«K12/K13» 72. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 72. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 94, Aufgabe 11

A(-4,12,-9)$A\left(-4,12,-9\right)$, B(14,3,6)$B\left(14,3,6\right)$. C(c_1, 6, c_3)$C\left(c_1,6,c_3\right)$ liegt auf der Gerade AB$AB$.

Bestimmte das Teilverhältnis \gamma$\gamma$, in dem C$C$ die Strecke \left[AB\right]$\left[AB\right]$ teilt.

Berechne den vierten harmonischen Punkt D$D$ von A$A$, B$B$ und C$C$.

\overrightarrow{AC} = \gamma \overrightarrow{CB};$\overrightarrow{AC}=\gamma \overrightarrow{CB};$ ⇔ \gamma = \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}} = 2;$\gamma =\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}}=2;$

\vec D - \vec A = \overrightarrow{AD} = -2 \overrightarrow{DB} = -2 \vec B + 2 \vec D;$\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}=\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{DB}=-2\overrightarrow{B}+2\overrightarrow{D};$ ⇔ \vec D = 2 \vec B - \vec A = \left(\!\begin{smallmatrix}32\\-6\\21\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{D}=2\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}32\\ -6\\ 21\end{array}\right);$

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 94, Aufgabe 12

Zeige: A(1,2,1)$A\left(1,2,1\right)$, B(6,2,-4)$B\left(6,2,-4\right)$, C(4,2,-2)$C\left(4,2,-2\right)$ und D(16,2,-14)$D\left(16,2,-14\right)$ sind harmonische Punkte.

\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{CB};$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{CB};$ ⇔ \lambda = \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}} = \frac{3}{2};$\lambda =\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}}=\frac{3}{2};$

\vec D - \vec A = \overrightarrow{AD} = -\lambda \overrightarrow{DB} = -\lambda \vec B + \lambda \vec D;$\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}=\overrightarrow{AD}=-\lambda \overrightarrow{DB}=-\lambda \overrightarrow{B}+\lambda \overrightarrow{D};$ ⇔ \vec D = \frac{-\lambda \vec B + \vec A}{1 - \lambda} = \left(\!\begin{smallmatrix}16\\2\\-14\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{D}=\frac{-\lambda \overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}}{1-\lambda }=\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -14\end{array}\right);$ → stimmt