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\begin{document}

\maketitle{12}{Abgabe bis 21. Januar 2014, 17:00 Uhr}

\begin{aufgabeE}{1+2+2}{Beispielrechnungen in positiver Charakteristik}
\item Finde von jedem Element aus~$\FF_7$ all seine siebten Wurzeln.
\item Sei~$E := \FF_3[X]/(X^3 + X^2 + 2)$. Schreibe~$\alpha := [X] \in E$ als einen
in~$\alpha^3$ rationalen Ausdruck über~$\FF_3$.
\item Sei~$K$ ein Körper der Charakteristik~$p$. Sei~$x$ ein Element einer
Körpererweiterung mit~$K(x) = K(x^p)$. Finde ein separables Polynom
über~$K$, das~$x$ als Nullstelle hat.
\end{aufgabeE}

\begin{aufgabe}{2+2}{Vererbung von Separabilität}
Sei~$L \supseteq E \supseteq K$ ein Turm von Körpererweiterungen. Zeige oder
widerlege:
\begin{enumerate}
\item Ist ein Element aus~$L$ über~$K$ separabel, so auch über~$E$.
\item Ist ein Element aus~$L$ über~$E$ separabel, so auch über~$K$.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{2+2}{Körper von nach unten beschränkter Charakteristik}
Sei~$K$ ein Körper von Charakteristik größer als eine natürliche Zahl~$N$.
\begin{enumerate}
\item Zeige: Jedes irreduzibles Polynom vom Grad~$\leq N$ über~$K$ ist schon
separabel.
\item Sei~$L$ eine Erweiterung von~$K$ vom Grad~$N$.
Zeige: Ist~$K$ faktoriell, so auch~$L$.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{3+1}{Gerichteter Limes von Körpern}
Sei~$(K_i)_{i \in I}$ ein gerichtetes System von Ringen. Seien alle~$K_i$ sogar
Körper.
\begin{enumerate}
\item Zeige, dass der gerichtete Limes~$L := \varinjlim_{i \in I} K_i$ ein
Körper ist.
\item Zeige, dass~$L$ in kanonischer Art und Weise als Körpererweiterung eines
jeden~$K_i$ aufgefasst werden kann.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{2+1}{Separabilität irreduzibler Polynome}
Sei~$K$ ein faktorieller Körper.
\begin{enumerate}
\item Zeige: Genau dann ist jedes irreduzible Polynom
über~$K$ auch separabel über~$K$, wenn~$K$ vollkommen ist.
\item Welche Richtung lässt sich noch zeigen, wenn wir nicht voraussetzen
wollen, dass~$K$ faktoriell
ist?
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
