«K12/K13» 104. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 104. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 232, Aufgabe 17

g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\17\\5\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\8\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}-7\\9\\16\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\4\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 17\\ 5\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right);h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 9\\ 16\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right);$

a)

Die Kugel hat ihren Mittelpunkt auf h$h$ und berührt g$g$.

Bestimme ihren Mittelpunkt M$M$ und Radius r$r$ in Abhängigkeit von \mu$\mu$.

Für welchen Wert von \mu$\mu$ ist der Radius minimal?

M \in h; \quad X_K \in g; \quad \left|\overrightarrow{X_K M}\right| = r; \quad \overrightarrow{X_K M} \cdot \vec g = 0;$M\in h;X_K\in g;\left|\overrightarrow{X_{K}M}\right|=r;\overrightarrow{X_{K}M}\cdot \overrightarrow{g}=0;$

Auflösen gibt für \lambda$\lambda$: \lambda = \frac{5}{9} \mu - \frac{1}{3};$\lambda =\frac{5}{9}\mu -\frac{1}{3};$

\vec X_K = \vec X_g(\lambda) = \left(\!\begin{smallmatrix}\frac{5}{9}\mu - \frac{1}{3}\\\frac{40}{9}\mu + \frac{43}{3}\\\frac{20}{9}\mu + \frac{11}{3}\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{X}}_K={\overrightarrow{X}}_g\left(\lambda \right)=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{9}\mu -\frac{1}{3}\\ \frac{40}{9}\mu +\frac{43}{3}\\ \frac{20}{9}\mu +\frac{11}{3}\end{array}\right);$

r = \overrightarrow{X_K M} = \sqrt{16 \mu^2 + 96 \mu + 225};$r=\overrightarrow{X_{K}M}=\sqrt{16{\mu }^2+96\mu +225};$

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} {\overrightarrow{X_K M}}^2 = 32 \mu + 96 \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}r}{\overrightarrow{X_{K}M}}^2=32\mu +96\stackrel{!}{=}0;$ ⇔ \mu = -3;$\mu =-3;$

b)

Bestimme Mittelpunkt M$M$ und Radius r$r$ der kleinsten Kugel, deren Mittelpunkt auf h$h$ liegt und die g$g$ als Tangente hat.

\mu = -3;$\mu =-3;$

\vec X_K = \vec X_g(\lambda) = \vec X_g\!\left(\frac{5}{9}\left(-3\right) - \frac{1}{3}\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\1\\-3\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{X}}_K={\overrightarrow{X}}_g\left(\lambda \right)={\overrightarrow{X}}_g\left(\frac{5}{9}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -3\end{array}\right);$

\vec M = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-3\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{M}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 4\end{array}\right);$

r = \sqrt{16 \left(-3\right)^2 + 96 \left(-3\right) + 255} = 9;$r=\sqrt{16{\left(-3\right)}^2+96\left(-3\right)+255}=9;$

c)

Bestimme Mittelpunkt und Radius der kleinsten Kugel, die h$h$ und g$g$ als Tangenten hat.

Ansatz: \overrightarrow{QP} \cdot \vec g = \overrightarrow{QP} \cdot \vec h = 0;$\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{g}=\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{h}=0;$ (Bei der kleinsten Kugel sind \overrightarrow{MQ}$\overrightarrow{MQ}$ und \overrightarrow{MP}$\overrightarrow{MP}$ (anti-)parallel.)

r = 4{,}5; \quad \vec M = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-1\\1{,}5\end{smallmatrix}\!\right)\!;$r=4,5;\overrightarrow{M}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1,5\end{array}\right);$