«11C» Differentialrechnung «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Differentialrechnung

0.0.1.1 ↑ Einführung

Steigung einer Kurve im Punkt P_0(x_0; y_0)$P_0\left(x_0;y_0\right)$ -- Tangente:

Wir wählen einen benachbarten Punkt P(x; y)$P\left(x;y\right)$ und bestimmen die Steigung m_s$m_s$ der Sekante P_0P$P_{0}P$.

m_s = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y - y_0}{x - x_0};$m_s=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{x-x_0};$ (Differenzenquotient)

Wander der Punkt P$P$ auf der Kurve gegen den festen Punkt P_0$P_0$, so strebt die zugehörige Sekante einer Grenzlage zu, mit der Steigung m_t$m_t$ (Tangentensteigung).

{} P \to P_0; \Leftrightarrow {} \left\{\begin{array}{lll}x&\to&x_0; \\ y &\to&y_0;\end{array}\right\} \Leftrightarrow {} \left\{\begin{array}{lll}x&\to&x_0; \\ f(x)&\to&f(x_0);\end{array}\right\} \Rightarrow {} m_t = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0};$P\to P_0;\iff \left\{\begin{array}{ccc}x\hfill & \to \hfill & x_0;\hfill \\ y\hfill & \to \hfill & y_0;\hfill \end{array}\right\}\iff \left\{\begin{array}{ccc}x\hfill & \to \hfill & x_0;\hfill \\ f\left(x\right)\hfill & \to \hfill & f\left(x_0\right);\hfill \end{array}\right\}\Rightarrow m_t=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0};$ (Differentialquotient von f$f$ an der Stelle x_0$x_0$)

Def.: Eine Funktion f: x \mapsto f(x)$f:x\mapsto f\left(x\right)$ heißt an der Stelle x_0 \in D_f$x_0\in D_f$ differenzierbar, wenn die zugehörige Differenzenquotientenfunktion m_s = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$m_s=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ mit x \in D_f \setminus \left\{ x_0 \right\}$x\in D_f\setminus \left\{x_0\right\}$ an der Stelle x_0$x_0$ stetig ergänzbar ist, d.h. wenn m_t = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$m_t=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ (Differentialquotient) existiert. Der Grenzwert wird auch als Ableitung von f$f$ an der Stelle x_0$x_0$ bezeichnet und man schreibt dafür f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0};$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0};$

Beispiele: Ableitung an der Stelle x_0$x_0$:

• Quadratfunktion:

  f(x) = x^2;$f\left(x\right)=x^2;$

  ⇒ f'(x_0) = 2x_0;$f^{\prime }\left(x_0\right)=2x_0;$

• Identische Funktion:

  f(x) = x;$f\left(x\right)=x;$

  ⇒ f'(x_0) = 1;$f^{\prime }\left(x_0\right)=1;$

• Konstante Funktion:

  f(x) = c;$f\left(x\right)=c;$

  ⇒ f'(x_0) = 0;$f^{\prime }\left(x_0\right)=0;$

• Kubische Funktion:

  f(x) = x^3;$f\left(x\right)=x^3;$

  ⇒ f'(x_0) = 3x_0^2;$f^{\prime }\left(x_0\right)=3x_0^2;$

• Betragsfunktion an der Stelle x_0 = 0$x_0=0$:

  f(x) = \left|x\right| = \begin{cases}-x & \text{f"ur } x < 0; \\ x & \text{f"ur } x > 0;\end{cases}$f\left(x\right)=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{cc}-x\hfill & \text{f”ur }x<0;\hfill \\ x\hfill & \text{f”ur }x>0;\hfill \end{array}\right.$

  Rechtsseitige Ableitung: f_r'(0) = \ldots = 1;$f_r^{\prime }\left(0\right)=\dots =1;$

  Linksseitige Ableitung: f_l'(0) = \ldots = -1;$f_l^{\prime }\left(0\right)=\dots =-1;$

  \left|x\right|$\left|x\right|$ ist an der Stelle x_0 = 0$x_0=0$ nicht diffbar (Knickstelle).

• Wurzelfunktion:

  f(x) = \sqrt{x};$f\left(x\right)=\sqrt{x};$

  f'(x_0) = \ldots = \frac{1}{2\sqrt{x_0}};$f^{\prime }\left(x_0\right)=\dots =\frac{1}{2\sqrt{x_0}};$

• Reziproke Funktion:

  f(x) = \frac{1}{x};$f\left(x\right)=\frac{1}{x};$

  f'(x_0) = \lim\limits_{x\to{}x_0}\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0} = \lim\limits_{x\to{}x_0}\dfrac{x_0-x}{xx_0\left(x-x_0\right)} = \lim\limits_{x\to{}x_0}-\dfrac{1}{xx_0} = -\dfrac{1}{x_0^2};$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x_0-x}{x{x}_0\left(x-x_0\right)}=\underset{x\to x_0}{lim}-\frac{1}{x{x}_0}=-\frac{1}{x_0^2};$

0.0.1.2 ↑ Die Ableitungsfunktion

Def.: Ist die Funktion f$f$ für alle x \in D_f$x\in D_f$ diffbar, so heißt f$f$ in D_f$D_f$ diffbar. Man nennt dann die Funktion f': x \mapsto f'(x); \qquad x \in D_f$f^{\prime }:x\mapsto f^{\prime }\left(x\right);x\in D_f$ die Ableitungsfunktion (kurz die Ableitung) von f$f$. Die Rechenoperation, die f$f$ überführt in f'$f^{\prime }$, nennt man Ableiten oder Differenzieren.

Andere Schreibweisen für f'$f^{\prime }$: y'$y^{\prime }$, f'(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x};$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\text{d}y}{\text{d}x};$ ("\mathrm{d}y$\text{d}y$ nach \mathrm{d}x$\text{d}x$"), f'(x) = \dot{f}(t);$f^{\prime }\left(x\right)=ḟ\left(t\right);$

Merke: Ist f$f$ an der Stelle x_0$x_0$ diffbar, so ist f$f$ dort auch stetig. (Notwendig für die Diffbarkeit ist Stetigkeit.)

f$f$ diffbar; ⇒ f$f$ stetig;

f$f$ nicht stetig; ⇒ f$f$ nicht diffbar;

0.0.1.3 ↑ Ableitungsregeln

• Ableitung einer Summe: f(x) = u(x) + v(x);$f\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right);$

  {} \begin{array}{rcl} {} f'(x_0) &=& \lim\limits_{x\to{}x_0} \dfrac{u(x) + v(x) - u(x_0) - v(x_0)}{x - x_0} = \\ {} &=& \lim\limits_{x\to{}x_0}\left[ \dfrac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0} + \dfrac{v(x) - v(x_0)}{x - x_0} \right] = \\ {} &=& u'(x_0) + v'(x_0); {} \end{array}\\$\begin{array}{ccc}\hfill f^{\prime }\left(x_0\right)& \hfill =\hfill & \underset{x\to x_0}{lim}\frac{u\left(x\right)+v\left(x\right)-u\left(x_0\right)-v\left(x_0\right)}{x-x_0}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}+\frac{v\left(x\right)-v\left(x_0\right)}{x-x_0}\right]=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & u^{\prime }\left(x_0\right)+v^{\prime }\left(x_0\right);\hfill \end{array}$ (Summenregel)

• Konstanter Faktor: f(x) = k \cdot u(x);$f\left(x\right)=k\cdot u\left(x\right);$

  f'(x_0) = \lim\limits_{x\to{}x_0} \frac{ku(x) - ku(x_0)}{x-x_0} = k \cdot u'(x_0);$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{ku\left(x\right)-ku\left(x_0\right)}{x-x_0}=k\cdot u^{\prime }\left(x_0\right);$ (Faktorregel)

  Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten!

• Ableitung eines Produkts: f(x) = u(x) \cdot v(x);$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right);$

  {} \begin{array}{rcl} {} f'(x_0) &=& \lim\limits_{x\to{}x_0} \dfrac{u(x)v(x) - u(x_0)v(x_0)}{x - x_0} = \\ {} &=& \lim\limits_{x\to{}x_0} \dfrac{u(x)v(x) - u(x_0)v(x) + u(x_0)v(x) + u(x_0)v(x_0)}{x - x_0} = \\ {} &=& \lim\limits_{x\to{}x_0}\left[ v(x)\dfrac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0} + u(x_0)\dfrac{v(x) - v(x_0)}{x - x_0} \right] = \\ {} &=& u'(x_0)v(x_0) + v'(x_0)u(x_0); {} \end{array}\\$\begin{array}{ccc}\hfill f^{\prime }\left(x_0\right)& \hfill =\hfill & \underset{x\to x_0}{lim}\frac{u\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x_0\right)v\left(x_0\right)}{x-x_0}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \underset{x\to x_0}{lim}\frac{u\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x_0\right)v\left(x\right)+u\left(x_0\right)v\left(x\right)+u\left(x_0\right)v\left(x_0\right)}{x-x_0}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \underset{x\to x_0}{lim}\left[v\left(x\right)\frac{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}+u\left(x_0\right)\frac{v\left(x\right)-v\left(x_0\right)}{x-x_0}\right]=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & u^{\prime }\left(x_0\right)v\left(x_0\right)+v^{\prime }\left(x_0\right)u\left(x_0\right);\hfill \end{array}$ (Produktregel)

  Kurz: \left(uv\right)' = u'v + v'u;${\left(uv\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+v^{\prime }u;$

0.0.1.4 ↑ Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt

0.0.1.5 ↑ Die Ableitung der Sinusfunktion

a) Im Ursprung

f(x) = \sin x; \quad \sin(-x) = \sin x;$f\left(x\right)=sinx;sin\left(-x\right)=sinx;$ ⇒ Symmetrie zum Ursprung

f'(0) = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x\to0} \varphi(x);$f^{\prime }\left(0\right)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx-sin0}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\varphi \left(x\right);$

\varphi(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{-x} = \dfrac{\sin(x)}{x} = \varphi(x);$\varphi \left(-x\right)=\frac{sin\left(-x\right)}{-x}=\frac{sin\left(x\right)}{x}=\varphi \left(x\right);$ ⇒ Symmetrie zur y$y$-Achse

Abschätzung für 0 < x < \frac{\pi}{2}$0<x<\frac{\pi }{2}$:

Flächenvergleich:

[Abbildung: \sin x$sinx$, x$x$ und \tan x$tanx$ am Einheitskreis]

{} \begin{array}{rcccl} {} A_{\triangle OPQ} & < & A_{\sphericalangle OPQ} & < & A_{\triangle ORQ}; \\ {} \frac{1}{2}\sin x & < & \pi r^2 \frac{x}{2\pi} & < & \frac{1}{2}\tan x; \\ {} \sin x & < & x & < & \tan x; \\ {} 1 & < & \frac{x}{\sin x} & < & \frac{1}{\cos x}; \\ {} 1 & > & \frac{\sin x}{x} & > & \cos x; {} \end{array}$\begin{array}{ccccc}\hfill A_{△OPQ}& \hfill <\hfill & \hfill A_{\sphericalangle OPQ}\hfill & \hfill <\hfill & A_{△ORQ};\hfill \\ \hfill \frac{1}{2}sinx& \hfill <\hfill & \hfill \pi r^2\frac{x}{2\pi }\hfill & \hfill <\hfill & \frac{1}{2}tanx;\hfill \\ \hfill sinx& \hfill <\hfill & \hfill x\hfill & \hfill <\hfill & tanx;\hfill \\ \hfill 1& \hfill <\hfill & \hfill \frac{x}{sinx}\hfill & \hfill <\hfill & \frac{1}{cosx};\hfill \\ \hfill 1& \hfill >\hfill & \hfill \frac{sinx}{x}\hfill & \hfill >\hfill & cosx;\hfill \end{array}$

⇒ \lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin x}{x} = 1;$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1;$ (Wichtiger Grenzwert!)

Zusatz: \lim\limits_{x\to0} \dfrac{x}{\sin x} = 1;$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{sinx}=1;$

Beispiel: \lim\limits_{x\to0} \dfrac{2x}{\sin 3x} = \lim\limits_{x\to0} \dfrac{3x \cdot \frac{2}{3}}{\sin 3x} = \frac{2}{3};$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{sin3x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{3x\cdot \frac{2}{3}}{sin3x}=\frac{2}{3};$

b) Ableitung von f(x) = \sin ax$f\left(x\right)=sinax$ an der Stelle x_0$x_0$

x \to x_0$x\to x_0$: \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \dfrac{\sin ax - \sin ax_0}{x - x_0} = \dfrac{2\cos\frac{ac + ax_0}{2}\sin\frac{ax - ax_0}{2}}{x - x_0} = \dfrac{2\cos\left[\frac{a}{2}\left(x + x_0\right)\right]\sin\left[\frac{1}{2}\left(x - x_0\right)\right]}{\left(x - x_0\right)\frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a}};$\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\frac{sinax-sina{x}_0}{x-x_0}=\frac{2cos\frac{ac+a{x}_0}{2}sin\frac{ax-a{x}_0}{2}}{x-x_0}=\frac{2cos\left[\frac{a}{2}\left(x+x_0\right)\right]sin\left[\frac{1}{2}\left(x-x_0\right)\right]}{\left(x-x_0\right)\frac{a}{2}\cdot \frac{2}{a}};$

f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\left\{ a \cdot \cos\left[ \frac{a}{2}\left(x - x_0\right) \right] \dfrac{\sin\left[\frac{a}{2}\left(x - x_0\right)\right]}{\frac{a}{2}\left(x - x_0\right)} \right\} = a \cdot \cos ax_0;$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\left\{a\cdot cos\left[\frac{a}{2}\left(x-x_0\right)\right]\frac{sin\left[\frac{a}{2}\left(x-x_0\right)\right]}{\frac{a}{2}\left(x-x_0\right)}\right\}=a\cdot cosa{x}_0;$

Ergebnis: \left(\sin ax\right)' = a \cdot \cos ax;${\left(sinax\right)}^{\prime }=a\cdot cosax;$

analog: \left(\cos ax\right)' = -a \cdot \sin ax;${\left(cosax\right)}^{\prime }=-a\cdot sinax;$

speziell: \left(\sin x\right)' = \cos x; \quad \left(\cos x\right)' = -\sin x;${\left(sinx\right)}^{\prime }=cosx;{\left(cosx\right)}^{\prime }=-sinx;$

0.0.1.6 ↑ Ableitung von Bewegungsgleichungen

Momentangeschwindigkeit aus der Weg-Zeit-Gleichung

x(t) = \frac{1}{2}at^2;$x\left(t\right)=\frac{1}{2}a{t}^2;$

\overline{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t};$\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t};$

v(t_0) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{x(t_0 - \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t} = \dot x(t_0);$v\left(t_0\right)=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{x\left(t_0-\Delta t\right)-x\left(t_0\right)}{\Delta t}=ẋ\left(t_0\right);$

Allgemein: v(t) = \dot x(t) = at;$v\left(t\right)=ẋ\left(t\right)=at;$

Momentanbeschleunigung aus der Zeit-Geschwindigkeits-Gleichung

a(t_0) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{v(t_0 + \Delta t) - v(t_0)}{\Delta t} = \dot v(t_0) = \ddot x(t_0);$a\left(t_0\right)=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{v\left(t_0+\Delta t\right)-v\left(t_0\right)}{\Delta t}=\dot{v}\left(t_0\right)=\ddot{x}\left(t_0\right);$

⇒ a(t) = \dot v(t) = \ddot x(t) = \mathrm{const.};$a\left(t\right)=\dot{v}\left(t\right)=\ddot{x}\left(t\right)=\text{const.};$

0.0.1.7 ↑ Bestimmung von Parabelscheiteln

Der Scheitel liegt dort, wo die Tangente die Steigung m_t = f'(x) = 0$m_t=f^{\prime }\left(x\right)=0$ hat.

0.0.1.8 ↑ Monotoniebereiche -- relative Extrema

Merke: Ist f'(x)$f^{\prime }\left(x\right)$ im Intervall I = \left]a, b\right[$I=\left]a,b\right[$ positiv (negativ), so ist f(x)$f\left(x\right)$ ist I$I$ streng monoton steigend (fallend).

Mögliche Kurvenverläufe:

a)

f'(x_0) > 0;$f^{\prime }\left(x_0\right)>0;$

b)

f'(x_0) < 0;$f^{\prime }\left(x_0\right)<0;$

c)

f'(x_0) = 0;$f^{\prime }\left(x_0\right)=0;$

f'(x_0)$f^{\prime }\left(x_0\right)$ wechselt das Vorzeichen von -$-$ nach +$+$: Rel. Minimum (TIP)

f'(x_0)$f^{\prime }\left(x_0\right)$ wechselt das Vorzeichen von +$+$ nach -$-$: Rel. Maximum (HOP)

f'(x_0)$f^{\prime }\left(x_0\right)$ wechselt das Vorzeichen nicht: Terassenpunkt (TEP)

Notwendige Bedingung für ein relatives Extremum an der Stelle x_0$x_0$: f'(x_0) = 0;$f^{\prime }\left(x_0\right)=0;$

Hinreichende Bedingung für ein Extremum ist ein VZW von f'(x_0)$f^{\prime }\left(x_0\right)$.

Alternativ: Die Ableitung von f$f$ hat ein Extremum, d.h. f''(x_0) = 0$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)=0$ (notwendige Bedingung). Hinreichend für einen TEP ist, wenn gilt: f''(x_0) = 0$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)=0$ und f''(x_0)$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)$ hat einen VZW.

Ergänzung: Hinreichendes Kriterium für ein Extremum an der Stelle x_0$x_0$ ist, wenn gilt: f'(x_0) = 0$f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ und f''(x_0) \neq 0$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)\ne 0$, und zwar Minimum für f''(x_0) > 0$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)>0$ und Maximum für f''(x_0) < 0$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)<0$.

[Stetigkeit: \lim\limits_{x \to x_0-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0+} = f(x_0);$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0+}{lim}=f\left(x_0\right);$]

[Diffbarkeit an der Stelle x_0$x_0$ ⇒ Stetigkeit an der Stelle x_0$x_0$]

[Grenzwert des Diffquotienten an der Stelle x_0$x_0$ existiert ⇒ Diffbarkeit an der Stelle x_0$x_0$]