Zur Globalübung vom 16.6.2008

Rand vom Rand

1. Beh.: $\partial \partial M=\partial M$ gilt nicht für alle Mengen $M\subset {\mathbb{ℝ}}^n$

   Bew.: Wähle $M=\mathbb{\mathbb{Q}}\subset {\mathbb{ℝ}}^1$. Dann ist nach Übungsaufgabe $\partial M=\mathbb{ℝ}$, aber $\partial \partial M=\varnothing \ne \mathbb{ℝ}=\partial M$.

2. Beh.: $\partial \partial \partial M=\partial \partial M$ für alle Mengen $M\subset {\mathbb{ℝ}}^n$

   Bew.:

   • $\subset$:

     $\partial \partial M$ ist als Rand einer Menge abgeschlossen, somit liegt der Rand von $\partial \partial M$ ganz in $\partial \partial M$.

   • $\supset$:

     Sei $x\in \partial \partial M$, d.h. es gibt Folgen $\left(x_k\right)$, $\left({\tilde{x}}_k\right)$ mit $x_k,{\tilde{x}}_k\to x$ und $x_k\in \partial M$, ${\tilde{x}}_k\notin \partial M$.

     Setze $y_k:=x\in \partial \partial M$, ${ỹ}_k:={\tilde{x}}_k$. ${ỹ}_k$ liegt nicht in $\partial \partial M$, denn angenommen schon: Dann würde ${ỹ}_k={\tilde{x}}_k$ auch in $\partial M$ liegen, da $\partial \partial M\subset \partial M$; Widerspruch.

     Mit $\left(y_k\right)$ und $\left({ỹ}_k\right)$ sind die hinreichenden Bedingungen der Def. des Randpunkts erfüllt, $x$ ist also ein Randpunkt von $\partial \partial M$ und somit in $\partial \partial \partial M$ enthalten.