«K12/K13» 12. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 12. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 36, Aufgabe 20

Berechne die beiden ersten Ableitungen folgender Integralfunktionen

a)

\mathrm{a}(x) := \int\limits_0^x t \,\mathrm{d}t; \Rightarrow \mathrm{a}''(x) = 1;$\text{a}\left(x\right):=\underset{0}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}t\text{d}t;\Rightarrow {\text{a}}^{\prime \prime }\left(x\right)=1;$

b)

\mathrm{b}(x) := \int\limits_1^x t \,\mathrm{d}t; \Rightarrow \mathrm{b}''(x) = 1;$\text{b}\left(x\right):=\underset{1}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}t\text{d}t;\Rightarrow {\text{b}}^{\prime \prime }\left(x\right)=1;$

c)

\mathrm{c}(x) := \int\limits_0^x \left(t^2 - t + 1\right) \mathrm{d}t; \Rightarrow \mathrm{c}''(x) = 2x - 1;$\text{c}\left(x\right):=\underset{0}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(t^2-t+1\right)\text{d}t;\Rightarrow {\text{c}}^{\prime \prime }\left(x\right)=2x-1;$

d)

\mathrm{d}(x) := \int\limits_0^x \sin t \,\mathrm{d}t; \Rightarrow \mathrm{d}''(x) = \cos x;$\text{d}\left(x\right):=\underset{0}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}sint\text{d}t;\Rightarrow {\text{d}}^{\prime \prime }\left(x\right)=cosx;$

e)

\mathrm{e}(x) := \int\limits_0^x \sqrt{t} \,\mathrm{d}t; \Rightarrow \mathrm{e}''(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}};$\text{e}\left(x\right):=\underset{0}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\sqrt{t}\text{d}t;\Rightarrow {\text{e}}^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}};$

f)

\mathrm{f}(x) := \int\limits_{1054}^x \left(t^3 - 1\right) \cos t \,\mathrm{d}t; \Rightarrow \mathrm{f}''(x) = -3x^2 \sin x + \sin x;$\text{f}\left(x\right):=\underset{1054}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(t^3-1\right)cost\text{d}t;\Rightarrow {\text{f}}^{\prime \prime }\left(x\right)=-3x^{2}sinx+sinx;$

0.0.1.2 ↑ Analysis-Buch Seite 36, Aufgabe 22

Berechne und deute geometrisch

a)

\int\limits_0^2 x \,\mathrm{d}x = 2;$\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--nolimits-->}}x\text{d}x=2;$

b)

\int\limits_0^2 \left(x + 1\right) \mathrm{d}x = 4;$\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(x+1\right)\text{d}x=4;$

c)

\int\limits_0^2 \left(2 - x\right) \mathrm{d}x = 2;$\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(2-x\right)\text{d}x=2;$

d)

\int\limits_0^2 \left(3 - x\right) \mathrm{d}x = 4;$\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(3-x\right)\text{d}x=4;$

0.0.1.3 ↑ Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 24

Berechne

a)

\int\limits_0^1 \left(x^2 + x\right) \mathrm{d}x = \frac{5}{6};$\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(x^2+x\right)\text{d}x=\frac{5}{6};$

b)

\int\limits_1^2 \left(x^2 + x\right) \mathrm{d}x = \frac{23}{6};$\underset{1}{\overset{2}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(x^2+x\right)\text{d}x=\frac{23}{6};$

c)

\int\limits_0^2 \left(x^2 + x\right) \mathrm{d}x = \frac{14}{3};$\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(x^2+x\right)\text{d}x=\frac{14}{3};$

0.0.1.4 ↑ Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 25

Berechne die Fläche, die von der Parabel mit der Gleichung y = 1 - x^2$y=1-x^2$ und der x$x$-Achse begrenzt wird.

\int\limits_{-1}^1 \left(1 - x^2\right) \mathrm{d}x = \frac{4}{3};$\underset{-1}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(1-x^2\right)\text{d}x=\frac{4}{3};$