0.0.1 ↑ 110. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 256, Aufgabe 5
Entscheide, ob das Integral konvergiert, und berechne gegebenenfalls seinen Wert:
- a)
\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \left[\ln x\right]_1^{\infty} = \infty;
- b)
\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \,\mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\infty} = 1;
- c)
\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x^3} \,\mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{2 x^2}\right]_1^{\infty} = \frac{1}{2};
- e)
\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \,\mathrm{d}x = \left[\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^2}\right]_1^{\infty} = \infty;
- f)
\int\limits_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,\mathrm{d}x = {}\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,\mathrm{d}x = \left[3 \sqrt[3]{x}\right]_1^{\infty} = \infty;
- g)
\int\limits_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \,\mathrm{d}x = {}\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \,\mathrm{d}x = \left[-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right]_1^{\infty} = 3;