Zu Quotientenvektorraeumen:
1) Definition
2) Rechenregeln
3) Wohldefiniertheitsprobleme
4) Dimensionsformel, Basis
5) Nutzen (unter anderem: zum Gewinnen neuer Vektorraeume aus alten, zur
   Injektivmachung von linearen Abbildungen, zur Definitmachung von
   semidefiniten Bilinearformen, zur Konstruktion des Tensorprodukts)
Dabei natuerlich viele Beispiele.

Exakte Sequenzen:
1) Definition
2) Nutzen
3) Grundlegende Beispiele
4) Homologie
Fuer 3) und 4) benoetigt man Quotientenvektorraeume, daher diese
Reihenfolge.

Bitte keine Angst vor diesen zwei abstrakten Themen haben! Wenn man
einmal durchgestiegen ist, sieht man, dass das zwei besonders wenig
komplexe Themen sind. Da wir ja am Sonntag und Freitag wahrscheinlich
weniger sein werden, kommen eure Fragen auch besser zum Zug.



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Quotientenvektorraeume

1) Definition

Def.: Sei U irgendein Unterraum irgendeines Vektorraums V.
Dann ist V/U definiert als
  V/U = { [v] | v aus V },
wobei [v] = { w | v ~ w } und v ~ w :<=> v - w in U.
Es gilt [v] = v + U.
Ferner gibt es die kanonische Abbildung
  pi: V --> V/U, v |-> [v].
Diese ist stets linear und surjektiv, und es gilt ker pi = U.

2) Rechenregeln

a) [v] = [w] <=> v - w in U.
b) [v] = 0 <=> v in U.
c) [v] + [w] = [v+w], a [v] = [av] fuer alle v,w aus V, a aus K.

3) Wohldefiniertheitsprobleme

Ganz allgemein, unabhaengig von Quotientenvektorraeumen, muss man, immer,
wenn man eine Funktion f: X --> Y definieren moechte, folgende drei Dinge
pruefen:

a) Jedes Element aus der Definitionsmenge X wird irgendwohin abgebildet.
b) Jedes Element aus der Definitionsmenge X wird auch nur auf ein
einziges Element abgebildet.
c) f(x) liegt in Y für alle x in X.

Beispiele:
f: R -> R, x |-> 1/x erfuellt nicht a), aber b) und c).
g: R -> R, x |-> plusminus x erfuellt a) und c), aber nicht b).
h: R -> [0,5], x |-> x erfuellt a) und b), aber nicht c).

Oft moechte man speziell im Kontext linearer Abbildungen folgendes
machen: Man hat eine lineare Abbildung f: V --> W zwischen Vektorraeumen
gegeben und definiert dann:

  f-quer: V/U --> W, [v] |-> f(v)

Diese Abbildung heisst "die von f induzierte Abbildung". Im Allgemeinen
ist diese Setzung aber *nicht* wohldefiniert. Vielmehr gilt folgendes
Kriterium:

  f-quer ist genau dann wohldefiniert, wenn U Teilmenge ker f.

Bem.: Nimmt man als Unterraum U einfach ker f, so ist also f-quer
wohldefiniert, und ausserdem ist f-quer injektiv; auch, wenn f es
vielleicht nicht war.

4) Dimensionsformel, Basis

Prop.: dim(V/U) = dim V - dim U.

Genauer: Seien v_1, ..., v_l Vektoren aus V. Dann bilden die
Aequivalenzklassen [v_1], ..., [v_l] genau dann eine Basis von V/U, wenn
l = dim V - dim U und span(v_1,...,v_l) geschnitten U = { 0 }.

Das kann man auch noch anders formulieren: Sei u_1,...,u_k irgendeine
Basis von U. Ergaenze diese zu einer Basis vom ganzen V, u_1,...,u_n.
Die Aequivalenzklassen [u_(k+1)],...,[u_n] der ergaenzten Vektoren
bilden dann eine Basis von V/U.

5) Nutzen

Beispielsweise zur Schaffung von Vektorraeumen mit bestimmten
Rechenregeln, zur Injektivmachung von lineare Abbildungen, zur
Definitmachung semidefiniter Bilinearformen.


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Exakte Sequenzen

1) Definition

steht im Skript.

2) Nutzen

In vielen Teilgebieten der Mathematik (algebraische Geometrie,
algebraische Topologie, ...) kommen die Beispiele aus 3) sehr oft vor,
sodass man die Kurzschreibweise mit den Sequenzen eingefuehrt hat.

3) Grundlegende Beispiele

a) Sei f: V --> W irgendeine lineare Abbildung zwischen Vektorraeumen.
Dann ist die Sequenz 0 --> V --> W, wobei die erste Abbildung die
Nullabbildung und die zweite Abbildung f ist, genau dann an der Stelle V
exakt, wenn f injektiv ist.

b) "Dual" dazu: Sei f: V --> W irgendeine lineare Abbildung zwischen
Vektorraeumen. Dann ist die Sequenz V --> W --> 0, wobei die erste
Abbildung f und die zweite die Nullabbildung ist, genau dann an der
Stelle W exakt, wenn f surjektiv ist.

c) Seien f: V --> W und g: W --> Z lineare Abbildungen zwischen
Vektorraeumen. Dann ist die Sequenz 0 --> V --> W --> Z --> 0, wobei die
erste Abbildung die Nullabbildung, die zweite f, die dritte g und die
letzte die Nullabbildung ist, genau dann exakt (an den Stellen V, W und
Z), wenn f injektiv, g surjektiv und im f = ker g ist.

d) Sei U ein Unterraum eines Vektorraums V. Dann ist die Sequenz 0 --> U
--> V --> V/U --> 0 stets exakt, wobei die erste Abbildung die
Nullabbildung, die zweite die Inklusion, die dritte die kanonische
Projektionsabbildung und die vierte die Nullabbildung ist.