Zum 12. LAII-Übungsblatt

Spiegelungszerlegung

Beh.: Aus $A\in L\left(V,V\right)$ mit $A^2=Id$ folgt nicht die direkte Zerlegbarkeit von $V$ in $V=Kern\left(A+Id\right)\oplus Kern\left(A-Id\right)$.

Bew.: Betrachte als Gegenbeispiel den Vektorraum $V=K^2$ über dem Körper $K=\left\{0,1\right\}$ mit zwei Elementen mit der kanonischen Basis $\left\{e_1,e_2\right\}$. Definiere $A\in L\left(V,V\right)$ durch lineare Fortsetzung:

$\begin{array}{ccc}\hfill A{e}_1& \hfill =\hfill & e_2\hfill \\ \hfill A{e}_2& \hfill =\hfill & e_1\hfill \end{array}\text{also }M\left(A;B,B\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)$

Dann gilt zwar $A^2=Id$, aber die Zerlegung erfasst erstens nicht den gesamten Raum $V$, und zweitens ist sie nicht direkt. Bezeichne mit $Ã$ die Abbildung, von der der Kern genommen wird, also $Ã:=A-Id=A+\left(-Id\right)=A+Id$. Dann gilt:

$Ãe_1=Ãe_2=e_1+e_2,\text{also }M\left(Ã;B,B\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$

$KernÃ$ ergibt sich damit zu $span\left[e_1+e_2\right]$; damit ist klar: $Kern\left(A+Id\right)+Kern\left(A-Id\right)=KernÃ+KernÃ=KernÃ=span\left[e_1+e_2\right]\ne V$.