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\begin{document}

\maketitle{5}{Abgabe bis 19. November 2013, 17:00 Uhr}

\begin{aufgabeE}{2+2}{Beispiele für Sylowsche Untergruppen}
\item
Bestimme alle Sylowschen Untergruppen der alternierenden Gruppe~$\AAA_4$.
\item
Sei~$G$ eine endliche abelsche Gruppe. Sei~$H \subseteq G$ die
Teilmenge all derjenigen Elemente von~$G$, deren Ordnung eine~$p$-Potenz ist.
Zeige, dass~$H$ eine Untergruppe von~$G$ und sogar die einzige
Sylowsche~$p$-Untergruppe ist.
\end{aufgabeE}

\begin{aufgabeE}{1+3}{Grundlagen zu Sylowschen Untergruppen}
\item Seien~$G$ eine endliche Gruppe und~$H \subseteq K \subseteq G$ endliche
Untergruppen. Sei ferner $H$ eine Sylowsche~$p$-Untergruppe zu~$G$. Zeige,
dass~$H$ dann auch eine Sylowsche $p$"~Untergruppe zu~$K$ ist.
\item Sei~$G$ eine endliche Gruppe und~$H \subseteq G$ eine~$p$-Untergruppe.
Zeige, dass~$H$ genau dann
eine Sylowsche $p$"~Untergruppe zu~$G$ ist, wenn~$H$ maximal unter
allen $p$"~Untergruppen von~$G$ ist.
\end{aufgabeE}

\begin{aufgabeE}{3+3}{Existenz nichttrivialer Normalteiler}
\item[S a)] Zeige, dass jede Gruppe der Ordnung~$30$ einen
Sylowschen Normalteiler besitzt.
\item[S b)] Zeige, dass jede Gruppe der Ordnung~$56$ einen
Sylowschen Normalteiler besitzt.
\end{aufgabeE}

\begin{aufgabeE}{3+3}{Weitere Anwendungen der Sylowschen Sätze}
\item[S a)] Zeige, dass jede endliche Gruppe der Ordnung~$36$ nicht einfach ist.
\item[S b)] Seien~$p$ und~$q$ Primzahlen mit~$p < q$ und~$p \nmid q-1$. Zeige,
dass jede Gruppe der Ordnung~$pq$ zyklisch ist.
\end{aufgabeE}

\end{document}
