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Das Problem der Quadratverdoppelung

Übungen .

0.8

Es gilt: $x^2=2$
$1<x<2$ $\Rightarrow$ $x \notin \mathds{Z}$
Annahme: $x\in\mathds{Q}$: $x=\frac{p}{q}$, wobei $p\in\mathds{Z}$ und $q\in\mathds{N}$, $p$,$q$ teilerfremd und $q\neq1$.

$x$ Lösung von $x^2=2$
$(\frac{p}{q})^2=2$
$\frac{p\cdot{}p}{q\cdot{}q}=2$ stimmt nicht!

Ergebnis:

$x^2=2$ is in $\mathds{Q}$ nicht lösbar.
Das heißt die Menge $\mathds{Q}$ der rationalen Zahlen ist unvollständig.

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