0.0.1 ↑ 118. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 257, Aufgabe 22
Vertrackte Substitutionen:
- c)
\displaystyle {}\int \frac{1}{x \sqrt{1 - x^2}} \,\mathrm{d}x = {}\int \frac{1}{\cos t \underbrace{\sqrt{1 - \cos^2 t}}_{\sin t}} \cdot \left(\cos t\right)' \,\mathrm{d}t = {}\int -\frac{1}{\cos t} \,\mathrm{d}t = {}-\int \frac{1 + \tan^2 t/2}{1 - \tan^2 t/2} \,\mathrm{d}t = {}-\int \frac{1 + z^2}{1 - z^2} \cdot \underbrace{\left(2 \arctan z\right)'}_{\frac{2}{x^2 + 1}} \,\mathrm{d}z = {}-2 \int \frac{1}{1 - z^2} \,\mathrm{d}z = {}-\int \frac{1}{1 + z} + \frac{1}{1 - z} \,\mathrm{d}z + C = {}-\left[\ln\!\left|1 + z\right| - \ln\left|1 - z\right|\right] + C = {}-\ln \left|\frac{1 + z}{1 - z}\right| + C = {}-\ln \left|\frac{1 + \tan t/2}{1 - \tan t/2}\right| + C = {}-\ln \left|\frac{1 + \tan\!\left(\frac{1}{2} \arccos x\right)}{1 - \tan\!\left(\frac{1}{2} \arccos x\right)}\right|\! + C;
Substitutionen:
x = \cos t; ⇔ t = \arccos x;
t = 2 \arctan z; ⇔ z = \tan t/2;
- d)
\int \frac{1}{1 + \sin x} \,\mathrm{d}x
0.0.1.2 ↑ Selbstgestellte Aufgabe
- a)
\int \frac{\ln^4 x}{x} \,\mathrm{d}x = \int \ln^4 x \cdot \left(\ln x\right)' \mathrm{d}x = \frac{1}{5} \ln^5 x + C;
- b)
\int \frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}} \,\mathrm{d}t = \int \frac{\sin u}{u} \cdot \left(u^2\right)' \mathrm{d}u = 2 \int \sin u \,\mathrm{d}u = -2 \cos u = -2 \cos \sqrt{t} + C;
"ich schau' dann recht grimmig, weil damit zerstör' ich ihr Feindbild nocht... das nennt man dann »Rücksicht«"