0.0.1 ↑ 109. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 248, Aufgabe 1
Berechne das Volumen V des von \vec u, \vec v und \vec w aufgespannten Spats:
- a)
\vec u = \left(\!\begin{smallmatrix}-4\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec v = \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec w = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;
V = \left|\vec u \cdot \left(\vec v \times \vec w\right)\right| = \left|\left(-4\right) \left[\left(-5\right) \cdot 3\right] + 2 \cdot \left[\left(-2\right) \cdot 2 + 2 \cdot 5\right]\right| = 72;
- b)
\vec u = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec v = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\5\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec w = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;
V = \left|\vec u \cdot \left(\vec v \times \vec w\right)\right| = \left|\left[5 \cdot 1 - 2 \cdot 4\right] + 2 \left[3 \cdot 4 - 4 \cdot 1\right] + 3 \left[4 \cdot 2 - 5 \cdot 3\right]\right| = 8;
0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 249, Aufgabe 4
A(1,1,5); \quad B(5,1,5); \quad C(2,5,5); \quad D(0,3,5); \quad \text{Spitze }S(4,1,-1);
Berechne das Volumen der Pyramide ABCDS
- a)
durch Zerlegen in zwei dreiseitige Pyramiden.
[XXX Mit "dreiseitige Pyramide" ist eine Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche gemeint.]
- b)
mit der Formel V = \frac{1}{3} G h.
V = \frac{1}{3} G h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \cdot \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC}\right| \cdot \left[5 - \left(-1\right)\right] = 48;
[XXX 22 ist korrekt.]