«11C» Folgen «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Folgen

1. Natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4, \ldots, n, \ldots$1,2,3,4,\dots ,n,\dots$

2. Ungerade Zahlen: 1, 3, 5, 7, \ldots, 2\nu + 1$1,3,5,7,\dots ,2\nu +1$ mit \nu \in \mathds{N}_0$\nu \in N_0$

3. 7, 14, 21, \ldots, 7\nu$7,14,21,\dots ,7\nu$ mit \nu \in \mathds{N}$\nu \in N$

4. 9, 16, 23, 30, \ldots, 7\nu + 2$9,16,23,30,\dots ,7\nu +2$ mit \nu \in \mathds{N}$\nu \in N$

5. 1, 3, 9, 25, \ldots, 3^{\nu - 1}$1,3,9,25,\dots ,3^{\nu -1}$ mit \nu \in \mathds{N}$\nu \in N$

Zahlenfolgen sind Funktionen mit der Definitionsmenge \mathds{N}$N$.

Zum Beispiel:

{} \begin{array}{ll} {} f: & \nu \mapsto f(\nu) = \left(-1\right)^\nu \cdot \frac{1}{\nu}; \nu \in \mathds{N}; \\ {} & 1 \mapsto a_1 = -1; \\ {} & 2 \mapsto a_2 = \frac{1}{2}; \\ {} & 3 \mapsto a_3 = -\frac{1}{3}; \\ {} & 4 \mapsto a_4 = \frac{1}{4}; {} \end{array}$\begin{array}{cc}f:\hfill & \nu \mapsto f\left(\nu \right)={\left(-1\right)}^{\nu }\cdot \frac{1}{\nu };\nu \in N;\hfill \\ \hfill & 1\mapsto a_1=-1;\hfill \\ \hfill & 2\mapsto a_2=\frac{1}{2};\hfill \\ \hfill & 3\mapsto a_3=-\frac{1}{3};\hfill \\ \hfill & 4\mapsto a_4=\frac{1}{4};\hfill \end{array}$

\langle a_\nu \rangle$\langle a_{\nu }\rangle$ ist eine alternierende Folge.

• Bei arithmetischen Folgen gilt:

  a_{\nu + 1} = a_\nu + d; d \in \mathds{R};$a_{\nu +1}=a_{\nu }+d;d\in R;$

• Bei geometrischen Folgen gilt:

  a_{\nu + 1} = a_\nu \cdot q; q \in \mathds{R};$a_{\nu +1}=a_{\nu }\cdot q;q\in R;$

0.0.1.1 ↑ Geometrische Folgen

a_{\nu + 1} = a_\nu \cdot q; q \in \mathds{R};$a_{\nu +1}=a_{\nu }\cdot q;q\in R;$ ⇒ \frac{a_{\nu + 1}}{a_\nu} = q;$\frac{a_{\nu +1}}{a_{\nu }}=q;$

⇒ Allgemeines Glied der geometrischen Folge: a_\nu = a_1 \cdot q^{\nu - 1};$a_{\nu }=a_1\cdot q^{\nu -1};$

Für q > 1$q>1$ (0 < q < 1$0<q<1$) und a_1 > 0$a_1>0$ ist \langle a_\nu \rangle = \left\{ a_1 \cdot q^{\nu - 1} | v \in \mathds{N} \right\}$\langle a_{\nu }\rangle =\left\{a_1\cdot q^{\nu -1}\mid v\in N\right\}$ sms und nach oben nicht beschränkt (smf).

0.0.1.2 ↑ Der Luftdruck als geometrische Folge

p(h) = p_0 \cdot 0,\!882 ^ {\frac{h}{\mathrm{km}}};$p\left(h\right)=p_0\cdot 0,882^{\frac{h}{\text{km}}};$