«K12/K13» 112. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 112. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 255, Aufgabe 1

Entscheide, ob das Integral konvergiert und berechne gegebenenfalls seinen Wert.

g)

\int\limits_0^{\pi/2} \underbrace{\frac{1}{\sin^2 x}}_{\frac{1}{\frac{1}{2} \left(1 - \cos 2x\right)}} \,\mathrm{d}x = \lim\limits_{\alpha \to 0+} \left[-\frac{1}{\tan x}\right]_{\alpha}^{\pi/2} = \infty;$\underset{0}{\overset{\pi ∕2}{\int \; <!--nolimits-->}}\underset{\frac{1}{\frac{1}{2}\left(1-cos2x\right)}}{\underbrace{\frac{1}{{sin}^{2}x}}}\text{d}x=\underset{\alpha \to 0+}{lim}{\left[-\frac{1}{tanx}\right]}_{\alpha }^{\pi ∕2}=\infty ;$

h)

\int\limits_0^{\pi} \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}x = {}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}x + {}\int\limits_{\pi/2}^{\pi} \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}x = {}\lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}-} \tan\alpha + {}\lim\limits_{\beta \to \frac{\pi}{2}+} -\tan\beta = {}\infty;$\underset{0}{\overset{\pi }{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{{cos}^{2}x}\text{d}x=\underset{0}{\overset{\pi ∕2}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{{cos}^{2}x}\text{d}x+\underset{\pi ∕2}{\overset{\pi }{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{{cos}^{2}x}\text{d}x=\underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-}{lim}tan\alpha +\underset{\beta \to \frac{\pi }{2}+}{lim}-tan\beta =\infty ;$

0.0.1.2 ↑ Analysis-Buch Seite 256, Aufgabe 8

Für welche Werte a$a$ konvergiert das Integral:

a)

\int\limits_1^{\infty} x^a \,\mathrm{d}x$\underset{1}{\overset{\infty }{\int \; <!--nolimits-->}}{x}^a\text{d}x$

Analyse der Definiertheit des Integranden: Für alle a \in \mathds{R}$a\in \mathbb{ℝ}$ definiert, da x > 0$x>0$.

Analyse für a = -1$a=-1$: \int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \infty;$\underset{1}{\overset{\infty }{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{x}\text{d}x=\infty ;$

Analyse für a \neq -1$a\ne -1$: \int\limits_1^{\infty} x^a \,\mathrm{d}x = {}\lim\limits_{\alpha \to \infty} \left[\frac{\alpha^{a+1}}{a+1}\right]_1^{\alpha} = {}\begin{cases} {} \infty & \text{für } a > -1; \\ {} -\frac{1}{a + 1} & \text{für } a < -1; {}\end{cases}$\underset{1}{\overset{\infty }{\int \; <!--nolimits-->}}{x}^a\text{d}x=\underset{\alpha \to \infty }{lim}{\left[\frac{{\alpha }^{a+1}}{a+1}\right]}_1^{\alpha }=\left\{\begin{array}{cc}\infty \hfill & \text{fr }a>-1;\hfill \\ -\frac{1}{a+1}\hfill & \text{fr }a<-1;\hfill \end{array}\right.$

b)

\int\limits_0^{\infty} x^a \,\mathrm{d}x$\underset{0}{\overset{\infty }{\int \; <!--nolimits-->}}{x}^a\text{d}x$

Integrand bei x = 0$x=0$ für a = 0$a=0$ nicht definiert. In diesem Fall divergiert das Integral bestimmt.

\int x^a \,\mathrm{d}x = \begin{cases} {} \ln x + C & \text{für } a = -1; \\ {} \frac{x^{a+1}}{a+1} + C & \text{sonst}; \end{cases}$\int \; <!--nolimits-->x^a\text{d}x=\left\{\begin{array}{cc}lnx+C\hfill & \text{fr }a=-1;\hfill \\ \frac{x^{a+1}}{a+1}+C\hfill & \text{sonst};\hfill \end{array}\right.$

\displaystyle\int\limits_0^{\infty} x^a \,\mathrm{d}x = {}\begin{cases} {} \lim\limits_{\alpha \to \infty} \left[\alpha^a - 0\right] = \infty & {} \text{für } a > -1; \\ {} \int\limits_0^1 \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x + \int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \lim\limits_{\alpha \to 0+} -\ln \alpha + \lim\limits_{\beta \to \infty} \ln \beta = \infty & {} \text{für } a = -1; \\ {} \int\limits_0^1 \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x + \int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \lim\limits_{\alpha \to 0+} -\frac{\alpha^{a+1}}{a+1} + \lim\limits_{\beta \to \infty} \frac{\beta^{a 1}}{a+1} = \infty & {} \text{für } a < -1; {}\end{cases}$\underset{0}{\overset{\infty }{\int \; <!--nolimits-->}}{x}^a\text{d}x=\left\{\begin{array}{cc}\underset{\alpha \to \infty }{lim}\left[{\alpha }^a-0\right]=\infty \hfill & \text{fr }a>-1;\hfill \\ \underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{x}\text{d}x+\underset{1}{\overset{\infty }{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{x}\text{d}x=\underset{\alpha \to 0+}{lim}-ln\alpha +\underset{\beta \to \infty }{lim}ln\beta =\infty \hfill & \text{fr }a=-1;\hfill \\ \underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{x}\text{d}x+\underset{1}{\overset{\infty }{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{x}\text{d}x=\underset{\alpha \to 0+}{lim}-\frac{{\alpha }^{a+1}}{a+1}+\underset{\beta \to \infty }{lim}\frac{{\beta }^{a1}}{a+1}=\infty \hfill & \text{fr }a<-1;\hfill \end{array}\right.$