«K12/K13» 59. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 59. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 163, Aufgabe 6b

Die Ortsvektoren von A(6, 0, 3)$A\left(6,0,3\right)$, B(6, 12, 0)$B\left(6,12,0\right)$ und C(-3, 0, 6)$C\left(-3,0,6\right)$ spannen ein Spat auf.

M$M$ ist Kantenmittelpunkt, S$S$ ist Mittelpunkt der Deckfläche.

Berechne den Schnittpunkt U$U$ von \left[CT\right]$\left[CT\right]$ und \left[0D\right]$\left[0D\right]$.

[T = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\5\end{smallmatrix}\!\right)\!;$T=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right);$]

\vec D = \vec A + \vec B;$\overrightarrow{D}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B};$

\left[CT\right]\!{:}\, \vec X = \vec C + k \overrightarrow{CT}; \quad k \in \left[0, 1\right];$\left[CT\right]:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{C}+k\overrightarrow{CT};k\in \left[0,1\right];$

\left[0D\right]\!{:}\, \vec X = 0 + l \vec D; \quad l \in \left[0, 1\right];$\left[0D\right]:\overrightarrow{X}=0+l\overrightarrow{D};l\in \left[0,1\right];$

Gleichsetzen bringt: l = 1; \quad k = 3;$l=1;k=3;$

Da dieser Wert für k$k$ nicht in der Definitionsmenge von k$k$ liegt, gibt es keinen Schnittpunkt.

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 164, Aufgabe 8

K$K$ und L$L$ sind Kantenmitten der vierseitigen Pyramide ABCDE$ABCDE$.

a)

Zeige, dass sich CK$CK$ und DL$DL$ schneiden, und berechne den Schnittpunkt S$S$.

A(6, -12, 0)$A\left(6,-12,0\right)$, B(6, 0, 0)$B\left(6,0,0\right)$, C(-3, 0, 0)$C\left(-3,0,0\right)$, D(-3, -12, 0)$D\left(-3,-12,0\right)$, E(0, 0, 6)$E\left(0,0,6\right)$

{} \vec K = \frac{\vec A + \vec E}{2} = {} \left(\!\begin{smallmatrix}3\\-6\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad {} \vec L = \frac{\vec B + \vec E}{2} = {} \left(\!\begin{smallmatrix}3\\0\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{K}=\frac{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{E}}{2}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 3\end{array}\right);\overrightarrow{L}=\frac{\overrightarrow{B}+\overrightarrow{E}}{2}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right);$

Gleichsetzen und Auflösen bringt k = v = \frac{2}{3};$k=v=\frac{2}{3};$

Einsetzen bringt S = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-4\\\frac{2}{3}\end{smallmatrix}\!\right)\!;$S=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ \frac{2}{3}\end{array}\right);$

b)

Untersuche die Lage von AC$AC$ und ES$ES$. Schnittpunkt T$T$?

Gleichsetzen bringt Widerspruch; es gibt kein Schnittpunkt.

[XXX Falsch: S(\frac{3}{2}, -6, 0);$S\left(\frac{3}{2},-6,0\right);$]

c)

Untersuche die Lage von DK$DK$ und CL$CL$. Schnittpunkt U$U$?

Gleichsetzen und Auflösen bringt k = v = 2;$k=v=2;$

Einsetzen bringt U = \left(\!\begin{smallmatrix}9\\0\\6\end{smallmatrix}\!\right)\!;$U=\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 6\end{array}\right);$

0.0.1.3 ↑ Geometrie-Buch Seite 167, Aufgabe 20

A(1,2,2)$A\left(1,2,2\right)$, B(2,-1,1)$B\left(2,-1,1\right)$, g_k{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\4\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}2k\\-9\\-3\end{smallmatrix}\!\right)\!;$g_k:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 2\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}2k\\ -9\\ -3\end{array}\right);$

a)

Beschreibe die Schar g_k$g_k$.

Die Schar besteht aus unendlich vielen zueinander nicht parallelen geraden, die sich alle im Aufpunkt schneiden.

b)

Bestimme k$k$ so, dass g_k$g_k$ parallel zu AB$AB$ ist.

\left(\!\begin{smallmatrix}2k\\-9\\-3\end{smallmatrix}\!\right) = k \overrightarrow{AB} = \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\left(\begin{array}{c}2k\\ -9\\ -3\end{array}\right)=k\overrightarrow{AB}=\mu \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right);$

⇒ \mu = 3;$\mu =3;$

⇒ 2k = \mu \cdot 1 = 3;$2k=\mu \cdot 1=3;$ ⇒ k = \frac{3}{2};$k=\frac{3}{2};$

c)

Für welche Werte von k$k$ sind AB$AB$ und g_k$g_k$ windschief?

windschief ⇔ nicht parallel und nicht scheidend

Gleichsetzen bringt Widerspruch ⇔ schneiden sich niemals in einem Punkt

Also: k \neq \frac{3}{2};$k\ne \frac{3}{2};$