K Körper, V K-Vektorraum, dim V = n >= 2.

U, W Unterräume von V, U ungleich W.

dim U = k, dim W = l.

Beh.: Aus k = l = n - 1 folgt V = U + W.

Bew.: Es ist also die Mengengleichheit V = U + W zu zeigen, dazu muss man zwei Inklusionen zeigen, V Teilmenge von U + W und V Obermenge von U + W. Letztere Inklusion ist klar, da ja U und W Teilräume von V sind.

Nun müssen wir noch die andere Inklusion zeigen. Das machen wir über den Standardtrick, den wir fast immer einsetzen, wenn eine Inklusion einfach, die andere aber auch nach langem Probieren schwierig zu sein scheint: Wir zählen Dimensionen.

Konkret zeigen wir einfach, dass die Dimension des Summenraums (U+W) gleich n ist. Da nämlich n auch die Dimension von V ist, folgt dann schon die Behauptung.

Dazu nutzen wir die Dimensionsformel für die Summe von Unterräumen:

dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U geschnitten W)

Die Dimensionen von U und W sind ja gegeben (beide (n-1)). Was wissen wir über die Dimension des Schnitts von U und W? Klar ist zumindest, dass diese Dimension höchstens n-1 ist, denn die beiden Summanden U und W haben sind ja nur (n-1)-dimensional, und der Schnitt kann höchstens nur weniger Dimensionen besitzen.

Außerdem aber kann es nicht sein, dass der Schnitt genau Dimension n-1 hat. Denn wäre das der Fall, so wäre der Schnitt identisch mit U (da U eine Teilmenge des Schnitts ist und dann die gleiche Dimension wie der Schnitt hätte), und auch identisch mit W. Somit wäre insbesondere U gleich W, das steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung.

Folglich hat der Schnitt höchstens Dimension n-2. Verwendet man diese Information in der Dimensionsformel, so erhält man:

dim (U + W) = dim U + dim W - dim(U geschnitten W) >= (n-1) + (n-1) - (n-2) = n.

Damit sind wir fertig.

Gesucht: Diejenigen natürlichen Zahlen n >= 2, sodass V sogar die direkte Summe von U und W ist.

Dazu: Da wir schon gezeigt haben, dass V stets (unabhängig vom Wert von n) die Summe von U und W ist, müssen wir nur noch herausfinden, für welche n die Summe direkt ist, d.h. für welche n der Schnitt aus den beiden Summanden U und W nur aus dem Nullvektor besteht.

Äquivalent formuliert: Wir müssen diejenigen n finden, für die der Schnitt von U und W nulldimensional ist. Dazu betrachten wir wieder die obige Dimensionsformel, nur diesmal nach der Dimension des Schnitts aufgelöst:

dim (U geschnitten W) = dim U + dim W - dim (U+W) = (n-1) + (n-1) - dim V = n - 2

Daran sehen wir: Genau dann, wenn n gleich 2 ist, ist der Schnitt nulldimensional. Somit ist genau dann, wenn n gleich 2 ist, die Summe direkt.

Warnung: Es hätte nicht genügt, nur zu zeigen, dass im Falle von n=2 die Summe direkt ist; dann hätte nämlich ein Beweis der Tatsache gefehlt, dass die Summe nur für n=2 direkt ist.