«K12/K13» 1. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.1 ↑ Hausaufgaben

0.1.1 ↑ 1. Hausaufgabe

0.1.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 14, Aufgabe 1

Gib' drei verschiedene Stammfunktionen an zu

a)

\mathrm{f}\colon x \mapsto x^5;$\text{f}:x\mapsto x^5;$ ⇒

\mathrm{F}\colon x \mapsto \frac{1}{6} x^6 + C;$\text{F}:x\mapsto \frac{1}{6}{x}^6+C;$

b)

\mathrm{f}\colon x \mapsto \sin x;$\text{f}:x\mapsto sinx;$ ⇒

\mathrm{F}\colon x \mapsto -\cos x + C;$\text{F}:x\mapsto -cosx+C;$

c)

\mathrm{f}\colon x \mapsto 3x^2 - 7x + 19;$\text{f}:x\mapsto 3x^2-7x+19;$ ⇒

\mathrm{F}\colon x \mapsto x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 19x + C;$\text{F}:x\mapsto x^3-\frac{7}{2}{x}^2+19x+C;$

d)

\mathrm{f}\colon x \mapsto 2\sin x + \cos x;$\text{f}:x\mapsto 2sinx+cosx;$ ⇒

\mathrm{F}\colon x \mapsto -2\cos x + \sin x + C;$\text{F}:x\mapsto -2cosx+sinx+C;$

e)

\mathrm{f}\colon x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}};$\text{f}:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}};$ ⇒

\mathrm{F}\colon x \mapsto 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C;$\text{F}:x\mapsto 2x^{\frac{1}{2}}+C=2\sqrt{x}+C;$

f)

\mathrm{f}\colon x \mapsto 0;$\text{f}:x\mapsto 0;$ ⇒

\mathrm{F}\colon x \mapsto C;$\text{F}:x\mapsto C;$

D_{\mathrm{f}}$D_{\text{f}}$ sei jeweils maximal gewählt.

0.1.1.2 ↑ Analysis-Buch Seite 14, Aufgabe 2

Berechne

a)

\int x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2 + C;$\int \; <!--nolimits-->x\text{d}x=\frac{1}{2}{x}^2+C;$

b)

\int \left(x^2 + 1\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3 + x + C;$\int \; <!--nolimits-->\left(x^2+1\right)\text{d}x=\frac{1}{3}{x}^3+x+C;$

c)

\int \left(3x^2 + 2x + 1\right) \mathrm{d}x = x^3 + x^2 + x + C;$\int \; <!--nolimits-->\left(3x^2+2x+1\right)\text{d}x=x^3+x^2+x+C;$

d)

\int \left(\cos x - \sin x\right) \mathrm{d}x = \sin x + \cos x + C;$\int \; <!--nolimits-->\left(cosx-sinx\right)\text{d}x=sinx+cosx+C;$

e)

\int \mathrm{d}x = x + C;$\int \; <!--nolimits-->\text{d}x=x+C;$

f)

\int 0 \,\mathrm{d}x = C;$\int \; <!--nolimits-->0\text{d}x=C;$

0.1.1.3 ↑ Analysis-Buch Seite 14, Aufgabe 3

Bestimme diejenige Stammfunktion von \mathrm{f}$\text{f}$, deren Graph durch P$P$ verläuft.

a)

\mathrm{f}\colon x \mapsto \frac{1}{2}x; \quad P(-2, 4);$\text{f}:x\mapsto \frac{1}{2}x;P\left(-2,4\right);$ ⇒

\mathrm{F}_C(x_P) = y_P; \Rightarrow \frac{1}{4}x_P^2 + C = y_P; \Rightarrow C = y_P - \frac{1}{4}x_P^2 = 4 - 1 = 3;${\text{F}}_C\left(x_P\right)=y_P;\Rightarrow \frac{1}{4}{x}_P^2+C=y_P;\Rightarrow C=y_P-\frac{1}{4}{x}_P^2=4-1=3;$ ⇒

\mathrm{F}_3\colon x \mapsto \frac{1}{4}x^2 + 3;${\text{F}}_3:x\mapsto \frac{1}{4}{x}^2+3;$

b)

\mathrm{f}\colon x \mapsto x^2 - 2x - 1; \quad P(3, -2);$\text{f}:x\mapsto x^2-2x-1;P\left(3,-2\right);$ ⇒

\mathrm{F}_C(x_P) = y_P; \Rightarrow \frac{1}{3}x_P^3 - x_P^2 - x_P + C = y_P; \Rightarrow C = y_P - \frac{1}{3}x_P^3 + x_P^2 + x_P = 1;${\text{F}}_C\left(x_P\right)=y_P;\Rightarrow \frac{1}{3}{x}_P^3-x_P^2-x_P+C=y_P;\Rightarrow C=y_P-\frac{1}{3}{x}_P^3+x_P^2+x_P=1;$ ⇒

\mathrm{F}_1\colon x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - x^2 - x + 1;${\text{F}}_1:x\mapsto \frac{1}{3}{x}^3-x^2-x+1;$

c)

\mathrm{f}\colon x \mapsto \cos x + 1; \quad P(\pi, \pi);$\text{f}:x\mapsto cosx+1;P\left(\pi ,\pi \right);$ ⇒

\mathrm{F}_C(x_P) = y_P; \Rightarrow \sin x_P + x_P + C = y_P; \Rightarrow C = y_P - \sin x_P - x_P = \pi - 0 - \pi = 0;${\text{F}}_C\left(x_P\right)=y_P;\Rightarrow sin{x}_P+x_P+C=y_P;\Rightarrow C=y_P-sin{x}_P-x_P=\pi -0-\pi =0;$

\mathrm{F}_0\colon x \mapsto \sin x + x;${\text{F}}_0:x\mapsto sinx+x;$

d)

\mathrm{f}\colon x \mapsto 0; \quad P(1980, 1980);$\text{f}:x\mapsto 0;P\left(1980,1980\right);$ ⇒

\mathrm{F}_{1980}\colon x \mapsto 1980;${\text{F}}_{1980}:x\mapsto 1980;$