«K12/K13» Das bestimmte Integral «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Das bestimmte Integral

"Ich geb' euch immer so dumme Antworten, weil ihr mir in einer Vagheit Fragen stellt – bei denen hab' ich keine Chance, richtig zu antworten."

"Vor Newton ist das Fallen eines Steines im wahrsten Sinne des Wortes ungesetzlich gewesen – viele sagen sogar, vor Newton sind Steine [gar] nicht gefallen."

0.0.1.1 ↑ Spezielle Flächen

F = \left\{ P(x,y) \,|\, x \in \left[a, b\right] \wedge y \in \left[0, \mathrm{f}(x)\right] \wedge \mathrm{f} \text{ stetig auf } \left[a, b\right] \right\};$F=\left\{P\left(x,y\right)\mid x\in \left[a,b\right]\wedge y\in \left[0,\text{f}\left(x\right)\right]\wedge \text{f}\text{ stetig auf }\left[a,b\right]\right\};$

Wie lässt sich der Inhalt der Fläche, \mathrm{A}_a(x)${\text{A}}_a\left(x\right)$, bestimmen?

Wie betrachten das Änderungsverhalten von \mathrm{A}_a(x)${\text{A}}_a\left(x\right)$:

{} \renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{array}{rcccl} {} \mathrm{A}_a(x) + h \min\limits_{\left[x, x+h\right]} \mathrm{f}(x) & {} \leq & {} \mathrm{A}_a(x + h) & {} \leq & {} \mathrm{A}_a(x) + h \max\limits_{\left[x, x+h\right]} \mathrm{f}(x); \\ {} \mathrm{A}_a(x) - h \min\limits_{\left[x-h, x\right]} \mathrm{f}(x) & {} \geq & {} \mathrm{A}_a(x - h) & {} \geq & {} \mathrm{A}_a(x) - h \max\limits_{\left[x-h, x\right]} \mathrm{f}(x); {} \end{array}$\begin{array}{ccccc}\hfill {\text{A}}_a\left(x\right)+h\underset{\left[x,x+h\right]}{min}\text{f}\left(x\right)& \hfill \le \hfill & \hfill {\text{A}}_a\left(x+h\right)\hfill & \hfill \le \hfill & {\text{A}}_a\left(x\right)+h\underset{\left[x,x+h\right]}{max}\text{f}\left(x\right);\hfill \\ \hfill {\text{A}}_a\left(x\right)-h\underset{\left[x-h,x\right]}{min}\text{f}\left(x\right)& \hfill \ge \hfill & \hfill {\text{A}}_a\left(x-h\right)\hfill & \hfill \ge \hfill & {\text{A}}_a\left(x\right)-h\underset{\left[x-h,x\right]}{max}\text{f}\left(x\right);\hfill \end{array}$

{} \renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{array}{rcccl} {} \min\limits_{\left[x, x+h\right]} \mathrm{f}(x) & {} \leq & {} \frac{\mathrm{A}_a(x + h) - \mathrm{A}_a(x)}{h} & {} \leq & {} \max\limits_{\left[x, x+h\right]} \mathrm{f}(x); \\ {} \mathrm{f}(x) & {} \leq & {} \mathrm{A}_a'(x) & {} \leq & {} \mathrm{f}(x); {} \end{array}$\begin{array}{ccccc}\hfill \underset{\left[x,x+h\right]}{min}\text{f}\left(x\right)& \hfill \le \hfill & \hfill \frac{{\text{A}}_a\left(x+h\right)-{\text{A}}_a\left(x\right)}{h}\hfill & \hfill \le \hfill & \underset{\left[x,x+h\right]}{max}\text{f}\left(x\right);\hfill \\ \hfill \text{f}\left(x\right)& \hfill \le \hfill & \hfill {\text{A}}_a^{\prime }\left(x\right)\hfill & \hfill \le \hfill & \text{f}\left(x\right);\hfill \end{array}$

"Weil die einen Doofen von den anderen Doofen gerne gelobt werden"

Die Flächenfunktion ist eine Stammfunktion der Randfunktion, und zwar die Stammfunktion, für die gilt:

\mathrm{A}_a(a) = 0;${\text{A}}_a\left(a\right)=0;$

Für \mathrm{f}(x) \leq 0$\text{f}\left(x\right)\le 0$ auf \left[a,b\right]$\left[a,b\right]$ soll sein:

\displaystyle\int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x := -\int\limits_a^b -\mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x \leq 0;$\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x:=-\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}-\text{f}\left(x\right)\text{d}x\le 0;$

[B. S. 41]

[B. S. 46: \displaystyle\mathrm{F}'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int\limits_k^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t = \mathrm{f}(x);${\text{F}}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\underset{k}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(t\right)\text{d}t=\text{f}\left(x\right);$]

f$f$ integrierbar über \left[a,b\right]$\left[a,b\right]$ und dort \mathrm{F}' = \mathrm{f}${\text{F}}^{\prime }=\text{f}$.

Dann gilt: \displaystyle\int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a);$\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x=\text{F}\left(b\right)-\text{F}\left(a\right);$

0.0.1.2 ↑ Eigenschaften des bestimmten Integrals

• \displaystyle\int\limits_a^b k \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = k \int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x; \quad k \in \mathds{R};$\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}k\text{f}\left(x\right)\text{d}x=k\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x;k\in \mathbb{ℝ};$

  "Ja ich bin nicht meine Skizze"

  "Ich bin nicht mal meine Stimme"

  "sonst würde ich ja »meine Stimme« heißen"

• \displaystyle\int\limits_a^b \left[\mathrm{f}(x) + \mathrm{g}(x)\right] \,\mathrm{d}x = \int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x + \int\limits_a^b \mathrm{g}(x) \,\mathrm{d}x;$\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\left[\text{f}\left(x\right)+\text{g}\left(x\right)\right]\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{g}\left(x\right)\text{d}x;$

• \displaystyle\int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x + \int\limits_b^c \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \int\limits_a^c \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x;$\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x+\underset{b}{\overset{c}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x=\underset{a}{\overset{c}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x;$

\displaystyle-\int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x =: \int\limits_b^a \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x; \quad a < b;$-\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x=:\underset{b}{\overset{a}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x;a<b;$

[in der Ableitung steckt die Richtung]