein Normalteiler~$N$ in~$G$, welcher selbst endlich und auflösbar
ist und folgende Eigenschaft hat: Für jeden beliebigen endlichen auflösbaren
Normalteiler~$N'$ in~$G$ gilt~$N' \subseteq N$.

\hint{Für~b) ist~a) nützlich.}


\section*{Übungsblatt 4}

Auf dem gesamten Übungsblatt bezeichnet~"`$p$"' stets eine Primzahl.

\paragraph{Aufgabe 1.} Konventionsgemäß ist die Zahl~$1$ eine~$p$-Potenz. (Wieso
ist das sinnvoll und für Teilaufgabe~b) wichtig?)

\paragraph{Aufgabe 2.} Eine \emph{$p$-Untergruppe von~$G$} ist per Definition
eine Untergruppe von~$G$, deren Ordnung eine~$p$-Potenz ist.
Eine Untergruppe~$H$ heißt per Definition genau dann
\emph{maximal unter allen~$p$-Untergruppen von~$G$}, wenn sie selbst
eine~$p$-Untergruppe von~$G$ ist und außerdem folgende Eigenschaft hat: Ist~$K
\subseteq G$ eine beliebige~$p$-Untergruppe mit~$H \subseteq K$, so gilt
schon~$H = K$.

Eine \emph{maximale} $p$-Untergruppe ist also etwas anderes als eine
\emph{größte} $p$-Untergruppe!

\hint{%
Ein Beispiel zu einem ganz anderem Thema soll den Unterschied verdeutlichen:
Unter den Mengen
\[ \emptyset, \quad \{a\}, \quad \{a,b\}, \quad \{a,b,c\}, \quad \{d\}, \quad \{d,e\}, \quad
\{d,f\} \]
gibt es keine größte, aber drei maximale: Nämlich~$\{a,b,c\}$, $\{d,e\}$
und~$\{d,f\}$. Ferner gibt es eine kleinste (nämlich~$\emptyset$). Diese ist
auch minimal. Ergänzt man noch die Menge~$\{a,b,c,d,e,f\}$, so ändert sich die
Situation: Diese neue Menge ist jetzt die einzige Menge, die maximal ist.
Außerdem ist sie die größte.
Für eine der Richtungen der Behauptung der Aufgabe hilft der erste Sylowsche Satz.}

\paragraph{Aufgabe 3.} Captain Obvious bittet mich, folgenden Tipp zu
verbreiten: Die Sylowschen Sätze könnten helfen.

An dieser Stelle hatte ich ein vollständiges Schema versprochen, jedoch muss
das bis nach der Besprechung warten, da ein solches zu viel vorwegnehmen würde.
Auf Anfrage gebe ich aber trotzdem gerne weitere Tipps.

\hint{%
Ein Beispiel zur Überlappungsfrage: Eine Untergruppe mit~$2^2 \cdot 3^5$
Elementen kann nur im Identitätselement mit einer Untergruppe von~$7^2 \cdot
11^3$ überlappen (wieso?). Eine Untergruppe mit~$2^2 \cdot 3^5$ Elementen kann
mit einer Untergruppe von~$3^2 \cdot 11^3$ Elementen in höchstens~$3^2$ Elementen
überlappen (wieso?).}

\hint{%
Leider bleiben bei anderen Gruppenordnungen meistens mehrere Möglichkeiten für
die Anzahl der Sylowschen~$p$-Untergruppen übrig. In diesen Fällen hilft es
manchmal, für den hypothetischen Fall, dass alle~$n_p > 1$ sind, eine Übersicht
über die Elemente der Gruppe anzulegen: Stets gibt es das neutrale Element.
Ferner gibt es für jede Sylowsche Untergruppe jeweils entsprechend viele
weitere Elemente. Das Identitätselement haben aber all diese Untergruppen
gemeinsam und darf daher nicht mehrfach gezählt werden. Außerdem können sich
Sylowsche Untergruppen zur selben Primzahl nichttrivial überlappen. Sylowsche
Untergruppen zu verschiedenen Primzahlen haben aber stets nur das
Identitätselement gemeinsam (wieso?). Mit diesen Überlegungen kann man versuchen, einen
Widerspruch herzuleiten: Die Elementübersicht muss zeigen, dass es mehr
Elemente geben müsste, als faktisch in der Gruppe vorhanden sind.}

\hint{%
Hier ein Beispiel. Sei~$G$ eine Gruppe mit~$|G| = 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot
7$ Elementen. Dann muss die Anzahl~$n_7$ der Sylowschen~$7$-Untergruppen ein
Teiler von~$2^2 \cdot 3$ und modulo~$7$ kongruent zu~$1$ sein. An positiven
Teilern gibt es nur~$1, 2, 3, 4, 12$. Daher muss~$n_7 = 1$ sein. Es gibt also
genau eine Sylowsche~$7$-Untergruppe, und diese muss daher ein Normalteiler
sein.}

\paragraph{Aufgabe 4.}
Die zweite Voraussetzung an die beiden Primzahlen ist, dass~$p$ kein Teiler
von~$q-1$ ist.

\hint{%
Für Teilaufgabe~a) hilft es vielleicht, die Abbildung
\[ G \longrightarrow \Aut(M), \quad g \longmapsto \mathrm{conj}_g \]
zu betrachten. Dabei bezeichnet~$M$ die Menge der Sylowschen~$3$-Untergruppen
der gegebenen Gruppe~$G$ und~$\Aut(M)$ die Menge der Bijektionen~$M \to M$. Die
Bijektion~$\mathrm{conj}_g$ schickt eine Sylowsche~$3$-Untergruppe~$H$ auf~$g H
g^{-1}$.
}


\section*{Übungsblatt 5}

\paragraph{Aufgabe 1.} Ein~$i$-Minor ist die Determinante einer (nicht
notwendigerweise zusammenhängenden)~$(i \times i)$-Untermatrix. Etwa sind
die~$2$-Minoren der Matrix
\[ \begin{pmatrix}
  1 & 2 & 3 \\
  4 & 5 & 6
\end{pmatrix} \]
die Zahlen~$1\cdot5-4\cdot2$, $1\cdot6-4\cdot3$ und~$2\cdot6-5\cdot3$. Je nach
Konvention gehören die Negativen dieser Zahlen auch noch zu den~$2$-Minoren;
für welche Konvention man sich entscheidet, spielt bei dieser Aufgabe aber
keine Rolle, da es sowieso nur um den größten gemeinsamen Teiler
der~$i$-Minoren geht.

\hint{%
Unter den Transformationen der Vorlesung, die man benötigt, um eine Matrix in
smithsche Normalform zu überführen, ändern sich zwar die~$i$-Minoren, nicht
aber der größte gemeinsame Teiler aller~$i$-Minoren. Dieses Faktum ist ggf. zu
beweisen. Ein eleganter Beweis ist mit Techniken des äußeren Kalküls (siehe
etwa die jetzige~LA-I-Vorlesung) möglich, andere Beweisansätze gibt es aber
sicher auch.}

Für Teilaufgabe~b) kann man das Verfahren aus der Vorlesung (mit Zeilen- und
Spaltentransformationen) oder Teilaufgabe~a) verwenden.

\paragraph{Aufgabe 2.} Bei beiden Teilaufgaben ist also eine Liste von
abelschen Gruppen der jeweiligen Ordnung gesucht, sodass jede abelsche Gruppe
dieser Ordnung isomorph zu einer der Gruppen auf der Liste ist und sodass keine
zwei verschiedenen Gruppen der Liste zueinander isomorph sind. Ohne
Unterstützung mit Vorlesungswissen ist die Aufgabe schwer.

\paragraph{Aufgabe 3.} Die Notation in der Angabe ist etwas seltsam, hat aber
einen guten Grund. Wie dem Text zu entnehmen ist, gilt
\[ A[p^\infty] := \{ x \in A \,|\, \text{$\ord(x)$ ist eine~$p$-Potenz} \}
\subseteq A. \]
Bei der Besprechung von Blatt~5 haben wir gesehen, wie man diese Menge auch
geringfügig einfacher beschreiben kann. Für Teilaufgabe~b) ist ein geeigneter
Isomorphismus
\[ A[p_1^\infty] \times \cdots \times A[p_r^\infty] \longrightarrow A \]
zu finden (anzugeben). Auch muss nachgerechnet werden, dass die gefundene
Abbildung tatsächlich ein Gruppenhomomorphismus ist und bijektiv ist.

\paragraph{Aufgabe 4.} Der Ring~$\ZZ_{(p)}$ ist nicht zu verwechseln mit dem
Restklassenring~$\ZZ/(p)$. Bitte rechnet nicht alle Ringaxiome nach, sondern
nur die Unterringaxiome: Die neutralen Elemente bezüglich Addition und
Multiplikation müssen enthalten sein, die Summe und das Produkt zweier Elemente
muss wieder enthalten sein und Negative von Elementen müssen wieder enthalten sein.

\paragraph{Aufgabe 5.} Es gilt $\ZZ[\zeta] = \{ a_0 + a_1 \zeta + \cdots +
a_{n-1} \zeta^{n-1} \,|\, a_0,\ldots,a_{n-1} \in \ZZ \}$, dieser Umstand muss
nicht nachgewiesen werden.

\hint{Zu Teilaufgabe~b): Die Techniken des üblichen Beweises, dass~$\O_\QQ =
\ZZ$, lassen sich auf diesen Fall übertragen. Ein genauerer Hinweis wird noch
folgen.}


\section*{Übungsblatt 6}

\paragraph{Aufgabe 1.}
Teilaufgabe~a) lautet ausformuliert wie folgt:
Sei~$\varphi : R \to S$ ein Homomorphismus von Ringen. Sei~$\bb \subseteq
S$ ein Ideal in~$S$. Zeige, dass~$\phi^{-1}(\bb) = \{ x \in R \,|\, \phi(x) \in
\bb \} \subseteq R$ ein Ideal in~$R$ ist.
Die Behauptung in Teilaufgabe~b) (welche falsch ist) wäre, dass für ein
Ideal~$\aa \subseteq R$ die Menge~$\phi(\aa) = \{ \phi(x) \,|\, x \in \aa \}
\subseteq S$ ein Ideal von~$S$ ist.

\hint{%
Für Teilaufgabe~b) genügt ein Gegenbeispiel.}

\paragraph{Aufgabe 2.}
Falls ihr euch wundert, welches Ideal von~$\ZZ$ nicht endlich erzeugt ist: In
klassischer Logik gibt es kein solches. (Bonusaufgabe: Beweise das.)

\hint{%
Bitte überseht bei Teilaufgabe~c) kein Ideal. Es sind insgesamt zwei.}

\hint{%
Jedes endlich erzeugte Ideal von~$\ZZ$ ist sogar ein
Hauptideal, kann also von einem einzigen Element erzeugt werden. Ein explizites
Beispiel: Es gilt~$(12,15) = \{ 12a + 15b \,|\, a,b \in \ZZ \} = (3)$.}

\paragraph{Aufgabe 3.} Die Lösung zu Teilaufgabe~c) lässt
sich einfacher aufschreiben, wenn man folgende Charakterisierung verwendet
(welche nicht bewiesen werden muss): Ein Ring~$R$ ist genau dann der Nullring,
wenn~$1 = 0 \in R$.

\hint{%
Ein Beispiel für Teilaufgabe~b): Für~$n = 4$
gilt~$\sqrt{(0)} = (2) \subseteq \ZZ/(4)$.}

\paragraph{Aufgabe 4.} Die Eindeutigkeit des Ringhomomorphismus muss nicht
bewiesen werden. Achtet aber darauf, den Homomorphismus explizit genug anzugeben.

\paragraph{Aufgabe 5.} Bonusfrage: Wie kann man sich~$S \times T$ geometrisch
vorstellen, wenn man geometrische Vorstellungen von~$S$ und~$T$ kennt?

\hint{%
Für die Richtung a) $\Rightarrow$ b) kann man~$S = (e) \subseteq R$ setzen. Mit
den Operationen von~$R$ wird das zu einem Ring, allerdings mit einem anderen
Einselement.}


\section*{Übungsblatt 8}

\paragraph{Aufgabe 1.} "`$f = g$ in~$R[s_i^{-1}]$"' bedeutet, dass die
Brüche~$f/1$ und~$g/1$ als Elemente von~$R[s_i^{-1}]$ gleich sind. Was das
wiederum bedeutet, steht bei der Definition der Lokalisierung im Skript. Bei
Teilaufgabe~b) ist mit "`dem Bild von~$f$ in~$R[s_i^{-1}]$"' das Element~$f/1
\in R[s_i^{-1}]$ gemeint.

\hint{%
Teilaufgabe~b) kann man so anpacken, indem man erstmal ausschreibt, was die
Voraussetzungen sind: Lokal sind Inverse geben, die haben eine bestimmte Form.
Die Inversen sind wirklich Inverse (erfüllen also eine entsprechende Gleichung
die auf~"`$=1$"' endet), das nach kann man Definition in einer Gleichung
über~$R$ umwandeln. Dann mit~"`o.\,B.\,d.\,A."''s etwas Ordnung in den
Index-Dschungel bringen und den~"`$1^N$"'-Trick der Vorlesung verwenden.
Alternativ kann man auch ein bestimmtes Lemma der Vorlesung zu Hilfe nehmen,
dann tauscht man ein paar Rechnungen gegen ein paar allgemeine Überlegungen
ein.
}

\paragraph{Aufgabe 2.} Wenn euch die Definition des gerichteten Limes
im Skript zu ungenau ist, hier eine ausführlichere Definition: Sei ein
gerichtetes System~$(R_i)_{i \in I}$ von Ringen gegeben. Dieses umfasst also
eine bestimmte gerichtete Menge~$I$, für jeden Index~$i \in I$ jeweils einen
Ring~$R_i$ und in der Notation unterdrückte Ringhomomorphismen~$\phi_{ij} : R_i
\to R_j$ für jedes Paar~$(i,j)$ mit~$i \preceq j$. Diese Ringhomomorphismen
müssen für~$i \preceq j \preceq k$ die Gleichung
\[ \phi_{jk} \circ \phi_{ij} = \phi_{ik} : R_i \to R_k \]
erfüllen. Als Menge ist dann der gerichtete Limes~$R :=
\varinjlim_{i \in I} R_i$ durch
\[ R := \Bigl(\coprod_{i \in I} R_i\Bigr)/{\sim} \]
gegeben. Ein beliebiges Element von~$R$ hat also die Form
\[ [\langle i, x\rangle], \]
wobei~$i$ ein Index aus~$I$ und~$x$ ein Element aus dem entsprechenden
Ring~$R_i$ ist. Die Äquivalenzrelation ist durch die Forderung
\[ \langle i, x \rangle \sim \langle j, y \rangle
  \quad:\Longleftrightarrow\quad
  \exists k \in I, i \preceq k, j \preceq k{:}\ \phi_{ik}(x) = \phi_{jk}(y) \]
festgelegt. Ein Element von~$R$ wird also repräsentiert durch ein Element
aus einem der~$R_i$, wobei zwei solche Elemente genau dann als äquivalent
zählen, wenn ihr Bild in einem Ring~$R_k$ mit~$i,j \preceq k$ übereinstimmt.
Die~$\phi$'s stammen aus dem Datum des gerichteten Systems, von dem man den
Limes nimmt.

Die Addition ist wie folgt definiert: Seien~$[\langle i, x \rangle], [\langle
j, y\rangle]$ Elemente von~$R$. Da~$I$ gerichtet ist, gibt es eine gemeinsame
obere Schanke für~$i$ und~$j$, also ein Element~$k \in I$ mit~$i \preceq k$
und~$j \preceq k$. Die Summe der beiden Elemente ist dann als~$[\langle k,
\phi_{ik}(x) + \phi_{jk}(x)]$ definiert. Man kann nachrechnen, dass dieses
Ergebnis nicht von den getroffenen Wahlen (insgesamt drei Stück: den Wahlen der
beiden Repräsentanten und die Wahl von~$k$) abhängt. (Ihr müsst das aber nicht
machen, die Beweislast liegt dafür bei der Vorlesung.) Man addiert also, indem
man die Repräsanten in einen gemeinsamen Ring überführt und dort addiert. Die
Multiplikation funktioniert völlig analog.

In Teilaufgabe~a) meint "`$x \in R_i$ in~$R_j$ invertierbar"',
dass~$\phi_{ij}(x) \in R_j$ invertierbar ist.

\emph{Bonusaufgabe:} Wieso ist wichtig, dass man von einer gerichteten Menge
fordert, dass sie bewohnt ist (also ein Element enthält)?

\hint{%
Für Teilaufgabe~b) kann es sinnvoll sein, die Gesamtheit aller
(als~$\ZZ$-Algebra) endlich erzeugten Unterringe des vorgegebenen Rings zu
betrachten.}

% x in R_j invbar

\paragraph{Aufgabe 3.} Im Skript ist ein Schema-F-Verfahren beschrieben,
mit dem man Teilaufgabe~c) lösen kann. Vergesst nicht, die Irreduzibilität der
gefundenen Faktoren nachzuweisen. Die Kriterien aus Aufgabe~4 könnten dafür und
für Teilaufgabe~b) hilfreich sein.

\paragraph{Aufgabe 4.} In Teilaufgabe~b) lautet die Voraussetzung an~$f(X)$ wie
folgt: Wenn man~$f(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0 \in R[X]$
schreibt, so ist vorausgesetzt, dass~$\overline{f}(X) = X^n + [a_{n-1}]X^{n-1}
+ \cdots + [a_1]X + [a_0] \in (R/I)[X]$ irreduzibel ist.

Wer sich fragt, wann die seltsame Bedingung an~$I$ erfüllt ist: Der
Faktorring~$R/I$ ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn~$I$ ein Primideal
ist. Was das ist, lernen wir nächste Woche.

\hint{%
Für Polynome \emph{über Integritätsbereichen} gilt die übliche Gradformel (wieso?).
}

\paragraph{Aufgabe 5.} In Spiegelschrift folgende manche Lemmas, die hilfreich
sein könnten.

\hint{%
Sei ein Bruch aus~$R[f^{-1}]$ gegeben. Dann kann man den Zähler in~$R$ in
irreduzible Elemente zerlegen. Diese werden in~$R[f^{-1}]$ jedoch im
Allgemeinen nicht irreduzibel sein: Manche werden invertierbar werden! Die
gehören also nicht zur gesuchten Zerlegung des Bruchs in Irreduzible
über~$R[f^{-1}]$.
}

\hint{%
Lemma: Sei ein Element~$x \in R$ irreduzibel und kein Teiler von~$f$. Dann
ist~$x$ auch in~$R[f^{-1}]$ irreduzibel. (Wieso?)}

\hint{%
Lemma: Ein Element~$x \in R$ ist genau dann in~$R[f^{-1}]$ invertierbar, wenn~$x$ ein
Teiler einer gewissen Potenz~$f^n$, $n \geq 0$, ist. (Wieso?)}


\paragraph{Aufgabe 6.} Wer möchte, kann mit dieser Aufgabe mehr als~100\,\% der
Übungspunkte erreichen oder diese interessante Aufgabe zugunsten anderer
Aufgaben bearbeiten. [Es bleibt aber dabei, dass für die 1,0 nicht~100\,\% der
Übungspunkte benötigt werden.] Es darf verwendet werden, dass sich das Ideal
der~$i$-Minoren unter Basiswechsel (d.\,h. unter Multiplikation mit
invertierbaren Matrizen von links und von rechts) nicht ändert. Für
Teilaufgabe~d) folgt ein genauerer Hinweis auf Anfrage per Mail.
% XXX

Matrizen~$A, B$ gleicher Dimension heißen genau dann \emph{zueinander ähnlich},
wenn es invertierbare Matrizen~$R, S$ passender Größe mit~$B = R A S$ gibt.

Ist der zugrundeliegende Ring sogar ein Körper, so führt die Rangdefinition der
Übungs\-auf\-ga\-be auf die bekannte Rangdefinition aus der linearen Algebra.

Eine~$(n \times m)$-Matrix besitzt keinerlei~$i$-Minoren für~$i > n$ und für~$i
> m$. Das Ideal, das von solchen~$i$-Minoren erzeugt wird, ist daher das
Nullideal.

Nur zur Information: Ein Beispiel für einen lokalen Ring ist~$\ZZ_{(p)}$,
wobei~$p$ eine Primzahl ist. Ferner ist jeder Körper ein lokaler Ring. Der Ring
$\ZZ$ selbst ist dagegen kein lokaler Ring. Der Ring~$K[X,Y]_{(X-a,Y-b)} :=
S^{-1}K[X,Y]$ mit~$S := K[X,Y] \setminus (X-a,Y-b) = \{ f(X,Y) \in K[X,Y]
\,|\, f(a,b) \neq 0 \}$ ist ein geometrisch motiviertes Beispiel für einen
lokalen Ring: Seine Elemente sind \emph{Keime} "`guter Funktionen"' auf~$K^2$
-- das sind Funktionen, die nur auf einer kleinen offenen Umgebung um~$(a,b)$ definiert
sein müssen.

\hint{%
Für Teilaufgabe~c) muss man mit verschachtelten Zerlegungen der Eins umgehen.
Ich möchte nicht, dass ihr euch in lauter Technik verliert -- im Digicampus ist
ein allgemeines Lemma festgehalten, dass ihr verwenden könnt.
}

\hint{%
Zu Teilaufgabe~b): Der Fall~$r = 0$ lässt sich kurz erledigen, wieso? Im Fall~$r = 1$
ist mindestens ein Matrixeintrag invertierbar (wieso?). Diesen kann man dann
mit elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen nach oben links bringen
(wieso?). Wie geht es dann weiter? Vielleicht ist folgende allgemeine
Beobachtung nützlich: Wenn das von den~$i$-Minoren erzeugte Ideal das Einsideal
ist, so ist für alle~$j < i$ auch das von den~$j$-Minoren erzeugte Ideal das
Einsideal ist.}

\hint{%
Bei Teilaufgabe~a) lässt sich ein Beispiel über~$R = \ZZ$ finden.
}


\section*{Übungsblatt 9}

\paragraph{Aufgabe 2.} Die erste Teilaufgabe ist so gedacht, dass man
\emph{keine} vollständigen Faktorisierungen in irreduzible Elemente bestimmt,
sondern sich mit teilweisen Faktorisierungen begnügt. Für die zweite
Teilaufgabe steckt im Beweis der Vorlesung, dass der Polynomring über einem
ggT-Ring wieder ein ggT-Ring ist (Proposition~7.97), ein explizites
Verfahren, was man hier einsetzen kann.

\paragraph{Aufgabe 3.} In Teilaufgabe~a) meint~"`$d/c$"' das eindeutig
bestimmte Element~$v \in R$ mit~$vc = d$. (Wieso existiert ein solches?)
Allgemein heißt ein Element~$u$ genau dann \emph{größter gemeinsamer Teiler}
zweier Elemente~$x$ und~$y$, wenn
\begin{itemize}
\item $u$ ein Teiler von~$x$ und von~$y$ ist und
\item für jeden gemeinsamen Teiler~$\widetilde u$ von~$x$ und~$y$ gilt,
dass~$\widetilde u$ ein Teiler von~$u$ ist.
\end{itemize}

\hint{%
Betrachtet für Teilaufgabe~b) den größten gemeinsamen Teiler von~$ac$
und~$bc$.}

\paragraph{Aufgabe 4.} Die Gleichheit~$\O_{\QQ(\omega)} = \ZZ[\omega]$ muss
nicht nachgerechnet werden. Der so erhaltene Ring heißt auch \emph{Ring der
Eisenstein-Zahlen}.

\paragraph{Aufgabe 5.} Im Digicampus findet ihr nützliche Rechenregeln für
Ideale und Ringisomorphismen.

Nur zur Information: Mit klassischer Logik lässt sich auch die Umkehrung der
Aussage in Teilaufgabe~a) zeigen: Ein Element, dass in allen Primidealen eines
Rings enthalten ist, ist tatsächlich schon nilpotent. Wer mag, kann sich daran
versuchen; in unserer Vorlesung haben wir aber nicht die nötige Technologie,
um den Beweis einfach aussehen zu lassen.


\section*{Übungsblatt 10}

\paragraph{Aufgabe 1.} Für Teilaufgabe~a) könnte man die Beweise der
Vorlesung durchgehen (die nämlich garantieren, dass das Ideal lokal ein
Hauptideal ist). Das dauert aber in der Praxis recht lange. Schneller kommt man
zum Ziel, wenn man versucht, durch systematisches Probieren eine geeignete
Zerlegung der Eins zu finden. Beachtet, dass in einem Ring der Form~$R[f^{-1}]$
nicht nur~$f$ selbst, sondern auch alle Teiler von~$f$ invertierbar sind.
Für Teilaufgabe~b) gibt es in der Vorlesung ein
Schema-F-Verfahren (Seite~327). Das sieht auf den ersten Blick länglich und umständlich
aus, wird bei dieser Aufgabe aber schon nach dem ersten Schritt terminieren.

\hint{%
Zwischenergebnisse bei Teilaufgabe~b), zur Kontrolle:
Sei~$\aa = (14,x+7)$ und~$\bb = (35,x-14)$. Dann kann man mit Hilfe der
Rechenregeln für Ideale (siehe Digicampus) sehen, dass für die Summe dieser
beiden Ideale gilt:~$\dd := \aa + \bb = (x)$. Danach sind die
Quotienten~$\tilde\aa := \aa : \dd$ und~$\tilde\bb := \bb : \dd$ zu bestimmen.
Wenn man den Tipp im vorhergehenden Absatz befolgt, kann man diese Rechnungen
durchführen; man erhält~$\tilde\aa = (2,x-x^3)$. Wenn ihr andere
Zwischenschritte zur Idealvereinfachung tätigt, sieht euer Ergebnis vielleicht
anders aus, das wäre also kein Grund zur Beunruhigung. Noch eine allgemeine
Bemerkung: Es gilt~$\aa : \bb = \aa : (\aa + \bb)$, für beliebige
Ideale~$\aa,\bb$.
}

\hint{%
Manche Idealdivisionen lassen sich einfach durchführen: In jedem Ring gilt die
Rechenregel~$(x \cdot a_1, \ldots, x \cdot a_n) : (x) = (a_1,\ldots,a_n)$,
falls~$x$ ein reguläres Element ist (wieso?). Wenn man das Verfahren der Vorlesung
anwendet, kann man also versuchen, die als Divisoren auftretenden Ideale zu
Hauptidealen zu vereinfachen und die als Dividenden auftretenden Ideale so
umzuschreiben, dass ihre Erzeuger jeweils Vielfache des Erzeugers des
Divisorideals sind. Dabei ist die Rechenregel~$7 = x \cdot (3 + x - x^3)$
nützlich (wieso gilt sie?).}

\hint{%
Für~$u := 1 + \sqrt{-13}$ gilt~$u \cdot \overline{u} = 1 + 13 = 14$. Je
nachdem, wie man an Teilaufgabe~a) herangeht, kann diese Beziehung helfen oder
auch nicht helfen.}

\paragraph{Aufgabe 2.} In einer ersten Version des Übungsblatts fehlte die
wichtige Voraussetzung, dass auch schon bei Teilaufgabe~a) der Ring als
prüfersch und das irreduzible Ideal als endlich erzeugt angenommen werden kann.
Entschuldigung dafür!

\hint{%
Für Teilaufgabe~b) ist folgendes Lemma nützlich (was für volle Punktzahl
bewiesen werden müsste): \emph{Seien~$\pp$, $\qq$ endlich erzeugte Primideale in
einem prüferschen Bereich. Gelte~$\pp \subseteq \qq$ und enthalte~$\pp$ ein
reguläres Element (das bedeutet, dass~$\pp$ nicht das Nullideal ist). Dann gilt
schon~$\pp = \qq$.} Hierfür und für den Rest der Teilaufgabe ist das Stichwort
\emph{invertierbare Ideale} hilfreich.}

\hint{%
Um zu zeigen, dass ein irreduzibles Ideal nicht das Einsideal sein kann, muss
man folgende (sehr sinnvolle) Konvention im Hinterkopf behalten: Das leere
Produkt von Idealen ist das Einsideal. Wenn man für den zweiten Teil von
Aufgabe~a) mit~"`sei $xy \in \aa$"' angesetzt hat, hilft es, einen der
folgenden Idealquotienten zu betrachten:
\[ \aa : (x+y), \quad \aa : (xy), \quad \aa : (x), \quad \aa : (x,y). \]
}

\hint{%
Für Teilaufgabe~a): Welche wichtige Rechenoperation mit Idealen funktioniert im
Allgemeinen nur in prüferschen Bereichen gut? Vergesst bitte nicht,
\emph{beide} Primidealaxiome nachzurechnen.}

\paragraph{Aufgabe 3.} Exemplarisch wollen wir genauer verstehen, was der Test
in Teilaufgabe~a) bewerkstelligen kann: Diesem Test kann man ein beliebiges
nicht verschwindendes endlich erzeugte Ideal geben. Sollte das Ideal
irreduzibel sein, meldet das der Test. Sollte das Ideal nicht irreduzibel sein,
gibt es zwei Möglichkeiten: Es könnte das Einsideal sein, oder es könnte nicht
das Einsideal sein. Der Test meldet dann, welcher dieser beiden Fälle
eingetreten ist. Im zweiten Fall gibt er außerdem zwei Faktoren (wiederum
endlich erzeugte Ideale) an, die miteinander multipliziert das getestete Ideal
ergeben. Diese Faktoren sind \emph{echt}, also jeweils nicht das Einsideal.

Diese Aufgabe ist recht interessant. Eine der Hauptschwierigkeiten liegt darin,
zu zeigen, dass das von euch erfundene Verfahren \emph{terminiert}, also nach
endlich vielen Schritten endet. Bitte zögert nicht, mir ggf. Fragen zu
schicken. Insbesondere kann ich euch zeigen, wie man eines der in
Spiegelschrift vorgeschlagenen Hilfsverfahren konstruiert.

Ein endlich erzeugtes Ideal heißt genau dann \emph{nicht verschwindend}, wenn
es nicht das Nullideal ist. In Integritätsbereichen ist das gleichbedeutend
damit, dass es ein reguläres Element enthält (wieso?).

\hint{%
Für Teilaufgabe~a) kann es hilfreich sein, zuerst ein Verfahren zu entwickeln,
was von einem gegebenen nicht verschwindenden endlich erzeugten Ideal
feststellt, ob es das Einsideal ist, oder sonst ein endlich erzeugtes
irreduzibles Ideal findet, was das gegebene umfasst. Für Teilaufgabe~b) kann es
analog hilfreich sein, erst ein Verfahren zu entwickeln, was von einem
gegebenen nicht verschwindenden endlich erzeugten Ideal feststellt, ob es
maximal ist, oder sonst ein endlich erzeugtes maximales Ideal findet, was das
gegebene umfasst. Wozu helfen diese Hilfsverfahren?}

\paragraph{Aufgabe 4.} Induktion über~$m$.

\hint{%
Im Induktionsschritt~$m \to m + 1$ kann man eine aufsteigende Folge~$i_0, i_1, i_2, \ldots$
von Indizes finden, sodass für alle~$n \geq 0$ und~$j \in \{ 1,\ldots,m \}$
gilt: $\aa_{j,i_n} = \aa_{j,i_{n+1}}$.
Wie funktioniert das genau? Was hilft einem das?}

\paragraph{Aufgabe 5.} Umfangreiche Erklärungen mit einem Musterbeispiel finden
sich in einem separaten Dokument im Digicampus. Wenn man nach diesem Dokument
vorgeht, muss man zum Schluss eine große Tabelle anlegen; das macht per Hand
keinen Spaß. Besser ist es, wenn man sich entweder durch viel Denken
Rechenarbeit abnimmt (mühsam!) oder sich eines Computers bedient (empfohlen!).
Man muss das Verfahren nicht bis zum Ende durchziehen, um viele Punkt zu
erzielen.

Wer sich für den zahlentheoretischen Hintergrund interessiert, findet eine
allgemeine Diskussion von reinen kubischen Erweiterungen in einer Notiz von Ian
Kiming:
\url{http://www.math.ku.dk/~kiming/lecture_notes/2003-2004-algebraic_number_theory_koch/pure_cubic_fields.pdf}

\hint{%
Vielleicht muss man das Minimalpolynom einer Zahl der Form
\[ x = \tfrac{1}{108} (a + b\alpha + c\alpha^2) \]
bestimmen. Das kann man mit dem Verfahren aus Algebra~I, Blatt~3, Aufgabe~2
machen: Man stellt bezüglich der~$\QQ$-Basis~$(1,\alpha,\alpha^2)$
von~$\QQ(\alpha)$ die Darstellungsmatrix zur linearen Abbildung~$z \mapsto xz$
auf. Deren charakteristisches Polynom ist dann das Minimalpolynom von~$x$
(falls es zufälligerweise irreduzibel sein sollte) oder zumindest ein
Vielfaches des Minimalpolynoms (und das tatsächliche Minimalpolynom benötigt
man hier gar nicht). Zur Kontrolle: Man erhält
\[ X^3-\frac{a}{36}X^2+\frac{-4bc + a^2}{3888}X + \frac{-16c^3+12abc-4b^3-a^3}{1259712}. \]
}

\hint{%
Die~$\QQ$-Basis~$(1,\alpha,\alpha^2)$ von~$\O_{\QQ(\alpha)}$, wobei~$\alpha = \sqrt[3]{4}$, ist noch
keine Ganzheitsbasis. Für eine richtige Basis muss man das letzte Basiselement
geeignet ersetzen. Zur Kontrolle: Die Diskriminante der dann erhaltenen Basis
ist~$-108$.}


\section*{Übungsblatt 11}

\paragraph{Aufgabe 1.} Diese Aufgabe ist eine typische Staatsexamensaufgabe.
Die "`S"'-Markierung hätte aber das Layout gestört.

\paragraph{Aufgabe 2.} Gibt es Polynome, die keine Nullstellen besitzen, und
trotzdem reduzibel ist?

\paragraph{Aufgabe 3.} Hinweise in Spiegelschrift.

\hint{%
Folgendes Mehr-Schritte-Programm führt zum Erfolg (ohne Gewähr). Punkte gibt
es schon für Teillösungen! Manche Schritte machen mehr Spaß als andere. Die
hinteren Schritte sind nicht unbedingt die schwereren.
\begin{itemize}
\item Was ist ein Kandidat für das Minimalpolynom von~$X$ über~$K(y)$? Hat
etwas mit~$g(X)$ und~$h(X)$ zu tun. Es ist etwas Konzentration erforderlich, um
bei den vielen Variablennamen nicht durcheinander zu kommen. Im Rest der
Aufgabe geht es darum, die Irreduzibilität dieses Polynoms nachzuweisen.
\item Unter den gegebenen Voraussetzungen ist~$y \in K(X)$ transzendent
über~$K$, d.\,h. es gibt keine Polynomgleichung vom Grad~$1$ oder höher,
die~$y$ als Lösung und Koeffizienten aus~$K$ hat.
\item Wegen dieser Transzendenz ist der Ring~$K[y]$ kanonisch isomorph
zu~$K[Y]$. (Der erste Ring ist ein Unterring von~$K(X)$ und enthält alle in~$y$
polynomiellen Ausdrücke. Der zweite Ring ist der Ring der Polynome in der
formalen Unbestimmten~$Y$. Die Unbestimmte~$Y$ ist überhaupt nicht dasselbe wie~$y$.)
\item Der Quotientenkörper von~$K[y]$ ist~$K(y)$. (Direkt nach Definition ist
der Quotientenkörper von~$K[Y]$ gleich~$K(Y)$. Aber das ist nicht die Aussage,
die da steht.)
\item Zeige, dass das im ersten Schritt gefundene Polynom als Polynom
über~$K[y]$ (in der Unbestimmten~$X$) primitiv ist, das also der größte
gemeinsame Teiler der Koeffizienten vor den~$X^i$ Eins ist. Für diesen Schritt
gibt es Bonuspunkte.
\item Argumentiere, dass es genügt, die Irreduzibilität des angeblichen
Minimalpolynoms als Element von~$K[y][X]$ nachzuweisen. (Eigentlich muss ja die
Irreduzibilität als Element von~$K(y)[X]$ nachgewiesen werden.)
\item Weise stattdessen die Irreduzibilität in~$K[X][Y]$ nach. Was ist damit
gemeint? (Diese Frage stellt sich, weil im Polynom ja eigentlich~$y$ statt~$Y$
vorkommt.) Wieso genügt das? Und wieso ist diese Irreduzibilität klar?
\end{itemize}
}

\hint{%
Zu Teilaufgabe a): Mit~$K(X)$ ist der Körper der rationalen Funktionen in einer
Unbestimmten~$X$ über~$K$ gemeint. Seine Elemente sind Brüche, wobei Zähler und
Nenner beliebige Polynome in der Unbestimmten~$X$ sein dürfen (das
Nennerpolynom darf nicht das Nullpolynom sein). Was weiß man daher über die
Gestalt von~$u$? Was hilft das?}

\paragraph{Aufgabe 5.} Detaillierte Erklärungen findet ihr in einem separaten
Blatt zur Kronecker-Konstruktion im Digicampus.


\section*{Blatt 12}

\paragraph{Aufgabe 3.} Ein Polynom~$f$ ist genau dann separabel, wenn Eins ein
größter gemeinsamer Teiler von~$f$ und seiner formalen Ableitung~$f'$ ist.

\hint{In Algebra~I wurde bewiesen, dass jedes irreduzible Polynom über~$\QQ$
schon separabel ist. Den damaligen Beweis kann man in Teilaufgabe~a)
imitieren.}

\paragraph{Aufgabe 4.} In Teilaufgabe~a) müsst ihr nicht nachrechnen, dass~$L$
überhaupt ein Ring ist -- diese Verpflichtung lag bei der Vorlesung. Bitte
vergesst aber nicht den zweiten Teil der Körperbedingung -- ein Ring heißt
genau dann Körper, wenn jedes Element \emph{entweder} Null \emph{oder}
invertierbar ist; das \emph{entweder} ist wichtig! (Wieso?)
In Teilaufgabe~b) ist für jedes~$i \in I$ ein
Ringhomomorphismus~$K_i \to L$ zu finden. Der sollte kanonisch sein, ihr
solltet also nicht willkürliche Wahlen treffen, um ihn anzugeben. Dass eure
Abbildung wirklich ein Homo ist, müsst ihr nicht nachweisen; sollte aber ein
Wohldefiniertheitsnachweis erforderlich sein, wäre der wichtig.

\paragraph{Aufgabe 5.} Ein Körper~$K$ heißt genau dann \emph{vollkommen}, wenn
jedes normierte Polynom über~$K$ ein Produkt separabler Polynome ist. Mehr muss
man über Vollkommenheit nicht wissen, um diese Aufgabe zu bearbeiten.
Bei Teilaufgabe~b) ist kein explizites Gegenbeispiel
nötig. Es genügt eine Argumentation, wieso die eine Richtung eures Beweises
aus~a) noch funktioniert und die andere nicht.


\section*{Blatt 13}

\paragraph{Aufgabe 1.} Bei Teilaufgabe~a) ist zu einem beliebigen Element
aus~$E$ eine~$p$-te Wurzel anzugeben (zusammen mit einem Beweis, dass es sich
dabei wirklich um eine~$p$-te Wurzel handelt).

\hint{%
Bei Teilaufgabe~b) ist zu zeigen: $E$ ist ein Körper und die angegebene
Abbildung ist ein Ringhomomorphismus. Wieso genügt das?
}

\paragraph{Aufgabe 2.} Bei Teilaufgabe~a) ist zu zeigen:
\begin{itemize}
\item Der Primkörper von~$K$ ist überhaupt ein Unterkörper von~$K$.
\item Ist~$U$ irgendein Unterkörper von~$K$, so ist~$U$ ein Oberkörper des
Primkörpers.
\end{itemize}
"`Kleinstheit"' bezieht sich also nicht auf die Anzahl der Elemente, sondern
auf die Inklusionsbeziehung.


\section*{Blatt 14}

\paragraph{Aufgabe 1.} Wenn ihr wollt, dürft ihr bei den Teilaufgaben~b) und~c)
voraussetzen, dass~$L$ endlich über~$K$ ist. Dann gibt es weitere
Beweismöglichkeiten (die aber etwa gleich schwer sind wie ohne die
Zusatzvoraussetzung).

\paragraph{Aufgabe 2.} Mit~$N_{L/K}(x)$ ist die \emph{Norm} des Elements~$x \in
L$ über~$K$ gemeint. Sie ist definiert als die Determinante der~$K$-linearen
Abbildung
\[ L \longrightarrow L,\ z \longmapsto zx. \]

\hint{%
Führe den Fall eines beliebigen Elements~$x$ auf den Fall eines
separablen Elements~$x$ zurück. Für diesen Fall ist nützlich, eine geeignete
Basis von~$L$ über~$K$ zu wählen (eine, die etwas mit~$x$ zu tun hat) und sich
an ein Faktum der Linearen Algebra zu erinnern: Nämlich, dass Minimalpolynom und
charakteristisches Polynom der sog. \emph{Begleitmatrix} eines normierten
Polynoms~$f(X) = X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0$, das ist die
Matrix
\[ B(f) =
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0 \\
    1 & 0 & \cdots & 0 & -c_1 \\
    0 & 1 & \cdots & 0 & -c_2 \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{n-1}
  \end{pmatrix} \in K^{n \times n}, \]
beide gleich~$f(X)$ sind.
}

\paragraph{Aufgabe 3.} Hinweise in Spiegelschrift.

\hint{%
Wieso hilft einem hier der Beweis des Satzes über das primitive Element
überhaupt nicht weiter? (Wieso kann man also nicht das übliche Verfahren zur
Bestimmung eines primitiven Elements verwenden?) Wie kann man stattdessen
vorgehen? Das
\href{http://alg.math.uni-augsburg.de/lehre/ss13/algebra-i/beispiele-und-erklarungen/umgang-mit-rechenbereichserweiterungen/at_download/file}{Hinweisblatt
der Algebra~I über Körpererweiterungen} behält auch über allgemeinen Körpern
Gültigkeit.
}

\paragraph{Aufgabe 4.} Manche Beweise des Kapitels über Transzendenzbasen haben
vielleicht an ähnliche Beweise aus der Linearen Algebra erinnert. Das ist kein
Zufall: Hinter beiden Situationen steckt ein tieferes Konzept, das der sog.
\emph{Spannoperation}. In dieser Aufgabe wollen wir zwei Beispiele für
Spannoperationen kennenlernen. Auf dem nächsten Blatt werden wir dann sehen,
das man sich mit dem Konzept der Spannoperation manche Beweise der Vorlesung und
manche Beweise der Linearen Algebra hätte sparen können.

Eine \emph{Spannoperation} auf einer Menge~$S$ ist eine Vorschrift, die jeder
endlichen Teilmenge~$I \subseteq S$ eine gewisse Teilmenge~$\langle I \rangle
\subseteq S$ (nicht unbedingt endlich) zuordnet. Dabei müssen folgende vier
Axiome erfüllt sein (für alle endlichen Teilmengen~$I,J \subseteq S$ und
Elemente~$x,y \in S$):
\begin{enumerate}
\item[1.] $I \subseteq J \quad\Longrightarrow\quad \langle I \rangle \subseteq
\langle J \rangle$.
\item[2.] $I \subseteq \langle I \rangle$.
\item[3.] $I \subseteq \langle J \rangle \quad\Longrightarrow\quad
\langle I \rangle \subseteq \langle J \rangle$.
\item[4.] $x \in \langle I \cup \{y\} \rangle \quad\Longrightarrow\quad
\text{$x \in \langle I \rangle$ oder $y \in \langle I \cup\{x\} \rangle$}.$
\end{enumerate}

Spannoperationen sind nicht nur in der Algebra, sondern auch in der
Kombinatorik wichtig. Verallgemeinerungen von Spannoperationen sind sog.
\emph{Monaden}, welche überall in der Mathematik vorkommen.

\end{document}
