«K12/K13» 103. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 103. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 231, Aufgabe 15a

Untersuche, ob g$g$ und h$h$ windschief sind, berechne gegebenenfalls den Abstand d(g,h)$d\left(g,h\right)$ und die Endpunkte der gemeinsamen Lotstrecke.

g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}-4\\1\\7\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\-1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}4\\3\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 7\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 4\end{array}\right);h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -2\end{array}\right);$

\vec g$\overrightarrow{g}$ und \vec h$\overrightarrow{h}$ sind nicht kollinear.

Gleichsetzen von \vec X_g${\overrightarrow{X}}_g$ und \vec X_h${\overrightarrow{X}}_h$ bringt:

\begin{array}{rcrcr} {} -3 \lambda &-& 4 \mu &=& 8; \\ {} -\lambda &-& 3 \mu &=& 0; \\ {} 4 \lambda &+& 2 \mu &=& -7; \end{array}$\begin{array}{ccccc}\hfill -3\lambda & \hfill -\hfill & \hfill 4\mu & \hfill =\hfill & \hfill 8;\\ \hfill -\lambda & \hfill -\hfill & \hfill 3\mu & \hfill =\hfill & \hfill 0;\\ \hfill 4\lambda & \hfill +\hfill & \hfill 2\mu & \hfill =\hfill & \hfill -7;\end{array}$

Auflösen bringt Widerspruch für \mu$\mu$ (\frac{7}{10} \neq \frac{8}{5}$\frac{7}{10}\ne \frac{8}{5}$), also sind g$g$ und h$h$ windschief.

\overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec g = -3 \left(8 + 4\mu + 3\lambda\right) -\left(3\mu + \lambda\right) + 4 \left(-7 - 2\mu - 4\lambda\right) = -52 - 23\mu -26\lambda \stackrel{!}{=} 0;$\overrightarrow{X_g{X}_h}\cdot \overrightarrow{g}=-3\left(8+4\mu +3\lambda \right)-\left(3\mu +\lambda \right)+4\left(-7-2\mu -4\lambda \right)=-52-23\mu -26\lambda \stackrel{!}{=}0;$

\overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec h = 4 \left(8 + 4\mu + 3\lambda\right) + 3 \left(3\mu + \lambda\right) - 2 \left(-7 - 2\mu - 4\lambda\right) = 46 + 29 \mu + 23 \lambda \stackrel{!}{=} 0;$\overrightarrow{X_g{X}_h}\cdot \overrightarrow{h}=4\left(8+4\mu +3\lambda \right)+3\left(3\mu +\lambda \right)-2\left(-7-2\mu -4\lambda \right)=46+29\mu +23\lambda \stackrel{!}{=}0;$

Auflösen bringt für \lambda$\lambda$: \lambda = \frac{-46 - 29\mu}{23};$\lambda =\frac{-46-29\mu }{23};$

Einsetzen in die erste Gleichung bringt: (\mu,\lambda) = (0,-2);$\left(\mu ,\lambda \right)=\left(0,-2\right);$

\vec X_g(-2) = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\3\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec X_h(0) = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{X}}_g\left(-2\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right);{\overrightarrow{X}}_h\left(0\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right);$

\left|\overrightarrow{X_g(-2) X_h(0)}\right| = 3;$\left|\overrightarrow{X_g\left(-2\right)X_h\left(0\right)}\right|=3;$

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 223, Aufgabe 16

g{:}\, \vec X = \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}6\\-10\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad {}h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\16\\7\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-8\\10\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$g:\overrightarrow{X}=\lambda \left(\begin{array}{c}6\\ -10\\ 3\end{array}\right);h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 16\\ 7\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 1\end{array}\right);$

g$g$ ist die Achse eines Zylinders Z$Z$ mit Radius 11$11$.

Berechne die Schnittpunkte von Z$Z$ und h$h$.

Idee: Beschreibung eines jeden Raumpunkts durch ein Koordinatensystem, das von g$g$ und zwei anderen Geraden aufgespannt wird.

• Berechnung eines auf \vec g$\overrightarrow{g}$ senkrecht stehenden Vektors.

  \vec g \vec a = 6 a_1 - 10 a_2 + 3 a_3 \stackrel{!}{=} 0;$\overrightarrow{g}\overrightarrow{a}=6a_1-10a_2+3a_3\stackrel{!}{=}0;$

  Eine Gleichung, drei Unbekannte → zwei Freiheitsgrade

  Wahl von a_1$a_1$ zu 1$1$. Dann Auflösen nach a_2$a_2$:

  a_2 = \frac{3 a_3 + 6}{10};$a_2=\frac{3a_3+6}{10};$

  Wahl von a_3$a_3$ zu 1$1$. Dann ist \vec a$\overrightarrow{a}$:

  \vec a = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\\frac{9}{10}\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{9}{10}\\ 1\end{array}\right);$

  Um Brüche zu vermeiden, "erweitern" wir \vec a$\overrightarrow{a}$:

  \vec a = \left(\!\begin{smallmatrix}10\\9\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}10\\ 9\\ 10\end{array}\right);$

• Berechnung eines zweiten Vektors, der auf \vec g$\overrightarrow{g}$ senkrecht steht und nicht zu \vec a$\overrightarrow{a}$ kollinear ist.

  Wahl von b_3$b_3$ zu 2$2$. Dann ist \vec b$\overrightarrow{b}$ (erweitert):

  \vec b = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\6\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 10\end{array}\right);$

• Aufstellung der Gleichung für die zu \vec g$\overrightarrow{g}$ senkrechten Flächen mit Aufpunkt \vec X_g${\overrightarrow{X}}_g$.

  \Lambda{:}\, \vec X = \vec X_g + \alpha \vec a + \beta \vec b = \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-6\\10\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \alpha \left(\!\begin{smallmatrix}10\\9\\10\end{smallmatrix}\!\right) + \beta \left(\!\begin{smallmatrix}5\\6\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\Lambda :\overrightarrow{X}={\overrightarrow{X}}_g+\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}=\lambda \left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 3\end{array}\right)+\alpha \left(\begin{array}{c}10\\ 9\\ 10\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 10\end{array}\right);$

• Zusätzliche Bedingungen, damit \Lambda$\Lambda$ zu einem Zylinder eingeschränkt wird.

  \left|\alpha \vec a + \beta \vec b\right| = 11;$\left|\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}\right|=11;$

  \left(10\alpha + 5\beta\right)^2 + \left(9\alpha + 6\beta\right)^2 + \left(10\alpha + 10\beta\right)^2 = 281 \alpha^2 + 161 \beta^2 + 408 \alpha\beta = 121;${\left(10\alpha +5\beta \right)}^2+{\left(9\alpha +6\beta \right)}^2+{\left(10\alpha +10\beta \right)}^2=281{\alpha }^2+161{\beta }^2+408\alpha \beta =121;$

• Zusammenfassung der Gleichungen.

  \begin{array}{rcrcrcrcr} {} 6 \lambda &+& 10 \alpha &+& 5 \beta &+& 8 \mu &=& -1; \\ {} {-10} \lambda &+& 9 \alpha &+& 6 \beta &-& 10 \mu &=& 16; \\ {} 3 \lambda &+& 10 \alpha &+& 10 \beta &-& \mu &=& 7; \end{array}$\begin{array}{ccccccccc}\hfill 6\lambda & \hfill +\hfill & \hfill 10\alpha & \hfill +\hfill & \hfill 5\beta & \hfill +\hfill & \hfill 8\mu & \hfill =\hfill & \hfill -1;\\ \hfill -10\lambda & \hfill +\hfill & \hfill 9\alpha & \hfill +\hfill & \hfill 6\beta & \hfill -\hfill & \hfill 10\mu & \hfill =\hfill & \hfill 16;\\ \hfill 3\lambda & \hfill +\hfill & \hfill 10\alpha & \hfill +\hfill & \hfill 10\beta & \hfill -\hfill & \hfill \mu & \hfill =\hfill & \hfill 7;\end{array}$

  Sowie:

  281 \alpha^2 + 161 \beta^2 + 408 \alpha\beta = 121;$281{\alpha }^2+161{\beta }^2+408\alpha \beta =121;$

• Auflösen.

  \begin{array}{ccccc} {} \lambda & \mu & \alpha & \beta & \text{Schnittpunkt} \\\hline {} 0 & -1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & (7,6,6) \\ {} 1 & -2 & \frac{8}{5} & -\frac{7}{5} & (15,-4,5) \end{array}$\begin{array}{ccccc}\hfill \lambda \hfill & \hfill \mu \hfill & \hfill \alpha \hfill & \hfill \beta \hfill & \hfill \text{Schnittpunkt}\hfill \\ ̲& ̲& ̲& ̲& ̲\\ \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \frac{4}{5}\hfill & \hfill -\frac{1}{5}\hfill & \hfill \left(7,6,6\right)\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill -2\hfill & \hfill \frac{8}{5}\hfill & \hfill -\frac{7}{5}\hfill & \hfill \left(15,-4,5\right)\hfill \end{array}$

Alternativ, viel einfacher:

\overrightarrow{QP} \cdot \vec g = 0; \quad {\overrightarrow{QP}}^2 = 121; \quad$\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{g}=0;{\overrightarrow{QP}}^2=121;$ mit \vec Q = \vec X_h$\overrightarrow{Q}={\overrightarrow{X}}_h$ und \vec P = \vec X_g;$\overrightarrow{P}={\overrightarrow{X}}_g;$

"[augenscheinlich] wisst ihr schon, dass es gefährlich sein kann, wenn man ins Gravitationszentrum fliegt..."