0.0.1 ↑ 102. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 215, Aufgabe 3c
Zeige, dass die Ortsvektoren \vec A, \vec B und \vec C einen Würfel aufspannen.
\vec A = \left(\!\begin{smallmatrix}a\\a+1\\a\left(a+1\right)\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec B = \left(\!\begin{smallmatrix}a+1\\-a\left(a+1\right)\\a\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec C = \left(\!\begin{smallmatrix}a\left(a+1\right);\\a\\-a-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;
\left|\vec A\right| = \left|\vec B\right| = \left|\vec C\right| = \sqrt{a^2 + \left(a^2 + 2a + 1\right) + \left(a^3 + 2a^2 + a\right)} = \sqrt{a^3 + 4a^2 + 3a + 1};
\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec C = \vec C \cdot \vec A = a \left(a + 1\right) - \left(a + 1\right)^2 a + a^2 \left(a + 1\right) = a^2 + a - a^3 - 2a^2 - a + a^3 + a^2 = 0;
0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 215, Aufgabe 4b
Für welche Werte von u ist \vec a \perp \vec b, \vec a \perp \vec b, \vec b \perp \vec c?
\vec a = \left(\!\begin{smallmatrix}u+1\\2-u\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec b = \left(\!\begin{smallmatrix}u\\u+2\\u+4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec c = \left(\!\begin{smallmatrix}2-3u\\u\\2+2u\end{smallmatrix}\!\right)\!;
\vec a \vec b = u^2 + u - \left(u^2 - 4\right) - u - 4 = 0;
\vec b \vec c = 2u - 3u^2 + u^2 + 2u + 2u + 2u^2 + 8 + 8u = 14u + 8 = 0; ⇔ u = -\frac{4}{7};
\vec a \vec c = 2u - 3 u^2 + 2 - 3u + 2u - u^2 - 2 - 2u = -u - 4u^2 = 0; ⇔ u_1 = 0; \quad u_2 = -\frac{1}{4};
0.0.1.3 ↑ Geometrie-Buch Seite 216, Aufgabe 10b
Berechne die Winkel des Dreiecks ABC.
A(1,-6,-6); \quad B(2,2,-2); \quad C(0,-2,2);
\frac{\overrightarrow{AC} \overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AC}\right| \left|\overrightarrow{AB}\right|} = \frac{-1 + 32 + 32}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} \sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2}} = \frac{63}{81} = \frac{7}{9} = \cos\alpha;
-\frac{\overrightarrow{BC} \overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{BC}\right| \left|\overrightarrow{AB}\right|} = -\frac{-2 - 32}{\sqrt{\left(-2\right)^2 + \left(-4\right)^2 + 0^2} \sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2}} = \frac{34}{9 \sqrt{20}} = \cos\beta;
\frac{\overrightarrow{AC} \overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right| \left|\overrightarrow{BC}\right|} = \frac{2 - 16}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} \sqrt{\left(-2\right)^2 + \left(-4\right)^2 + 0^2}} = \frac{-14}{9 \sqrt{20}} = \cos\gamma;
0.0.1.4 ↑ Geometrie-Buch Seite 217, Aufgabe 16a
g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;
Berechne den Schittwinkel von g und h.
\left|\frac{\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right) \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\10\end{smallmatrix}\!\right)}{\left|\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)\right| \left|\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\10\end{smallmatrix}\!\right)\right|}\right| = \left|\frac{1 - 10 + 30}{\sqrt{14} \sqrt{126}}\right| = \cos\varphi;