«11C» Krümmungsverhalten, Wendepunkte «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Krümmungsverhalten, Wendepunkte

Die Steigung von \mathrm{f}$\text{f}$ wird durch \mathrm{f}'${\text{f}}^{\prime }$ beschrieben, also ist das Abnahme- bzw. Zunahmeverhalten von von \mathrm{f}'${\text{f}}^{\prime }$ zu beurteilen → Untersuchung von \left(\mathrm{f}'\right)' = \mathrm{f}''${\left({\text{f}}^{\prime }\right)}^{\prime }={\text{f}}^{\prime \prime }$

• \mathrm{f}''(x_0) < 0;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x_0\right)<0;$ ⇒ \mathrm{f}'(x_0)${\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right)$ ist smf; ⇒ \mathrm{f}$\text{f}$ ist rechtsgekrümmt;

• \mathrm{f}''(x_0) > 0;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x_0\right)>0;$ ⇒ \mathrm{f}'(x_0)${\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right)$ ist sms; ⇒ \mathrm{f}$\text{f}$ ist linksgekrümmt;

Merke:

• \mathrm{f}$\text{f}$ ist rechtsgekrümmt; ⇔ "\mathrm{f}''${\text{f}}^{\prime \prime }$" ist negativ;

• \mathrm{f}$\text{f}$ ist linksgekrümmt; ⇔ "\mathrm{f}''${\text{f}}^{\prime \prime }$" ist positiv;

Eine Stelle x_0 \in D_{\mathrm{f}}$x_0\in D_{\text{f}}$ heißt Wendepunkt von \mathrm{f}$\text{f}$, wenn der Graph an der Stelle x_0$x_0$ sein Krümmungsverhalten wechselt. \mathrm{f}''${\text{f}}^{\prime \prime }$ wechselt damit an der Stelle x_0$x_0$ das Vorzeichen. An der Stelle x_0$x_0$ selbst gilt: \mathrm{f}''(x_0) = 0${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x_0\right)=0$, falls \mathrm{f}$\text{f}$ dort zweimal diffbar ist.