«K12/K13» Integrale über Linien und Flächen in der Elektrodynamik «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Integrale über Linien und Flächen in der Elektrodynamik

Spezialfall Kugeloberfläche mit einer Punktladung in der Mitte:

\mathcal{E}(r)$\mathcal{ℰ}\left(r\right)$ auf der Hülle mit konstantem Radius r$r$

⇒ \varepsilon_0 \mathcal{E}(r) \cdot 4 \pi r^2 = Q;${\varepsilon }_0\mathcal{ℰ}\left(r\right)\cdot 4\pi r^2=Q;$

⇒ \mathcal{E}(r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2};$\mathcal{ℰ}\left(r\right)=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{Q}{r^2};$ (COULOMBfeld; Kugelsymmetrie)

\displaystyle {} \oint \frac{\vec{\mathcal{B}}}{\mu_0} \,\mathrm{d}\vec s = {} I; \left[\mathrm{A}\right]$\oint \frac{\overrightarrow{\mathcal{ℬ}}}{{\mu }_0}\text{d}\overrightarrow{s}=I;\left[\text{A}\right]$

[Konzentrischer] Kreis mit [Radius] r$r$:

⇒ \frac{\mathcal{B}(r)}{\mu_0} \cdot 2 \pi r = I;$\frac{\mathcal{ℬ}\left(r\right)}{{\mu }_0}\cdot 2\pi r=I;$

⇒ \mathcal{B}(r) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I}{r};$\mathcal{ℬ}\left(r\right)=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I}{r};$ (Zylindersymmetrie)

\displaystyle {} \int\limits_{P_1}^{P_2} \vec{\mathcal{E}} \,\mathrm{d}\vec s = \Delta \varphi = U_{1,2};$\underset{P_1}{\overset{P_2}{\int \; <!--nolimits-->}}\overrightarrow{\mathcal{ℰ}}\text{d}\overrightarrow{s}=\Delta \varphi =U_{1,2};$ →" Skalarfeld \varphi(r)$\varphi \left(r\right)$"

\displaystyle {} \oint \vec{\mathcal{E}} \,\mathrm{d}\vec s = 0 \,\mathrm{V}$\oint \overrightarrow{\mathcal{ℰ}}\text{d}\overrightarrow{s}=0\text{V}$, falls \vec{\mathcal{E}}(\vec r)$\overrightarrow{\mathcal{ℰ}}\left(\overrightarrow{r}\right)$ ein wirbelfreies Feld ist.

\displaystyle {} \oint \vec{\mathcal{B}} \,\mathrm{d}\vec s = \mu_0 I$\oint \overrightarrow{\mathcal{ℬ}}\text{d}\overrightarrow{s}={\mu }_{0}I$, da \vec{\mathcal{B}}(\vec r)$\overrightarrow{\mathcal{ℬ}}\left(\overrightarrow{r}\right)$ ein Wirbelfeld ist.

\displaystyle {} \oint \vec{\mathcal{E}} \,\mathrm{d}\vec s = {} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} {} \iint \vec{\mathcal{B}}(\vec{r}, t) \,\mathrm{d}\vec A;$\oint \overrightarrow{\mathcal{ℰ}}\text{d}\overrightarrow{s}=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iint \overrightarrow{\mathcal{ℬ}}\left(\overrightarrow{r},t\right)\text{d}\overrightarrow{A};$

Die MAXWELLschen Gleichungen:

3. \displaystyle {} \oint \vec{\mathcal{E}} \,\mathrm{d}\vec s = {} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} {} \iint \vec{\mathcal{B}}(\vec{r}, t) \,\mathrm{d}\vec A; \left[\mathrm{V}\right]$\oint \overrightarrow{\mathcal{ℰ}}\text{d}\overrightarrow{s}=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iint \overrightarrow{\mathcal{ℬ}}\left(\overrightarrow{r},t\right)\text{d}\overrightarrow{A};\left[\text{V}\right]$

4. \displaystyle {} \oint \frac{\vec{\mathcal{B}}}{\mu_0} \,\mathrm{d}\vec s = {} I; \left[\mathrm{A}\right]$\oint \frac{\overrightarrow{\mathcal{ℬ}}}{{\mu }_0}\text{d}\overrightarrow{s}=I;\left[\text{A}\right]$